肖林京， 左 帥， 于志豪

(山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，青島 266590)

位于國家管轄海域以外的國際海底區(qū)域蘊(yùn)藏著大量的錳結(jié)核[1]。人們利用深海采礦技術(shù)，將錳結(jié)核從海洋下提取出來。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，選擇管道提升式采礦系統(tǒng)適用于現(xiàn)代化的商業(yè)開采[2]。揚(yáng)礦管在復(fù)雜的海洋環(huán)境中，在各種力的作用下會(huì)使揚(yáng)礦管產(chǎn)生變形和應(yīng)力，從而容易引起揚(yáng)礦管的疲勞破壞和失效，導(dǎo)致使用壽命縮短，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)導(dǎo)致重大的安全事故[3]。因此，對(duì)揚(yáng)礦管縱向振動(dòng)的研究具有重要的意義。

前人對(duì)揚(yáng)礦系統(tǒng)各部分的子系統(tǒng)進(jìn)行了研究，并在云南省撫仙湖進(jìn)行了135 m湖上試驗(yàn)，驗(yàn)證了深海采礦系統(tǒng)的可行性[4]。韓國海洋科學(xué)技術(shù)院研發(fā)了一套KIOST采礦系統(tǒng)，并別在淺水區(qū)域和深水區(qū)域進(jìn)行了路徑跟蹤試驗(yàn)，然后與2015年進(jìn)行了500 m水深泵和中間礦倉的相關(guān)采礦實(shí)驗(yàn)[5]。

在理論研究方面，Cui等[6]研究了揚(yáng)礦管的構(gòu)型對(duì)揚(yáng)礦管振動(dòng)和軸向應(yīng)力的影響；邱顯焱[3]對(duì)揚(yáng)礦管的縱向振動(dòng)進(jìn)行分析，并采用附加單個(gè)吸振器的方法抑制縱向振動(dòng)；馮雅麗等[7]利用有限元的方法對(duì)揚(yáng)礦管進(jìn)行了靜力分析和動(dòng)態(tài)分析，采用ADINA軟件分析了在海水中不同海浪周期下?lián)P礦管的振動(dòng)特性；梁彬等[8]利用ABAQUS軟件進(jìn)行仿真分析，得到了揚(yáng)礦管的軸向凈身長量，并得到了振動(dòng)隨位置變化的結(jié)果。目前，對(duì)揚(yáng)礦管研究主要利用靜力學(xué)理論對(duì)軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變進(jìn)行分析，對(duì)于揚(yáng)礦管的縱向振動(dòng)分析，忽略了阻尼對(duì)固有頻率、振動(dòng)幅值及軸向應(yīng)力的影響。為此，建立揚(yáng)礦管的縱向振動(dòng)微分方程，分別分析在有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)與無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)兩種下?lián)P礦管的固有頻率、不同點(diǎn)上振幅隨時(shí)間的變化曲線以及揚(yáng)礦管頂端軸向應(yīng)力隨時(shí)間變化關(guān)系。以期為后續(xù)對(duì)管道穩(wěn)定性的研究和減振工作提供理論基礎(chǔ)。

1 建立揚(yáng)礦管動(dòng)力學(xué)模型

深海采礦系統(tǒng)的原理圖如圖1所示，具體工作方式：集礦機(jī)(圖2)采集多金屬結(jié)核并進(jìn)行脫泥和破碎，經(jīng)軟管輸送到中間礦倉(圖3)，再通過泵組經(jīng)揚(yáng)礦管輸送到采礦船上。

1為采礦船;2為海洋表面;3為泵組;4為揚(yáng)礦硬管;5為中間礦倉;6為軟管;7為集礦機(jī);8為海床圖1 深海采礦系統(tǒng)Fig.1 Mining system in the deep sea

圖2 中國開展湖試試驗(yàn)中的集礦機(jī)Fig.2 China trialed miner in a lake

圖3 韓國開展海試試驗(yàn)中的中間礦倉Fig.3 Korea piloted buffer in the sea

揚(yáng)礦管的總長度為l，上端與采礦船為鉸接連接。即揚(yáng)礦管頂端的運(yùn)動(dòng)與采礦船的運(yùn)動(dòng)方式相同。揚(yáng)礦管的末端與軟管連接，由于軟管的質(zhì)量和剛度比揚(yáng)礦管小，因此假設(shè)軟管不影響揚(yáng)礦管的振動(dòng)，末端視為自由端，進(jìn)一步假設(shè)，中間礦倉視為集中質(zhì)量，現(xiàn)將揚(yáng)礦管簡化為一維振動(dòng)問題，不考慮揚(yáng)礦管的偏移、彎矩與扭矩。

揚(yáng)礦管由無限多質(zhì)點(diǎn)組成，因此每一截面的位移均不同，揚(yáng)礦管任意截面x的位移u是關(guān)于位置x和時(shí)間t的函數(shù)，記為u(x,t)。

基于振動(dòng)力學(xué)理論[9]建立揚(yáng)礦管的縱向振動(dòng)的偏微分方程[10]。

(1)

式(1)中:A為橫截面面積；E為剛度系數(shù)。

m(x)=m0+m1δ(x-l)

(2)

式(2)中：δ(x)為狄拉克函數(shù)；m0為揚(yáng)礦管的單位長度質(zhì)量；m1為中間礦倉集中質(zhì)量。

c(x)=c0+c1δ(x-l)

(3)

式(3)中：c0為揚(yáng)礦管單位長度阻尼系數(shù)；c1為中間礦倉阻尼系數(shù)。

為了求解式(1)，需要確定揚(yáng)礦管的邊界條件與初始條件。分析可知，揚(yáng)礦管的邊界條件為上端鉸接，下端自由，可以寫為

(4)

式(4)中：u0(t)為采礦船的運(yùn)動(dòng)，采礦船隨著海浪做升沉運(yùn)動(dòng)可以看作簡諧運(yùn)動(dòng)，其簡諧運(yùn)動(dòng)方程為

u0(t)=rsin(ω0t)

(5)

式(5)中：r為采礦船升沉運(yùn)動(dòng)幅值；ω0為運(yùn)動(dòng)周期。

揚(yáng)礦管與采礦船鉸接，為采礦船所受到的運(yùn)動(dòng)方程。為了求解揚(yáng)礦管的絕對(duì)位移響應(yīng)u(x,t)，可以先求出揚(yáng)礦管相對(duì)于采礦船的相對(duì)位移u1(x,t)，在通過合成的方法得到u(x,t)，表達(dá)為

u(x,t)=u1(x,t)+u0(t)

(6)

將式(6)代入揚(yáng)礦管的縱向振動(dòng)方程[式(1)]得:

(7)

將式(6)代入揚(yáng)礦管的邊界條件[式(4)]得到揚(yáng)礦管相對(duì)位移的邊界條件:

(8)

2 理論分析

2.1 振型函數(shù)的分析

揚(yáng)礦管的縱向振動(dòng)方程屬于波動(dòng)方程，其求解方法可以用分離變量法來得到，即

u1(x,t)=φ(x)q(t)

(9)

式(9)中：φ(x)為振型函數(shù)，是僅與坐標(biāo)x有關(guān)的待定函數(shù)；q(t)為時(shí)間函數(shù)，是僅與時(shí)間有關(guān)的待定函數(shù)，振型函數(shù)[11]的通解為

(10)

分別對(duì)揚(yáng)礦管的無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)的固有頻率和有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)的固有頻率進(jìn)行求解，求解結(jié)果如表1所示。

表1 兩種情況下固有頻率及阻尼比Table 1 Natural frequencies in two conditions and damping ratios

在結(jié)合歸一化條件，可以求得揚(yáng)礦管的振型函數(shù)為

(11)

采用MATLAB對(duì)揚(yáng)礦管的前5階振型函數(shù)進(jìn)行繪制，結(jié)果如圖4所示。

圖4 揚(yáng)礦管的前5階正則振型函數(shù)曲線Fig.4 The first five phases of the regular vibration mode function

2.2 揚(yáng)礦管振動(dòng)響應(yīng)函數(shù)的分析

在2.1節(jié)已得到揚(yáng)礦管前5階的固有頻率與相應(yīng)的振型函數(shù)，利用振動(dòng)型疊加原理對(duì)揚(yáng)礦管的相對(duì)位移進(jìn)行求解，可假設(shè)為

(12)

式(12)中：φi(x)為相應(yīng)于固有頻率ωni的主振型；ηi(t)為第i個(gè)正則坐標(biāo)下的響應(yīng)。將式(12)代入式(7)中得到

(13)

兩邊同時(shí)乘以φj(x)，并沿?fù)P礦管的長度進(jìn)行積分，得到:

(14)

式(14)中：φi(x)為相應(yīng)于固有頻率ωnj的主振型。

根據(jù)正交條件，得到:

(15)

式(15)中:ηj(t)為第j個(gè)正則坐標(biāo)下的響應(yīng)；ξj為阻尼比，j=1,2,…,n；ωnj為揚(yáng)礦管的第j階固有頻率，j=1,2,…,n。

(16)

式(17)利用Duhamel積分得到ηj的解:

ηj(t)=ηj(t0)e-ξjωnjtcos(ωdt)+

(17)

式(17)中：ξj為阻尼比;ωd為揚(yáng)礦系統(tǒng)有阻尼時(shí)的固有頻率。前5階阻尼比及揚(yáng)礦管有阻尼時(shí)的前5階固有頻率如表1所示。

根據(jù)初始條件:

(18)

將式(11)、式(17)代入式(12)中，再將式(12)、式(5)代入式(6)中，最終可以得到揚(yáng)礦管隨縱向振動(dòng)方程的解析解。

由揚(yáng)礦管的響應(yīng)解可以看出，揚(yáng)礦管的高階響應(yīng)要比揚(yáng)礦管的低階響應(yīng)小，因此計(jì)算前5階響應(yīng)就可以得到精度較高的結(jié)果。

2.3 軸向應(yīng)力分析

對(duì)揚(yáng)礦系統(tǒng)產(chǎn)生的軸向應(yīng)力進(jìn)行分析，其表達(dá)式可用式(19)表示。

(19)

式(19)中：Wb為中間礦倉的質(zhì)量；W0為揚(yáng)礦管單位長度的質(zhì)量。

3 仿真分析

利用揚(yáng)礦管的邊界條件最終得到揚(yáng)礦管的固有頻率和有阻尼系統(tǒng)的固有頻率，表1為MATLAB[12]計(jì)算結(jié)果。

利用莫爾在1968、1970年發(fā)表的模型試驗(yàn)資料[3]來估的升沉運(yùn)動(dòng)幅值，根據(jù)莫爾經(jīng)驗(yàn)公式可得三一垂蕩幅值，可以求得r。在六級(jí)風(fēng)況下，采礦船的幅值r=4 m，周期T=10 s[1]。

根據(jù)上述計(jì)算原則，參考文獻(xiàn)[1]中所采用的相關(guān)數(shù)據(jù)，揚(yáng)礦管的設(shè)計(jì)參數(shù)如表2所示。

表2 揚(yáng)礦子系統(tǒng)的主要物理參數(shù)Table 2 Main physical parameters of the lifting pipe

3.1 無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)揚(yáng)礦管的分析

對(duì)取樣點(diǎn)進(jìn)行仿真，在不考慮阻尼系統(tǒng)響應(yīng)的情況下，分別取揚(yáng)礦管距海平面的1 000、3 000、5 000 m處，研究位移隨時(shí)間的變化關(guān)系。

通過圖5可知，在無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)，從0～1 000 m時(shí)振幅變化的最快，3 000 m后的幅值變化較小。在1 000 m內(nèi)，由于揚(yáng)礦管相對(duì)位移的影響較小，運(yùn)動(dòng)規(guī)律類似于簡諧運(yùn)動(dòng)，但隨著深度的增加，揚(yáng)礦管的相對(duì)位移振幅的增加。絕對(duì)位移變大，在達(dá)到峰值的時(shí)刻出現(xiàn)許多尖點(diǎn)，容易對(duì)揚(yáng)礦管產(chǎn)生破壞。

圖5 揚(yáng)礦管1 000、3 000、5 000 m處位移隨時(shí)間的變化規(guī)律(無阻尼)Fig.5 The displacement variation rule of the lifting pipe at 1 000、3 000、5 000 m below sea level with time varying(without damping)

3.2 有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)揚(yáng)礦管的分析

在考慮阻尼系統(tǒng)響應(yīng)的情況下，同樣分別取揚(yáng)礦管距海平面的1 000、3 000、5 000 m處，研究位移隨時(shí)間的變化關(guān)系。

由圖6可知，振幅的變化趨勢與無阻尼時(shí)的振幅變化趨勢基本相同。但由于海水阻尼的影響，揚(yáng)礦管上各點(diǎn)的幅值先減小，后保持穩(wěn)定的狀態(tài)。還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，揚(yáng)礦管上任何位置的最大幅值基本穩(wěn)定5.34 m左右，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律類似于簡諧運(yùn)動(dòng)。

圖6 揚(yáng)礦管1 000、3 000、5 000 m處位移隨時(shí)間的變化規(guī)律(有阻尼)Fig.6 The displacement variation rule of the lifting pipe at 1 000、3 000、5 000 m below sea level with time varying(with damping)

3.3 揚(yáng)礦管的軸向應(yīng)力分析

揚(yáng)礦管所受的軸向應(yīng)力是影響揚(yáng)礦管變形的重要因素。下面取揚(yáng)礦管最頂端的位置，研究軸向應(yīng)力隨時(shí)間變化的關(guān)系，結(jié)果如圖7所示。

圖7 有無阻尼響應(yīng)時(shí)揚(yáng)礦管頂端軸向應(yīng)力隨時(shí)間變化Fig.7 With and without any damp system responses,axial stress,at the top of the lifting pipe,changes with time

由圖7可以看出，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，在有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)要比無阻尼系統(tǒng)更加穩(wěn)定。且有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)揚(yáng)礦管頂端的最大軸向應(yīng)力要比無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)的最大軸向應(yīng)力小25.5%。

在以上兩種情況下，在前10 s揚(yáng)礦管頂端軸向力的變化規(guī)律都是先增加后減小，選定前10 s，繪制揚(yáng)礦管軸向應(yīng)力隨揚(yáng)礦管位置的變化關(guān)系。

由圖8可以看出，在大部分時(shí)刻，揚(yáng)礦管的軸向應(yīng)力隨著管長的增加而減小，在個(gè)別的時(shí)刻會(huì)先增大，從1 000 m后在減小。因此，在大部分時(shí)刻，揚(yáng)礦管所受到最大軸向力出現(xiàn)在最頂端。

圖8 前10 s軸向應(yīng)力隨位置的變化曲線Fig.8 Axial stress changes with water depth for the 10 s

4 結(jié)論

研究了深海采礦揚(yáng)礦管的縱向振動(dòng)，建立了揚(yáng)礦管的縱向振動(dòng)偏微分方程，求解了揚(yáng)礦管的振型函數(shù)以及響應(yīng)函數(shù)，采用振型疊加法求解了揚(yáng)礦管的縱向振動(dòng)公式，并對(duì)揚(yáng)礦管的軸向應(yīng)力進(jìn)行分析，得到了如下結(jié)論。

(1)在有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)和無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)兩種情況下，隨著水深的增加，揚(yáng)礦管上個(gè)點(diǎn)的幅值先增大，后逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)。在揚(yáng)礦管的最末端，前一種情況的最大幅值要比后一種減少1.101 m。

(2)當(dāng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)條件下的軸向應(yīng)力的最大值為2.19×108Pa，無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)條件下的軸向應(yīng)力最大值為1.63×108Pa，減少幅度約為25.5%，且大部分時(shí)刻軸向力隨著管長增加而減少，少數(shù)時(shí)刻隨著管長的增加，軸向力先增大后減小。

(3)當(dāng)考慮海水的阻尼時(shí)，揚(yáng)礦管不同點(diǎn)處位移隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)規(guī)律及軸向應(yīng)力隨時(shí)間的變化關(guān)系更加規(guī)則。因此，海水阻尼可以減少揚(yáng)礦管突然受到的沖擊，使得揚(yáng)礦管的運(yùn)動(dòng)類似簡諧運(yùn)動(dòng)。

(4)由以上結(jié)論可知，揚(yáng)礦管的最大振幅發(fā)生在最下端，在大部分時(shí)刻，揚(yáng)礦管最頂端的軸向應(yīng)力最大。為此，該研究可以為下一步的減振研究與穩(wěn)定性研究提供理論依據(jù)。在進(jìn)行減振研究時(shí)，可主要在管道的最頂端與最低端展開減振研究工作。