吳 華,米思蓓,李 剛,陳習(xí)文,郭子娟,余宏明

(1.國網(wǎng)重慶市電力公司電力科學(xué)研究院，重慶 404100；2.中國電力科學(xué)研究院有限公司，湖北 武漢 430070；3.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院,湖北 武漢 430074)

電力變壓器是電力系統(tǒng)的重要設(shè)備之一，對電力運(yùn)行安全起著至關(guān)重要的作用。變壓器繞組發(fā)生局部變形后，必然會引起其內(nèi)部參數(shù)的變化，通過對這些參數(shù)的測量和分析，就可以判斷繞組是否存在變形，但傳統(tǒng)方法通常難以對其內(nèi)部參數(shù)進(jìn)行全面檢驗(yàn)。對于繞組變形測試儀的掃描頻率精確度、檢測精確度、選頻濾波特性、阻抗匹配方式等關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)，必須借助專用的衰減器來實(shí)現(xiàn)校準(zhǔn)檢測。但采用該衰減器對繞組變形測試儀進(jìn)行實(shí)際檢測中受很多不確定性因素的影響，其校準(zhǔn)結(jié)果存在不確定度。針對校準(zhǔn)結(jié)果存在的不確定度，實(shí)際操作中需要通過多次試驗(yàn)來減弱這種誤差帶來的影響。但在現(xiàn)有的試驗(yàn)條件下，通過多次試驗(yàn)需要花費(fèi)大量的時間和精力[1]。本文基于二維非均勻插值算法甄別出校準(zhǔn)結(jié)果中的不合理數(shù)據(jù)，并通過多次試驗(yàn)驗(yàn)證數(shù)據(jù)挑選的準(zhǔn)確性和插值結(jié)果的合理性。

克里金插值是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)變差模型的空間插值方法。該方法利用區(qū)域變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征估計(jì)未知點(diǎn)的屬性值，是一種最優(yōu)、線性、無偏估計(jì)方法。對于具有空間和時間相關(guān)性的插值數(shù)據(jù)，時空克里金插值算法可以用來較好地考慮時空數(shù)據(jù)的時空特征，從而獲得更準(zhǔn)確的插值結(jié)果。目前時空克里金插值算法已廣泛運(yùn)用于地質(zhì)、氣象、礦產(chǎn)資源、工程應(yīng)用等多個領(lǐng)域[2]。如Pucci等[3]、Rouhani等[4]、Jaquet[5]、Bardossy等[6]、Nobre等[7]、Tarboton等[8]、Piotrowski等[9]研究了時空克里金算法在水文地質(zhì)方面的應(yīng)用；Bogaert[10]、H?st[11]、Lin等[12]將時空克里金算法應(yīng)用于模擬數(shù)據(jù)；Kerwin等[13]將時空克里金算法應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像中估計(jì)心臟運(yùn)動；Jost等[14]將物理確定性蒸發(fā)模型與時空地質(zhì)統(tǒng)計(jì)插值相結(jié)合，用來預(yù)測土壤儲水量；魏玉珍等[15]運(yùn)用時空克里金插值算法對水庫富營養(yǎng)化空間格局進(jìn)行分析，并提出了防治對策；Gething等[16]將局部時空克里金算法應(yīng)用于國家門診瘧疾數(shù)據(jù)集的插值；Liang等[17]將時空克里金插值算法應(yīng)用于空氣污染數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)時空結(jié)構(gòu)中。時空克里金插值算法在普通克里金插值算法的基礎(chǔ)上考慮了數(shù)據(jù)的時間特性，得到了更好的插值效果。

本文提出一種適用于變壓器繞組變形測試儀校準(zhǔn)裝置校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的二維非均勻克里金插值算法。該方法首先基于校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的試驗(yàn)點(diǎn)在不同頻率上的非均勻性，對每個頻率上設(shè)置一個頻率權(quán)重[ai]，其中i代表不同頻率的試驗(yàn)點(diǎn)，并針對校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的試驗(yàn)點(diǎn)在不同衰減量上的非均勻性，對不同衰減量設(shè)置一個衰減量權(quán)重[bj]，其中j代表不同衰減量的試驗(yàn)點(diǎn);然后針對繞組變形測試儀在不同頻率下測得的衰減量顯示值與標(biāo)準(zhǔn)值之間的差值作為插值對象構(gòu)建二維變差函數(shù)模型，即每一個測試儀的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，構(gòu)建一個變差函數(shù)模型；最后通過優(yōu)化算法尋得的權(quán)重值組合{[ai],[bj]}用來建立二維非均勻克里金差值算法，重構(gòu)繞組變形校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的頻率與衰減量的非均勻關(guān)系，以減弱校準(zhǔn)裝置校準(zhǔn)誤差對二維變差函數(shù)模型的影響。

1 基本算法

1.1 克里金插值算法

克里金插值的主要作用是估算空間未采樣點(diǎn)的屬性值[18]。假設(shè)存在某一研究區(qū)域D，區(qū)域化研究變量Y(x)為區(qū)域內(nèi)X處的測量值，若區(qū)域內(nèi)存在某一未采樣點(diǎn)x，其估計(jì)值為Y*(x)，則Y*(x)可以通過一個線性關(guān)系來估算：

(1)

式中:Y*(x)為x處的估計(jì)值；n為實(shí)際測量數(shù)量；Y(xi)為第i個位置處(xi)的實(shí)際測量值；αi為第i個位置處實(shí)際測量值的位置權(quán)重。

αi是一套使插值誤差最小的最優(yōu)系數(shù)，其需要滿足如下無偏估計(jì)和估計(jì)方差最小兩個條件：

(2)

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法對公式(2)進(jìn)行簡化，可得到：

(3)

式中:c(xi,xj)為Y(xi)和Y(xj)的協(xié)方差函數(shù);c(x0,xj)為待插值點(diǎn)與已知樣點(diǎn)之間的協(xié)方差；μ為拉格朗日乘子。

克里金插值算法的變差函數(shù)計(jì)算公式如下：

[i=1,2,…,n(h)]

(4)

式中:γ(h)為滯后距離h時對應(yīng)的變差函數(shù)值；xi為第i個采樣點(diǎn);h為滯后距離;n(h)為滯后距離h時的樣本點(diǎn)總數(shù)。

根據(jù)變差函數(shù)γ(h)與協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系，通過變換上述方程組，可得到克里金方程矩陣如下：

(5)

通過克里金插值算法求取未采樣點(diǎn)屬性值時，需要先對已知采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，求取試驗(yàn)變差函數(shù)值，再通過理論變差函數(shù)模型擬合離散的試驗(yàn)變差函數(shù)值，獲得采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)的變差函數(shù)模型。即先根據(jù)公式(5)求取克里金插值中的權(quán)值，再將求解出的權(quán)值帶入公式(1)中，求取未采樣點(diǎn)的屬性值。

1.2 粒子群算法

粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是一種通過信息共享，尋求到最優(yōu)解的優(yōu)化算法。該算法適用于非線性、非結(jié)構(gòu)化解的尋優(yōu)[19-21]。粒子的質(zhì)量是用適應(yīng)度函數(shù)來衡量的，它反映了解的最優(yōu)性。所有潛在解的集合被稱為解空間，一個潛在解被稱為一個位置，記為Pos。沒有質(zhì)量、沒有大小的粒子在解空間中以速度v運(yùn)動，最優(yōu)解是通過不斷更新粒子的位置和速度得到的，而粒子在更新過程中朝個體最優(yōu)位置Pib和群體最優(yōu)位置Pgb移動。通過下式更新粒子的速度和位置：

vi+1=ω×vi+c1×Rand×(Pib-Posi)+c2×Rand×(Pgb-Posi)

(6)

Posi+1=Posi+vi+1

上式中:下標(biāo)i表示PSO算法的迭代次數(shù)；Posi表示在第i次迭代中粒子當(dāng)前的位置；vi表示在第i次迭代中粒子的速度；vi+1和Posi+1分別代表粒子更新后的速度和位置;Rand是一個(0,1)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；Pib表示粒子的個體最優(yōu)位置；Pgb表示粒子的群體最優(yōu)位置。

本文利用PSO算法首先將二維非均勻克里金插值中的衰減量權(quán)重和頻率權(quán)重組合{[ai],[bj]}的維度作為解的維度；然后將插值結(jié)果的均方誤差作為適應(yīng)度函數(shù)；最后找到最優(yōu)的權(quán)重組合能使得插值結(jié)果最好。

2 研究方法

本文提出的二維非均勻克里金插值方法給不同衰減量和不同頻率賦予不同的權(quán)重值，并利用PSO算法對標(biāo)準(zhǔn)二維克里金算法進(jìn)行重構(gòu)，尋求適合于繞組變形測試儀校準(zhǔn)裝置校準(zhǔn)數(shù)據(jù)特性的二維非均勻克里金插值算法,在不需要進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)的情況下，減少了測量不確定度對試驗(yàn)結(jié)果的干擾。

2.1 二維克里金插值算法

二維克里金插值算法是一種基于樣本空間統(tǒng)計(jì)相關(guān)的最優(yōu)、線性和無偏估計(jì)量的內(nèi)插方法。在常見的時空克里金插值中，考慮了空間和時間的相關(guān)性[22]。假設(shè)Z(s,t)是時空區(qū)域化變量，(s,t)表示時空域中的樣本點(diǎn)位置。從空間域延展到時空域后的克里金模型如下：

(7)

(8)

二維克里金插值算法的變差函數(shù)方程如下：

(9)

式中:γ(rs,rt)為變差函數(shù)值；hs和ht為對應(yīng)的樣本之間在s和t兩個不同維度的距離；Z(si,ti)為點(diǎn)i處的觀測值；Z(si+hs,ti+ht)為與Z(si,ti)在第一維度上相距hs、第二維度上相距ht的點(diǎn)的觀測值；n(hs,ht)是二維空間距離為hs和ht的樣本點(diǎn)對的總數(shù)。

二維克里金插值中通過下式求解最小誤差和無偏估計(jì)條件:

(10)

式中：γst表示二維可分離型變差函數(shù)。

二維克里金插值算法通過二維空間域的變差函數(shù)將不同的空間數(shù)據(jù)結(jié)合起來，通過增加普通克里金插值的維度提高了二維數(shù)據(jù)的插值效果。在實(shí)際應(yīng)用中，不同維度的空間中變量的量綱不同，二維距離不能簡單地運(yùn)用各自維度的距離疊加來表示。而簡單的二維克里金插值算法無法反映繞組變形測試儀校準(zhǔn)裝置校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的特性，因此本文提出了利用PSO算法構(gòu)建二維非均勻克里金插值算法來解決此問題。

2.2 二維非均勻克里金插值算法

Z(x,f)是一個定義在非均勻二維空間域中的區(qū)域化變量，其中x表示樣本點(diǎn)的衰減量位置坐標(biāo)，f表示頻率域中的位置點(diǎn)。如果采樣點(diǎn)的數(shù)量為n，則二維非均勻域中的克里金模型定義如下：

(11)

在非均勻二維域中，變差函數(shù)值的大小與兩點(diǎn)之間的二維空間距離密切相關(guān)，定義非均勻二維變差函數(shù)的計(jì)算公式為

(12)

式中：pf表示非均勻二維空間域中的一個樣本點(diǎn)；h表示兩個樣本點(diǎn)之間的距離；γpf(h)為變差函數(shù)值。

非均勻二維變形場模型給出的最優(yōu)距離求解方法可以有效地用于測量非均勻二維空間域中的兩個樣本點(diǎn)之間的距離h。最優(yōu)距離方案表示如下：

(13)

式中：[ai]和[bj]為POS算法尋求的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)；Sij為樣本點(diǎn)的二維數(shù)據(jù)(其中，i表示選取的頻率點(diǎn)，本文中i=1,2,3,4；j表示不同衰減量，j=1,2,3,…,9)。

在求得兩個樣本點(diǎn)之間的距離h和變差函數(shù)值γpf后，使用h和γpf進(jìn)行理論變差函數(shù)模型的擬合。根據(jù)理論變差函數(shù)模型和待插值點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的二維空間距離，即可求得對應(yīng)的變差函數(shù)值，并將其用于克里金方程組的求解。在非均勻二維空間域中其求解的公式如下:

(14)

二維非均勻克里金插值的一組權(quán)重系數(shù)λi可以通過求解方程得到，該組權(quán)重系數(shù)是一套使插值誤差最小的最優(yōu)系數(shù)，其維度與研究區(qū)域中已知點(diǎn)的個數(shù)相同。將λi代入二維非均勻域中的克里金模型定義中，即可得到待插值點(diǎn)的屬性值。

3 案例分析

3.1 模型構(gòu)建

本文選取型號為RZB-1的變壓器繞組變形測試儀校準(zhǔn)裝置，在溫濕度適宜的情況下，使用二維非均勻克里金插值算法針對多個繞組變形測試儀校準(zhǔn)裝置的基本校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。原始的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)是在測試儀器設(shè)備4個頻率段(1 kHz、10 kHz、100 kHz、300 kHz)和9個衰減量(-1.21 dB、-2.02 dB、-4.30 dB、-6.12 dB、-9.90 dB、-20.03 dB、-29.82 dB、-40.30 dB、-49.85 dB)進(jìn)行采集的，本文選取該校準(zhǔn)裝置對7臺設(shè)備的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)值作為訓(xùn)練樣本，構(gòu)建二維非均勻克里金插值模型，選取4臺設(shè)備的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)值作為測試樣本，檢驗(yàn)該模型的有效性。衰減量的數(shù)值與校準(zhǔn)誤差不在一個數(shù)量級上，如果將原始的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)作為插值對象，難以反映校準(zhǔn)誤差。因此，本文選用衰減量顯示值(dB)與標(biāo)準(zhǔn)值(dB)之間的差值作為插值對象，將差值構(gòu)成的二維數(shù)據(jù)Sij作為非均勻二維域中的區(qū)域化變量。綜合考慮研究對象的二維特性，將曲線的幅值數(shù)據(jù)構(gòu)建為二維變形場模型，如下式：

mod=(aibjSij) (i=1,2,3,4;j=1,2,…,9)

(15)

其中，下標(biāo)i表示不同的頻率；下標(biāo)j表示不同的衰減量。

選擇7個校準(zhǔn)樣本數(shù)據(jù)作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用POS算法對校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，將二維非均勻克里金插值交叉驗(yàn)證結(jié)果的均方誤差作為適應(yīng)度函數(shù)。POS算法按照經(jīng)驗(yàn)設(shè)置初始參數(shù)學(xué)習(xí)因子c1、c2均為1.5，慣性權(quán)重w為0.729 8，初始化種群大小為20。

首先在0.95～1.05的范圍內(nèi)初始化種群個體位置，粒子的維度為13，將解空間的范圍設(shè)置在[0.50,2.00]，解的精度設(shè)置為0.01，如下式：

particle1=[a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,b9]

(16)

當(dāng)適應(yīng)度函數(shù)收斂或者迭代次數(shù)超出規(guī)定次數(shù)后終止。然后通過POS算法得到二維非均勻克里金插值模型的13維權(quán)重最優(yōu)解為[1.10,1.07,1.06,0.94,0.90,0.67,0.52,0.85,0.95,0.95,0.90,0.94,0.90]。

最后使用上述13維權(quán)重構(gòu)建插值數(shù)據(jù)，并完成二維變差函數(shù)的調(diào)整，如下式:

(17)

其中，每一列為同一衰減量不同頻率點(diǎn)、每一行為同一頻率不同衰減量的二維非均勻克里金插值調(diào)整后的數(shù)據(jù)。

為了驗(yàn)證該處理方法的有效性，本文針對數(shù)據(jù)點(diǎn)a3b9S39重復(fù)做了10次試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果見圖1。在圖1中，對這7個校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的10個試驗(yàn)數(shù)值的最大值、最小值、平均值進(jìn)行了對比研究，并畫出試驗(yàn)中所用的數(shù)值(即試驗(yàn)用值)和運(yùn)用二維非均勻克里金插值計(jì)算結(jié)果的連線。

圖1 數(shù)據(jù)點(diǎn)a3b9S39的10次試驗(yàn)結(jié)果Fig.1 10 test results of data point a3b9S39

由圖1可見，通過本文處理方法插值出來的數(shù)據(jù)更接近多次校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的平均值，比起試驗(yàn)用值來說更少地選用靠近極值的數(shù)據(jù)。

3.2 插值結(jié)果

本文使用二維非均勻克里金插值算法對變壓器繞組變形測試儀校準(zhǔn)裝置的基本校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。首先將{[ai],[bj]}系數(shù)值乘以對應(yīng)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)與衰減量的差值，利用二維非均勻變差函數(shù)計(jì)算各個點(diǎn)的變差函數(shù)值，得到變差函數(shù)模型；然后計(jì)算待插值點(diǎn)和所有已知樣本點(diǎn)之間的距離并代入變差函數(shù)模型中得到對應(yīng)的變差函數(shù)值；最后求解算法的方程組得到一組權(quán)重系數(shù)，將權(quán)重系數(shù)和已知樣本點(diǎn)的差值進(jìn)行加權(quán)調(diào)整后，運(yùn)用二維非均勻克里金插值方法對所有數(shù)據(jù)進(jìn)行遍歷插值，即可得到數(shù)據(jù)的修正值，再將該數(shù)據(jù)加上衰減量，就成為調(diào)整后的最終數(shù)據(jù)了。數(shù)據(jù)點(diǎn)S394次校準(zhǔn)數(shù)據(jù)與衰減量差值的插值結(jié)果見圖2,數(shù)據(jù)點(diǎn)S394次校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的多次試驗(yàn)結(jié)果與二維非均勻克里金插值結(jié)果對比見圖3。

圖2 數(shù)據(jù)點(diǎn)S394次校準(zhǔn)數(shù)據(jù)與衰減量差值的插值 結(jié)果Fig.2 Interpolation results of the difference between four different calibration data and attenuation magnitude of the data point S39

圖3 數(shù)據(jù)點(diǎn)S394次校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的多次試驗(yàn)結(jié)果與二維 非均勻克里金插值結(jié)果對比圖Fig.3 Comparison diagram of four calibration data of data point S39 between multiple tests and two- dimensional non-uniform Kriging interpolation

由圖2和圖3對比可知，對數(shù)據(jù)點(diǎn)S39在第一臺測試設(shè)備上，多次重復(fù)試驗(yàn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與衰減量的差值在0.38 dB～0.47 dB之間，由校準(zhǔn)結(jié)果分散性引入的不確定度分量為0.04 dB，而經(jīng)過二維非均勻克里金插值后的數(shù)據(jù)差值為0.43 dB，與多次校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的平均值僅僅相差0.01 dB,大大地弱化了因?yàn)樾?zhǔn)結(jié)果分散性而造成的不確定度；后面3臺設(shè)備的結(jié)果也同樣證明了該方法的有效性。因此，二維非均勻克里金插值方法應(yīng)用于變壓器繞組變形測試儀校準(zhǔn)裝置校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的處理中，能有效地降低因?yàn)樾?zhǔn)結(jié)果分散性而造成的不確定度，提高校準(zhǔn)的精度。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于二維非均勻插值算法的變壓器繞組變形測試儀校準(zhǔn)數(shù)據(jù)處理方法。對同一種計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，通過對不同的多臺測試儀器的校準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行了二維非均勻插值處理，利用該方法提取了與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)的特征，并運(yùn)用該特征對后面校準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行了調(diào)整與校準(zhǔn)。試驗(yàn)證明：該方法有效地降低了校準(zhǔn)結(jié)果分散性而引入的不確定度，與直接校準(zhǔn)相比，無需花費(fèi)大量時間進(jìn)行多次試驗(yàn)來減少誤差，提高了繞組變形測試儀校準(zhǔn)數(shù)據(jù)質(zhì)量和校準(zhǔn)精度，對測試儀的校準(zhǔn)評價(jià)更為準(zhǔn)確，保障了電網(wǎng)的安全運(yùn)行，具有很好的社會效益和經(jīng)濟(jì)效益。