王蓓

數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)思維，提升兒童的思維品質(zhì)?？梢暬瘜W(xué)習(xí)讓抽象的數(shù)學(xué)知識具象化，讓隱性的思維顯性化，是發(fā)展兒童思維能力最有效的學(xué)習(xí)方式之一。

人教版數(shù)學(xué)五年級上冊第六單元的“三角形的面積”，是在學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的特征，以及長方形和平行四邊形面積公式基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，重點是引導(dǎo)學(xué)生在探索三角形面積公式的過程中，通過對圖形特點的觀察與分析，有意識地培養(yǎng)其空間想象力，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。在本課教學(xué)中，我借助可視化教學(xué)，從學(xué)習(xí)素材、操作過程、探究思路、研究成果四個方面引領(lǐng)學(xué)生有效參與學(xué)習(xí)，助力思維發(fā)展。

一、學(xué)習(xí)素材的可視化，助力思維起步

在學(xué)習(xí)“三角形的面積”之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了把沒有學(xué)過的圖形通過“剪拼”的方法，轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形，來研究它的面積。但教材呈現(xiàn)的是用兩個完全相同的三角形進行拼組，即“倍拼”的方法研究。從“剪拼”到“倍拼”，學(xué)生思維有一個大跨越，課堂上如果教師只是簡單給予學(xué)生兩個三角形讓他們?nèi)テ?，學(xué)生只能是機械操作，不知其所以然，失去了探究的意義。因此，教師要精準(zhǔn)把握學(xué)生的思維起點，以學(xué)定教，讓知識的形成過程更加合理、自然?；谝陨纤伎迹揖脑O(shè)計了如下的前置性作業(yè)，讓學(xué)生課前先學(xué)。

【教學(xué)思考】

學(xué)生雖然對三角形十分熟悉，但如果讓他們自行探究面積公式，不少學(xué)生會束手無策。因此，我以學(xué)生十分熟悉的直角三角形為切入點，引導(dǎo)他們自主探究方格圖上直角三角形的面積，學(xué)生依據(jù)生活經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)直角三角形的面積是它所在的長方形面積的一半，很自然地喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，為后續(xù)研究一般三角形面積埋下伏筆。

將直角三角形置于方格圖這一背景中，實際上就是把面積探究的素材可視化，它具備兩大優(yōu)點：一是借助方格圖讓三角形的面積可數(shù)。方格圖讓抽象的面積具象化，可以直接數(shù)出所包含的面積單位。方格圖還利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形和與它等底等高的長方形之間的聯(lián)系，自然而然發(fā)現(xiàn)他們面積之間的關(guān)系。二是借助方格圖讓動手操作更便捷。學(xué)生在想一想、畫一畫、算一算的過程中充分調(diào)動眼、腦、手多感官合作，從而不斷嘗試多角度探究直角三角形的轉(zhuǎn)化路徑，以畫促思。

二、操作過程的可視化，助力思維碰撞

由于學(xué)生個體的差異性以及已有知識儲備不一，學(xué)生對探究材料的學(xué)習(xí)會呈現(xiàn)出個性化思考。教學(xué)中，我基于學(xué)生的思維起點，由淺入深地展示可視化學(xué)習(xí)成果，引領(lǐng)學(xué)生在讀懂他人作品的同時進行思維互補，從而完善個人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【教學(xué)片段】

師：老師這兒搜集了幾份前置作業(yè)，我們一起來看看吧！

出示第一份作業(yè)：

生：我是用數(shù)方格的方法來求的。滿格的有8個，不滿格的也有8個，兩個不滿格的可以合成一個滿格，所以直角三角形的面積是8+8÷2=12（cm2）。

師：通過數(shù)方格的方法，數(shù)出滿格和不滿格的數(shù)量就能計算出直角三角形的面積。

出示第二份作業(yè)：

生1（指圖）：我是把下面陰影部分的三角形剪下來，再拼到上面，這樣就把直角三角形轉(zhuǎn)化成了一個長方形。因為長方形的長是4cm，寬是3cm，面積是4×3=12（cm2），所以直角三角形的面積就是12cm2。

師：誰有問題和他交流？

生2：請問3是怎么來的？

生1（指圖）：這條長的直角邊是6cm，我從它中間這里剪開，6÷2=3（cm）。

師（追問）：不從中間剪能轉(zhuǎn)化成長方形嗎？

生1：不行。

師：從這剪開行嗎？這兒呢？（指到除中點外任意一點）如果沿著中點剪呢？

課件演示“剪拼法”。

師：看來，運用剪拼的方法能將直角三角形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的長方形，再根據(jù)長方形面積進行計算，這種方法非常巧妙！瞧，我們班上還有高手！

出示第三份作業(yè)：

師：誰看懂他的方法了？

生1：他是在原來直角三角形上面添補了一個直角三角形，就轉(zhuǎn)化成一個長方形。長方形面積是24cm2再除以2就得到直角三角形面積。

師：補的這個三角形有什么特點？

生2：和原來的一樣。

師：你怎么知道一樣呢？

生2（指圖）：因為長方形對邊相等，補上去的三角形兩條直角邊也是4cm和6cm。

師：你觀察得真仔細！

展示第四份作品：

（不出聲）

學(xué)生恍然大悟

【教學(xué)思考】

學(xué)生在研究直角三角形面積時呈現(xiàn)出三種不同的思維水平，其中“數(shù)方格”是基礎(chǔ)，“剪拼”是學(xué)生已有經(jīng)驗的有效遷移，“倍拼”是學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗的“變式”。無論是剪拼還是倍拼，都是要把三角形面積轉(zhuǎn)化為已知平面圖形的面積來解決問題。

實際中，“剪拼”是有一定難度的，因為剪拼須找到三角形的中位線（學(xué)生還未觸及）。因此，在幫助學(xué)生理解“剪拼”法時，我以學(xué)生的質(zhì)疑“3從哪里來？”為突破口，引導(dǎo)學(xué)生想象非中位線剪無法拼組的過程，接著展示沿中位線剪拼成功的過程，通過前后對比，學(xué)生對“怎么剪拼、為什么剪拼”有了初步的感知。

相對而言“倍拼”就顯得簡單多了。被可視化的學(xué)生作品就是一種無聲思維，它向?qū)W生傳遞著“為什么要倍拼、怎么倍拼”的數(shù)學(xué)信息。學(xué)生借助可視化的作品理解他人的思考過程變得簡單多了。數(shù)學(xué)思維也在看一看、想一想、說一說等活動中碰撞、內(nèi)化、發(fā)展。

三、探究思路的可視化，助力思維發(fā)展

學(xué)生在研究直角三角形面積計算時已經(jīng)積累了較為豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，初步感悟“剪拼”“倍拼”兩種轉(zhuǎn)化的思想方法。運用這些方法，學(xué)生在探究一般三角形面積時就能夠觸類旁通，舉一反三。

【教學(xué)片段】

師：直角三角形面積能轉(zhuǎn)化成長方形和平行四邊形來計算，任意一個三角形都能轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形嗎？請拿出準(zhǔn)備好的探究材料在小組里操作驗證。

探究材料：每個小組顏色不同的3個銳角三角形或3個鈍角三角形，剪刀一把;其中1號和2號三角形完全一樣。

小組合作后匯報：

組1（演示）：我們將1號和2號兩個銳角三角形拼成了一個平行四邊形，3號和1、2號都拼不成。

教師板貼學(xué)生倍拼后的作品。

組2（演示）：我們組1號和2號兩個鈍角三角形也拼成了一個平行四邊形，3號和1、2號都拼不成。

師：老師很奇怪，3號為什么總是拼不成呢？（同時呈現(xiàn)三個三角形）

生：3號和它們不是一樣大。

師：你怎么知道的？

生（演示）：我可以將3號和1號重疊在一起，發(fā)現(xiàn)它們的邊不相等。如果把1號和2號重疊在一起，發(fā)現(xiàn)它們能夠重合。

師：“重合”這個詞用得非常好！當(dāng)兩個三角形能夠完全重合時，我們就說它們“完全一樣”（板書）。兩個完全一樣的三角形一定能拼成什么圖形？

生：平行四邊形。

師：還有不一樣的轉(zhuǎn)化方法嗎？

組3（演示）：我們組用的是剪拼法。先找到銳角三角形兩條邊中點的連線，再沿著這條線剪下一個三角形，將它拼到下面梯形的邊上，這樣就拼成了一個平行四邊形。

教師將學(xué)生剪拼后的作品板貼

……

【教學(xué)思考】

心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為“兒童的智慧源于操作”。有效的可視化操作活動不但能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能讓學(xué)生在操作中經(jīng)歷、體驗。課堂上，我給學(xué)生充分的時間剪、拼、展示、交流，引導(dǎo)他們在三個三角形的操作比較中感悟關(guān)鍵詞“完全一樣”，在“剪拼”和“倍拼”具體操作過程中感受轉(zhuǎn)化的策略，進而得出結(jié)論：無論怎樣的三角形，只要兩個完全相同一定能拼成一個平行四邊形，從而發(fā)現(xiàn)三角形的面積是它拼成的平行四邊形面積的一半。無論怎樣的三角形，只要沿著兩條邊中點的連線剪開，一定能拼成一個平行四邊形，從而感知三角形的面積和轉(zhuǎn)化后的平行四邊形面積相等。

由特殊的直角三角形到普通的三角形，可視化操作讓每一位學(xué)生在多角度操作驗證中獲得真實有效的體驗，直觀感知了圖形的轉(zhuǎn)化過程，積累了豐富的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，學(xué)生的思維變得更加靈活、深刻。

四、研究成果的可視化，助力思維進階

三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形后，學(xué)生的探究不能嘎然而止，建立并運用三角形面積公式的模型才是本課教學(xué)的知識目標(biāo)。為此，在課堂上引領(lǐng)學(xué)生有效觀察拼成的平行四邊形，自主推導(dǎo)三角形的面積公式，形成完善的三角面積公式的模型。

【教學(xué)片段】

出示探究要求：

1.選擇一個你喜歡的圖形（轉(zhuǎn)化后的圖形）進行研究。

2.仔細觀察轉(zhuǎn)化后的平行四邊形與原三角形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

3.你能推導(dǎo)出三角形面積公式嗎？

學(xué)生自主探究后匯報。

生（指圖）：我選擇的是“倍拼法”后的圖形。我發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后平行四邊形的底就是原三角形的底，平行四邊形的高是三角形的高，原三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以，三角形面積=底×高÷2。

師：誰聽明白了？

生1、2……

師：轉(zhuǎn)化過程中什么變了？什么沒變？

生：底和高都沒有變，面積變了。三角形的面積只有平行四邊形面積的一半。

師：所以三角形面積=平行四邊形面積÷2=底×高÷2。誰研究了“剪拼法”后的圖形？

生（指圖）：我發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后平行四邊形的底等于原三角形的底，平行四邊形的高等于原三角形的高的一半，也就是高÷2。平行四邊形的面積等于底乘高，所以三角形面積=底×高÷2。

師：你們聽明白了嗎？

生1、2……

師：在這個變化過程中什么變了？什么沒變呢？

生（指圖）：三角形面積沒有變，底也沒有變，高變小了，只有原來高的一半。

得出結(jié)論：三角形面積=底×高÷2，用字母表示為S=ah÷2。

【教學(xué)思考】

學(xué)生在計算三角形面積時經(jīng)常漏了除以2，究其原因，是在三角形面積公式推導(dǎo)過程中學(xué)生沒有深刻理解除以2的根本原因。用“倍拼法”來推導(dǎo)面積公式，學(xué)生能夠比較輕松地發(fā)現(xiàn)三角形與拼成的平行四邊形在底和高的長度、面積方面的變化，進而得出結(jié)論。而用“剪拼法”來推導(dǎo)面積公式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形和拼成的平行四邊形面積和底都不變，平行四邊形的高只有原三角形高的一半，所以三角形面積要除以2。

教學(xué)中，學(xué)生兩次經(jīng)歷觀察、比較、推理、抽象等學(xué)習(xí)過程，在“變與不變”的思維歷程中建模、用模，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生，學(xué)生抽象思維能力得到有效的發(fā)展。