段國(guó)勝

(青海交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院,青海 西寧 810000)

在眾多巖土工程中都涉及到斷裂力學(xué)理論的研究,巖石復(fù)合型斷裂韌度是線彈性斷裂力學(xué)中研究裂紋擴(kuò)展的重要參數(shù)之一[1]。前人的研究認(rèn)為裂紋尖端應(yīng)力存在奇異性,同時(shí)求解應(yīng)力強(qiáng)度因子和T應(yīng)力存在很大困難,忽略T應(yīng)力的存在,既大大簡(jiǎn)化了計(jì)算難度,又不會(huì)帶來(lái)很大誤差[3]。越來(lái)越多的研究證明[5],T應(yīng)力對(duì)裂紋擴(kuò)展方向和斷裂強(qiáng)度具有很大影響。

目前人們對(duì)T應(yīng)力的研究主要采用3種方法:物理實(shí)驗(yàn)法、解析式法和有限元模型法[8]。Zhao等[9]研究T應(yīng)力對(duì)巖石斷裂的影響,發(fā)現(xiàn)T應(yīng)力對(duì)于預(yù)測(cè)混凝土復(fù)合型裂紋更真實(shí)的斷裂韌性至關(guān)重要,負(fù)的T應(yīng)力增強(qiáng)了巖石斷裂韌度,抑制了裂紋的擴(kuò)展;石涌超等[10]通過(guò)仿真模擬研究了KⅠ/KⅡ?qū)嗔呀堑挠绊懬€,結(jié)果證明考慮T應(yīng)力的最大周向應(yīng)力(MTS,the maximum tensile stress)準(zhǔn)則計(jì)算得到的斷裂角與傳統(tǒng)MTS準(zhǔn)則計(jì)算得到的斷裂角有較大區(qū)別;韋櫂詳[11]的研究同樣發(fā)現(xiàn)T應(yīng)力對(duì)裂紋擴(kuò)展方向和斷裂強(qiáng)度均具有很大影響,考慮T應(yīng)力的斷裂預(yù)測(cè)準(zhǔn)則更符合試驗(yàn)數(shù)據(jù);Liu[12]通過(guò)參數(shù)敏感性分析說(shuō)明裂紋塑性區(qū)半徑大小對(duì)巖石裂紋斷裂角和斷裂強(qiáng)度影響顯著;楊健峰等[13]用三點(diǎn)彎曲半圓盤試件測(cè)試了不同復(fù)合比裂紋的泥巖斷裂韌度,并與廣義最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)考慮T應(yīng)力后的理論結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果更加吻合;孫欣等[14]對(duì)單邊切槽深梁(SENDB,the single edge notched deep beam)試件的有限元模型和物理實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是材料的固有屬性的裂紋臨界擴(kuò)展區(qū)半徑并不是定值;張恒[15]建立了最大周向拉應(yīng)變理論,相比于傳統(tǒng)斷裂理論,考慮T應(yīng)力的修正準(zhǔn)則預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)結(jié)果更加吻合;馮若琪等[16]采用SCB試件測(cè)試得到了不同復(fù)合比裂紋砂巖的斷裂韌度,對(duì)MTS等多個(gè)準(zhǔn)則預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了斷裂準(zhǔn)則的準(zhǔn)確性與可靠性,但作者驗(yàn)證的斷裂準(zhǔn)則均未考慮T應(yīng)力的影響。

為提高復(fù)合型裂紋斷裂強(qiáng)度和斷裂方向的預(yù)測(cè)精度,考慮了T應(yīng)力在脆性斷裂中的作用,建立了廣義最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則,并采用該準(zhǔn)則,以無(wú)限大平板內(nèi)含裂紋模型為對(duì)象,研究了T應(yīng)力、側(cè)壓系數(shù)k及臨界裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑α對(duì)復(fù)合型斷裂強(qiáng)度的影響。

1 理論依據(jù)

在平面線彈性假設(shè)的前提下,裂紋尖端應(yīng)力分布及變量示意圖如圖1所示。

圖1 裂紋尖端參數(shù)Fig.1 Crack tip parameters

對(duì)于各向同性介質(zhì),Williams建立了以裂紋尖端頂端為原點(diǎn)的極坐標(biāo)下裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的冪級(jí)數(shù)展開式,取應(yīng)力級(jí)數(shù)解的前兩項(xiàng),可表示為

(1)

Irwin將應(yīng)力級(jí)數(shù)解中的第二項(xiàng)稱為橫向應(yīng)力,即“transverse stress”,并用T-stress表示,中文文獻(xiàn)中將其稱為T應(yīng)力,將式(1)改為以應(yīng)力強(qiáng)度因子和T應(yīng)力表示的常見(jiàn)形式[17]為

(2)

其中:σθ、σr、τrθ為極坐標(biāo)下裂紋尖端應(yīng)力分量(MPa);更高階項(xiàng)O(r1/2)可以忽略不計(jì);參數(shù)KⅠ、KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型斷裂韌性(MPa·m1/2);T表示常數(shù)項(xiàng)T應(yīng)力(MPa);斷裂參數(shù)KⅠ、KⅡ、T為試樣尺寸函數(shù),不同類型試樣及加載方式,斷裂參數(shù)差異很大。

以無(wú)限大平板內(nèi)含長(zhǎng)度為2a的裂紋為研究對(duì)象,平板受力情況如圖2所示,其中軸向載荷為σ;橫向載荷為kσ;定義橫向載荷與軸向載荷的比值為側(cè)壓系數(shù)k;裂紋傾角與軸向載荷的夾角為β。當(dāng)平板無(wú)限大時(shí),裂紋長(zhǎng)度趨近于無(wú)限小,可得參數(shù)裂紋尖端Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力分別為

(3)

圖2 雙軸應(yīng)力無(wú)限大內(nèi)含裂紋平板 Fig.2 Plate containing cracks with infinite biaxial stress

2 裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則

在巖石裂紋斷裂問(wèn)題研究中,常被使用的裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則主要有最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則[18]、最小應(yīng)變能密度準(zhǔn)則[19]和最大能量釋放率準(zhǔn)則[20],最大周向應(yīng)變準(zhǔn)則認(rèn)為裂紋起裂發(fā)生在裂紋尖端周向應(yīng)力最大方向且距離裂紋尖端距離為rc的范圍內(nèi),rc即為臨界裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑。包含T應(yīng)力的最大周向應(yīng)力判據(jù)可以表示為

(4)

將式(2)和式(3)代入式(4)中,可得

Tsin 2θ=0,

(5)

(6)

其中:σc為裂紋斷裂時(shí)裂紋尖端周向應(yīng)力臨界值(MPa);σθ為裂紋尖端周向應(yīng)力(MPa);rc為裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑臨界值(mm)。為方便研究裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑rc對(duì)斷裂韌度的影響,對(duì)α進(jìn)行無(wú)量綱化處理,定義無(wú)量綱參數(shù)α為

(7)

假設(shè)側(cè)壓系數(shù)k取值范圍為0～1,無(wú)量綱參數(shù)α為0、0.1、0.2、0.4,根據(jù)式(5)～式(7)可得裂紋斷裂韌度在應(yīng)力強(qiáng)度因子空間內(nèi),側(cè)壓系數(shù)k及無(wú)量綱參數(shù)α的變化規(guī)律。地層深部巖石大多處于復(fù)雜的應(yīng)力環(huán)境之中,斷裂形式大多屬于復(fù)合型斷裂,Ⅰ型和Ⅱ型斷裂形式以不同的比例同時(shí)存在,因此有必要對(duì)巖石裂紋在不同圍壓狀態(tài)下的斷裂韌度進(jìn)行研究。此外復(fù)合型斷裂韌度測(cè)試?yán)щy,但根據(jù)裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則,只要已知某種材料的純Ⅰ型斷裂韌度和純Ⅱ型斷裂韌度,即可得到任意復(fù)合比裂紋的斷裂韌度。

3 裂紋斷裂韌性研究

大量的研究證明,巖石裂紋的斷裂強(qiáng)度受裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子及常數(shù)項(xiàng)T應(yīng)力的共同控制[21],裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑范圍內(nèi),由于材料的塑性性質(zhì),應(yīng)力奇異性大大減小,T應(yīng)力較大,且?guī)r石材料的裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑較大,T應(yīng)力對(duì)斷裂強(qiáng)度的影響更加顯著。若不考慮T應(yīng)力的影響,純Ⅰ型裂紋的擴(kuò)展路徑總是顯示為直線,但當(dāng)T應(yīng)力不為0時(shí),裂紋將發(fā)生偏轉(zhuǎn),路徑顯示為曲線狀態(tài)[22],且應(yīng)力強(qiáng)度因子對(duì)裂紋尺寸的變化更加敏感[23],T應(yīng)力相對(duì)較弱,當(dāng)裂紋尺寸超過(guò)某一定值時(shí),T應(yīng)力會(huì)發(fā)生迅速變化。根據(jù)T應(yīng)力的這一特性,應(yīng)特別注意控制裂紋的尺寸。

3.1 側(cè)壓系數(shù)

分別假設(shè)α為0、0.1、0.2、0.3、0.4,當(dāng)α保持為某一定值時(shí),在不同側(cè)壓系數(shù)k情況下,裂紋斷裂強(qiáng)度在應(yīng)力強(qiáng)度因子空間內(nèi)的變化規(guī)律如圖3所示。

當(dāng)α=0時(shí),裂紋斷裂時(shí)刻的Ⅰ型與Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律如圖3(a)所示。無(wú)限大平板內(nèi)裂紋純Ⅱ型斷裂韌度與純Ⅰ型斷裂韌度比值為0.87。隨著圍壓的增大,Ⅱ型斷裂占比逐漸增大;僅當(dāng)圍壓為0時(shí),存在純Ⅱ型斷裂,圍壓越大,Ⅱ型斷裂占比越大;圍壓環(huán)境下,裂紋斷裂時(shí)刻的Ⅰ型與Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子比例均與圍壓為0時(shí)裂紋斷裂強(qiáng)度在應(yīng)力強(qiáng)度因子空間內(nèi)的曲線重合。

在裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑不為0的情況下,當(dāng)圍壓為0時(shí),裂紋斷裂時(shí)刻的Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的增大迅速增大,達(dá)到極值后逐漸降低;隨著圍壓的增大,不同裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑情況下,Ⅱ型斷裂在復(fù)合型裂紋斷裂所占的比例逐步增大,但隨裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑的增大,斷裂時(shí)刻的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子占比也逐漸增大,說(shuō)明裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑的增大增強(qiáng)了裂紋的Ⅰ型斷裂。

3.2 臨界裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑

無(wú)量綱參數(shù)α由預(yù)制裂紋長(zhǎng)度a和裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑rc共同決定,保持預(yù)制裂紋初始長(zhǎng)度不變,即可研究不同裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑情況下,裂紋斷裂強(qiáng)度在應(yīng)力強(qiáng)度因子空間內(nèi)的變化規(guī)律。當(dāng)rc=0時(shí),T應(yīng)力為0,此時(shí)無(wú)法研究T應(yīng)力對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響,復(fù)合型裂紋斷裂強(qiáng)度在應(yīng)力強(qiáng)度因子空間內(nèi)的曲線為傳統(tǒng)周向應(yīng)力準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果。為研究T應(yīng)力大小對(duì)裂紋擴(kuò)展影響,將T應(yīng)力為0的情況同樣列于圖中,方便與考慮T應(yīng)力的廣義最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則斷裂韌度預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖4(a)～(c)分別為不同側(cè)壓系數(shù)作用下,計(jì)算得到的裂紋斷裂時(shí)刻Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子在不同裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑α下的變化規(guī)律。

由圖4(a)可知,當(dāng)α=0時(shí),修正最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則退化為傳統(tǒng)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則,此時(shí)裂紋斷裂時(shí)刻的應(yīng)力強(qiáng)度因子預(yù)測(cè)結(jié)果與考慮T應(yīng)力后的GMTS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)果差別很大。當(dāng)Ⅱ型斷裂占比較大時(shí),未考慮T應(yīng)力的MTS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)果偏大,隨著裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑的增大,斷裂時(shí)刻的Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度變小,說(shuō)明T應(yīng)力及裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑抑制了裂紋的Ⅱ型斷裂,增強(qiáng)了Ⅰ型斷裂;當(dāng)Ⅰ型斷裂占比較大時(shí),未考慮T應(yīng)力的MTS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)果偏小,隨著裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑的增大,斷裂時(shí)刻的Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子變大,即T應(yīng)力及裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑的增大增強(qiáng)了裂紋的Ⅱ型斷裂,抑制了Ⅰ型斷裂。此外,斷裂時(shí)刻的Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子占比越大,不考慮T應(yīng)力的MTS準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)果誤差越大,說(shuō)明T應(yīng)力對(duì)斷裂韌度預(yù)測(cè)結(jié)果影響顯著,特別是在Ⅱ型斷裂占主導(dǎo)地位時(shí),影響更大。

圖3 不同側(cè)壓系數(shù)k下Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋斷裂韌度Fig.3 Fracture toughness of typeⅠ-Ⅱ mixed mode cracks with different side pressure coefficients k

隨著圍壓的增大,不同裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑材料的斷裂強(qiáng)度在應(yīng)力強(qiáng)度因子空間內(nèi)的分布特征逐漸趨于一致,且Ⅱ型斷裂在復(fù)合型斷裂所占的比例逐漸減小,當(dāng)側(cè)壓系數(shù)k=1時(shí),裂紋僅發(fā)生Ⅰ型斷裂,與裂紋傾角無(wú)關(guān)。

圖4 應(yīng)力強(qiáng)度因子在不同裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑α下的變化規(guī)律Fig.4 Variation curve of stress intensity factors with radius α of different cracks growth area

4 結(jié)論

(1) 無(wú)限大平板內(nèi)裂紋純Ⅱ型斷裂韌度與純Ⅰ型斷裂韌度比值為0.87。隨著圍壓的增大,Ⅱ型斷裂占比逐漸增大;僅當(dāng)圍壓為0時(shí),存在純Ⅱ型斷裂,圍壓越大,Ⅱ型斷裂占比越大。

(2) 在裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑不為0的情況下,當(dāng)圍壓為0時(shí),裂紋斷裂時(shí)刻的Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的增大迅速增大,達(dá)到極值后逐漸降低,且裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑的增大增強(qiáng)了裂紋的Ⅰ型斷裂。

(3) 當(dāng)Ⅱ型斷裂占比較大時(shí),T應(yīng)力及裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑抑制了裂紋的Ⅱ型斷裂,增強(qiáng)了Ⅰ型斷裂;當(dāng)Ⅰ型斷裂占比較大時(shí),T應(yīng)力及裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑的增大增強(qiáng)了裂紋的Ⅱ型斷裂,抑制了Ⅰ型斷裂;T應(yīng)力對(duì)斷裂韌度預(yù)測(cè)結(jié)果影響顯著,特別是在Ⅱ型斷裂占主導(dǎo)地位時(shí),影響更大。

(4) 隨著圍壓的增大,不同裂紋擴(kuò)展區(qū)半徑材料的斷裂強(qiáng)度在應(yīng)力強(qiáng)度因子空間內(nèi)的分布特征逐漸趨于一致,且Ⅱ型斷裂在復(fù)合型斷裂所占的比例逐漸減小。