楊天虎，岳志明，李玉宏

基于冪級(jí)數(shù)解的單擺周期近似公式

楊天虎1，2，岳志明1，李玉宏1，2

（1. 酒泉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 新能源工程系，甘肅 酒泉 735000；2. 甘肅省太陽(yáng)能發(fā)電系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 酒泉新能源研究院，甘肅 酒泉 735000）

通過(guò)對(duì)單擺周期準(zhǔn)確解的冪級(jí)數(shù)分析推導(dǎo)，給出了新的單擺周期近似公式，經(jīng)MATLAB計(jì)算驗(yàn)證，其結(jié)果在振幅179°的范圍內(nèi)誤差小，精度高.

單擺；橢圓積分；冪級(jí)數(shù)

單擺是物理學(xué)中研究的一個(gè)重要問(wèn)題，在理論及實(shí)驗(yàn)教學(xué)中具有重要作用．在擺角小于5 °的條件下振動(dòng)時(shí)，可近似認(rèn)為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，隨著擺角的增加，單擺的振動(dòng)逐漸從線性過(guò)渡到非線性．讓學(xué)生了解單擺振動(dòng)的非線性特征，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)自然界中存在的大量非線性振動(dòng)．本文通過(guò)分析在無(wú)阻尼情況下由剛性輕桿和小球構(gòu)成的理想單擺模型，得出最大振幅近179 °時(shí)的周期近似計(jì)算公式．

單擺周期的精確計(jì)算需要求解橢圓積分[1-2]，算法復(fù)雜，計(jì)算難度大，需要借助數(shù)學(xué)軟件才能完成．文獻(xiàn)[3-6]等給出了多種形式的單擺周期近似公式，大多數(shù)近似公式在振幅小于90 °的范圍內(nèi)，誤差小，近似程度高，但大于90 °時(shí)，效果一般，甚至不能用．本文通過(guò)對(duì)單擺準(zhǔn)確周期公式的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的分析推導(dǎo)，給出了新的單擺周期近似公式．經(jīng)MATLAB計(jì)算驗(yàn)證，其結(jié)果在振幅179 °的范圍內(nèi)誤差小，精度高.

1 單擺周期公式

即

2 單擺周期近似公式推導(dǎo)

事實(shí)上，有函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式[10]100

由此可得

所以

因

因此，由式（4）得

3 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

式（2）（4）（5）經(jīng)MATLAB編程計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖1.

圖1 式（2）（4）（5）的周期計(jì)算結(jié)果

式（2）（4）~（6）的部分計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1.

4 結(jié)論

（2）經(jīng)MATLAB計(jì)算驗(yàn)證，在振幅179 °的范圍內(nèi)，式（4）（6）的絕對(duì)誤差小于0.02，精度高；式（5）的最大絕對(duì)誤差小于0.08，相對(duì)精度低.

（3）單擺的近似計(jì)算實(shí)質(zhì)上是對(duì)第一類完全橢圓積分的近似計(jì)算，本文的分析方法對(duì)類似的橢圓積分近似計(jì)算問(wèn)題具有一定的借鑒意義.

[1] 單洪森，恰汗·合孜爾．Cap-cyclide坐標(biāo)中Jacobi第一種完全橢圓積分和Jacobi橢圓函數(shù)的數(shù)值計(jì)算[J]．新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，24（2）：28-31

[2] 姚征，鐘萬(wàn)勰．橢圓函數(shù)的精細(xì)積分改進(jìn)算法[J]．?dāng)?shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2008，29（4）：251-260

[3] 鞠衍清，張風(fēng)雷．基于MATLAB的單擺周期近似解的比較[J]．大學(xué)物理，2007，26（3）：6-9

[4] 單長(zhǎng)吉，陳光操，羅藝，等．基于萬(wàn)能公式和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的高倍角對(duì)單擺周期的研究[J]．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2018，31（1）：31-36

[5] 薛德勝，周釗，高美珍．單擺近似周期的新形式及構(gòu)造分析[J]．大學(xué)物理，2010，29（8）：25-28

[6] 王成會(huì)，莫潤(rùn)陽(yáng)，邊小兵．單擺的超大振幅振動(dòng)[J]．大學(xué)物理，2016，35（1）：11-14

[7] 歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎，金福臨，等．?dāng)?shù)學(xué)分析（上）[M]．3版．北京：高等教育出版社，2007：310-316

[8] 胡紹宗．橢圓積分的計(jì)算及其應(yīng)用[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（1）：111-116

[9] 楊天虎，岳志明．兩個(gè)極限相等的有趣數(shù)列[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2016，32（1）：101-104

[10] 歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎，金福臨，等．?dāng)?shù)學(xué)分析（下）[M]．3版．北京：高等教育出版社，2007：76，100

Approximate periodic formula of simple pendulum based on power series solution

YANG Tianhu1，2，YUE Zhiming1，LI Yuhong1，2

（1. Department of New Energy Engineering，Jiuquan Vocational and Technical College，Jiuquan 735000，China；2. Key Laboratory of Solar Power System Engineering Project，Gansu Province，Jiuquan New Energy Research Institute，Jiuquan 735000，China）

Based on the analysis and derivation of the power series of the exact periodic solution of simple pendulum， a new approximate formula of simple pendulum is given. MATLAB calculation proves that the formula has small error and high precision within the range of 179 °.

simple pendulum；elliptic integral；power series

O313

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.06.009

1007-9831（2020）06-0041-04

2020-02-25

甘肅省高等學(xué)校產(chǎn)業(yè)支撐引導(dǎo)項(xiàng)目（2019C-20）

楊天虎（1970-），男，甘肅蘭州人，副教授，從事基礎(chǔ)物理、計(jì)算物理研究．E-mail：yth2800@163.com