姜媛，唐梁，陳原

(山東大學(xué)(威海)機(jī)電與信息工程學(xué)院，山東威海，264209)

船用吊裝設(shè)備是實(shí)現(xiàn)貨物在船與船之間、船與陸地之間進(jìn)行交換的媒介。運(yùn)用于港口碼頭的船用吊裝技術(shù)影響貨物的裝卸效率，決定貨物的交換質(zhì)量與效率，尤其是海軍的后勤遠(yuǎn)洋補(bǔ)給，軍艦的裝備補(bǔ)給效率可能影響一場(chǎng)局部戰(zhàn)爭(zhēng)的成敗，因此，發(fā)展高技術(shù)水平的船用吊裝設(shè)備，提高船用吊裝技術(shù)，對(duì)未來的遠(yuǎn)洋補(bǔ)給和作戰(zhàn)具有重大的意義。通常，受波浪的影響，船舶會(huì)產(chǎn)生橫移、縱移、升沉、橫搖、縱搖、艏搖6個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，使得被補(bǔ)給船與補(bǔ)給船之間產(chǎn)生6個(gè)方向上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。船舶之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)影響到貨物吊裝的質(zhì)量，例如，波浪運(yùn)動(dòng)造成被補(bǔ)給船和補(bǔ)給船之間發(fā)生的升沉相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致放下的貨物與甲板發(fā)生碰撞，或者使貨物再次發(fā)生懸空；波浪運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生船舶之間的橫搖相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)造成貨物下放的位置發(fā)生偏轉(zhuǎn)，使其易于與鄰近貨物發(fā)生碰撞。為了保證甲板上工作人員和貨物的安全，應(yīng)減小甚至避免貨物與甲板或者貨物之間碰撞的發(fā)生，因此，亟需研制波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償技術(shù)，減少波浪運(yùn)動(dòng)對(duì)吊裝作業(yè)的影響。

現(xiàn)有的波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償技術(shù)大都只對(duì)升沉方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，分為被動(dòng)式和主動(dòng)式。主動(dòng)式補(bǔ)償系統(tǒng)通過對(duì)母體狀態(tài)信號(hào)的反饋來控制補(bǔ)償執(zhí)行器，抗干擾能力強(qiáng)，精度高，補(bǔ)償效果佳，主要有液壓伸縮補(bǔ)償、拖纜絞車收放補(bǔ)償、吊臂變幅式補(bǔ)償?shù)认到y(tǒng)類型[1-3]。被動(dòng)式補(bǔ)償系統(tǒng)多見于升沉方向補(bǔ)償，較為典型的是隨動(dòng)車補(bǔ)償[4-5]，這種補(bǔ)償系統(tǒng)無需主動(dòng)控制、提供能源，但補(bǔ)償精度低、性能差。轉(zhuǎn)運(yùn)過程中精度與轉(zhuǎn)運(yùn)物安全息息相關(guān)，隨著世界貿(mào)易發(fā)展和我國(guó)軍事不斷進(jìn)步，單一升沉或搖擺方向的運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償已經(jīng)不能滿足各方需求。為了保證補(bǔ)給的安全性，提高補(bǔ)給效率，國(guó)內(nèi)外對(duì)多維方向的波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償技術(shù)進(jìn)行了研究，它們主要通過繩索驅(qū)動(dòng)的柔性冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)或者剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)多維方向的波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償技術(shù)。例如，美國(guó)海軍研究辦公室研制了六自由度并聯(lián)波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償裝置LVI LO/LO，它使用慣性測(cè)量單元和攝像機(jī)陣列來檢測(cè)艦船之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，并通過8根繩索對(duì)動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)冗余控制[6]。胡永攀等[7-8]提出了一種繩驅(qū)動(dòng)六自由度并聯(lián)式波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償裝置，研究了該裝置的魯棒控制方法，并進(jìn)行了抗擺性能分析，但是，這2種六自由度并聯(lián)式波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償裝置都是純繩索驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，而繩索只受拉力不受壓力，當(dāng)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)需要繩索伸長(zhǎng)時(shí)，可能達(dá)不到預(yù)期的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。邱廣庭等[9-10]提出了一種三自由度剛性并聯(lián)式波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償裝置，該裝置能克服波浪運(yùn)動(dòng)對(duì)起重機(jī)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響。LU 等[11]提出了一種3UPU/PU 剛性并聯(lián)平臺(tái)，用于船舶甲板的自動(dòng)補(bǔ)償，但是，這2種剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)都只具有3個(gè)方向上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償，在復(fù)雜的海況下不能有效地保證貨物轉(zhuǎn)運(yùn)的安全。KIM等[12]研制了一種六自由度波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償裝置，它利用機(jī)器視覺來檢測(cè)貨物與船舶之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，并通過智能平臺(tái)來實(shí)現(xiàn)波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償，但是，該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，實(shí)用性差。郭霆等[13]提出了一種復(fù)合式6-SPS波浪補(bǔ)償穩(wěn)定平臺(tái)，但是，該機(jī)構(gòu)采用雙層結(jié)構(gòu)，所占空間大，控制靈巧性不足。剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)能很好地實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的多維方向運(yùn)動(dòng)，可以滿足波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償過程中對(duì)多維方向運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償?shù)男枰?，剛性并?lián)機(jī)構(gòu)受制于驅(qū)動(dòng)和關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍的限制，其工作空間較小，且機(jī)構(gòu)質(zhì)量較大，不適宜應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)范圍較大的波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)。近年來，繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)因具有質(zhì)量小、驅(qū)動(dòng)繩索的長(zhǎng)度不受限制、較大的工作空間、自身慣量小等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛關(guān)注[14]。然而，繩索只受拉力不受壓力，繩索在伸長(zhǎng)過程中可能會(huì)得不到預(yù)期的速度或加速度，從而影響動(dòng)平臺(tái)的控制效果，甚至引發(fā)安全事故。為此，一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者在繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型基礎(chǔ)上，引入剛性約束支鏈，構(gòu)成繩驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜綑C(jī)構(gòu)。剛?cè)峄旌鲜浇Y(jié)構(gòu)既具有純繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間大、動(dòng)態(tài)特性好等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)，引入的剛性支鏈增強(qiáng)了該機(jī)構(gòu)的整體剛度，又彌補(bǔ)了繩索只受拉力不受壓力的缺點(diǎn)，使得該機(jī)構(gòu)的控制更加完善。對(duì)繩驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜綑C(jī)構(gòu)的研究主要有：尚波[15]提出了一種由3根繩索與1個(gè)剛性S支鏈組成的兩自由度的新型剛?cè)峤Y(jié)構(gòu)，將其應(yīng)用于仿生關(guān)節(jié)；郭浩[16]提出了一種多連桿繩驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，該結(jié)構(gòu)的基本單元由4根驅(qū)動(dòng)電纜和1 個(gè)被動(dòng)的S 剛性支鏈組成；KOSSOWSKi等[17]研制了一種柔索驅(qū)動(dòng)桁架，該裝置用6根控制電纜進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，其中用1個(gè)由18個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成的被動(dòng)支鏈來維持結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，使結(jié)構(gòu)具有3個(gè)平移與1個(gè)旋轉(zhuǎn)四自由度；MAO等[18]研制了一種康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人，用7根繩索構(gòu)建了一個(gè)兩層的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中間支鏈由若干關(guān)節(jié)副串聯(lián)組成被動(dòng)支鏈，實(shí)現(xiàn)該機(jī)器人模仿人手臂的5個(gè)自由度方向的運(yùn)動(dòng)；謝少榮等[19]提出了一種混合驅(qū)動(dòng)柔索并聯(lián)仿生眼結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由3根繩索與1個(gè)R-S 主動(dòng)支鏈來實(shí)現(xiàn)眼部結(jié)構(gòu)的三維轉(zhuǎn)動(dòng)；BEHZADIPOUR 等[20]提出了一種基于電纜牽引的并聯(lián)機(jī)器人，由3對(duì)繩索和1個(gè)主動(dòng)UPU剛性支鏈構(gòu)成，該結(jié)構(gòu)只具有3個(gè)方向上的平移運(yùn)動(dòng)。對(duì)于剛?cè)峄旌鲜津?qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中間支鏈的結(jié)構(gòu)類型影響其整體結(jié)構(gòu)的自由度，也因此使得剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于少自由度的需求場(chǎng)合。現(xiàn)有的研究其剛性支鏈大多是一個(gè)被動(dòng)的支鏈，支鏈本身不具有驅(qū)動(dòng)，只起約束作用。在一些實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，剛性支鏈由若干運(yùn)動(dòng)副串聯(lián)而成，結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜。本文作者提出一種新型四自由度剛?cè)峄旌鲜浇Y(jié)構(gòu)，將其應(yīng)用于波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)以繩牽引結(jié)構(gòu)為框架，繼承了繩牽引結(jié)構(gòu)的輕盈性、靈活性，保留了大部分工作空間；其剛性支鏈由PS 副串聯(lián)連接，支鏈結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的整體剛度，同時(shí)，該支鏈還提供直線驅(qū)動(dòng)，彌補(bǔ)了繩索受拉力不受壓力的不足，使得動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)控制更加完善。

1 繩驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)

補(bǔ)償原理圖如圖1 所示。在貨物的補(bǔ)給過程中，受波浪的影響，船與船之間發(fā)生的6個(gè)方向上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)使得補(bǔ)給貨物與被補(bǔ)給船的甲板之間發(fā)生碰撞，引發(fā)安全事故，特別是升沉方向、橫搖、縱搖和艏搖等4個(gè)方向上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)比其他2 個(gè)方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)帶來更加嚴(yán)重的碰撞，因此，本文將創(chuàng)新設(shè)計(jì)一種補(bǔ)償來自這4 個(gè)方向(升沉、艏搖、橫搖、縱搖)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的四自由度波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)。

在繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，假設(shè)其動(dòng)平臺(tái)具有p個(gè)自由度，繩索驅(qū)動(dòng)數(shù)目為q。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)構(gòu)的完全約束定位，繩索張力需要形成封閉矢量，即當(dāng)繩索驅(qū)動(dòng)數(shù)目q=p+1時(shí)，繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)才能夠抵抗作用在動(dòng)平臺(tái)上的外力旋量。對(duì)于剛?cè)峄旌鲜讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)，要實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的完全定位約束，若其剛性支鏈作為被動(dòng)支鏈，不提供驅(qū)動(dòng)，則其所需要的繩索驅(qū)動(dòng)數(shù)目為q=p+1；若其剛性支鏈作為主動(dòng)支鏈，提供驅(qū)動(dòng)，則其所需要的繩索驅(qū)動(dòng)數(shù)目為q=(p-1)+1。故要實(shí)現(xiàn)4 個(gè)方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償，該波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)需要由4根繩索以及1個(gè)剛性的PS 主動(dòng)支鏈組成?；诖怂枷?，本文設(shè)計(jì)了如圖2(a)所示的四自由度剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)的繩索支鏈由伺服電機(jī)帶動(dòng)絞線盤來控制繩索的伸縮，通過導(dǎo)線盤和動(dòng)平臺(tái)上的鉸點(diǎn)將上平臺(tái)和下平臺(tái)連接在一起；其剛性支鏈由直線電機(jī)控制其移動(dòng)副的伸縮，該支鏈的上端與上平臺(tái)幾何中心固連在一起，下端通過1個(gè)球副與下平臺(tái)幾何中心連接在一起。通過對(duì)繩索以及剛性支鏈運(yùn)動(dòng)參數(shù)的控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)平臺(tái)位置及姿態(tài)的控制。

圖1 補(bǔ)償原理圖Fig.1 Compensation principle

圖2 四自由度繩驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)Fig.2 Four-degree-of-freedom rope driven rigid-flexible hybrid wave compensation mechanism

將該四自由度繩驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)安裝在補(bǔ)給船的吊裝設(shè)備上。補(bǔ)給船對(duì)目標(biāo)船只進(jìn)行貨物補(bǔ)給，在貨物吊裝交接的過程中，由波浪產(chǎn)生的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)使貨物不能平穩(wěn)地放在目標(biāo)船只的甲板上。此時(shí)，可以通過對(duì)該波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)中繩索以及剛性支鏈運(yùn)動(dòng)參數(shù)的控制，使貨物在下放過程中始終與目標(biāo)船只保持姿態(tài)一致，并且在升沉方向上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度盡可能小，使貨物釋放后不會(huì)再次懸空，也不會(huì)對(duì)甲板產(chǎn)生較大的沖擊，這樣就有效地保障了貨物補(bǔ)給的安全性。

該四自由度剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2(b)所示，繩索支鏈AiBi(i=1，2，3，4)等效為SPS(S表示球副，P表示移動(dòng)副)支鏈，剛性支鏈AiBi為PS 支鏈。采用螺旋理論對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度驗(yàn)證[21]。螺旋的相逆性與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，對(duì)支鏈分別建立不同的分支坐標(biāo)系，對(duì)于繩索支鏈AiBi(i=1，2，3，4)，以Ai點(diǎn)球副為原點(diǎn)，建立如圖3所示的支鏈坐標(biāo)系O-XYZ。

圖3 繩索支鏈AiBi的坐標(biāo)系Fig.3 Coordinate system of rope branch AiBi

在繩索支鏈AiBi坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)螺旋系SAiBi為

式中：li為繩索支鏈AiBi(i=1，2，3，4)的長(zhǎng)度。

經(jīng)計(jì)算，該螺旋系的秩rank(SAiBi)=6，不存在反螺旋系，4條繩索支鏈AiBi都屬于六自由度分支。同理，以Ai球副的中心為原點(diǎn)，建立了如圖4所示的PS剛性支鏈A0B0的O-XYZ支鏈坐標(biāo)系。

PS 剛性支鏈在剛性支鏈坐標(biāo)下的螺旋系SA0B0為

圖4 PS剛性支鏈坐標(biāo)系Fig.4 Coordinate system of rigid branch PS

求得該螺旋系的反螺旋系為

該支鏈被約束了2個(gè)自由度，即沿X軸方向的移動(dòng)和沿Y軸方向的移動(dòng)，因此，該波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)具有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)1個(gè)移動(dòng)四自由度(繞X，Y，Z的轉(zhuǎn)動(dòng)以及沿Z軸的移動(dòng))。對(duì)于由1個(gè)少自由度的串聯(lián)分支和若干個(gè)6自由度分支構(gòu)成的第1類非對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其自由度完全決定于其少自由度串聯(lián)支鏈，因此，該補(bǔ)償機(jī)構(gòu)滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求。

2 繩驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

2.1 機(jī)構(gòu)的位置反解

機(jī)構(gòu)位置反解是在已知?jiǎng)悠脚_(tái)在空間的位置和姿態(tài)條件下，求解繩子以及剛性移動(dòng)副的伸縮位移，即已知?jiǎng)悠脚_(tái)的位姿(ZB0，α，β，γ)，求各驅(qū)動(dòng)支鏈的長(zhǎng)度L(l0，l1，l2，l3，l4)。

在機(jī)構(gòu)的靜平臺(tái)(上平臺(tái)A)建立固定坐標(biāo)系A(chǔ)0-XYZ，以靜平臺(tái)的幾何中心A0為原點(diǎn)，X 軸、Y軸、Z軸的方向如圖2(b)所示。在機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)(下平臺(tái)B)建立動(dòng)坐標(biāo)系B0-X′Y′Z′，以動(dòng)平臺(tái)的幾何中心B0為原點(diǎn)，X′軸、Y′軸、Z′軸的初始方向分別平行于固定坐標(biāo)系的X軸、Y軸、Z軸。

在靜平臺(tái)A 中，各鉸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系A(chǔ)0-XYZ中的坐標(biāo)為Ai(AixAiyAiz)，各鉸點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系原點(diǎn)A0的矢徑用rAi表示。動(dòng)平臺(tái)各鉸點(diǎn)Bi在動(dòng)坐標(biāo)系B0-X′ Y′ Z′中的坐標(biāo)表示為B′i(B′ixB′iyB′iz)，各鉸點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)B0的矢徑用rB'i表示，各鉸點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系原點(diǎn)A0的矢徑用rBi表示。用X-Y-Z 型歐拉角描述動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)的位姿就可以用3個(gè)角度α，β和γ描述，動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的姿態(tài)變換矩陣為

通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系中，相對(duì)于原點(diǎn)B0的矢徑rB'i動(dòng)平臺(tái)中的任一鉸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的矢徑rBi為

則驅(qū)動(dòng)繩以及剛性支鏈的位移矢量Li(i =0,1,…,4)在固定坐標(biāo)系中表示為

各支鏈長(zhǎng)度li的方程可以表示為

式(7)即為繩驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的位置反解。根據(jù)具體的機(jī)構(gòu)尺寸以及動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)(ZB0，α，β，γ)，可求出各個(gè)驅(qū)動(dòng)的位移L(l0，l1，l2，l3，l4)。表1 所示為動(dòng)平臺(tái)的3 組反解算例。

2.2 機(jī)構(gòu)的位置正解

求機(jī)構(gòu)的位置正解，即在已知繩子以及剛性移動(dòng)副的伸縮位移條件下，求動(dòng)平臺(tái)在空間的位置和姿態(tài)，即已知各驅(qū)動(dòng)的長(zhǎng)度L(l0，l1，l2，l3，l4)，求動(dòng)平臺(tái)的位姿(ZB0，α，β，γ)。

同時(shí)，由方程的位置反解可以得到

聯(lián)立方程組(8)以及式(9)，運(yùn)用數(shù)值迭代法可以求得旋轉(zhuǎn)矩陣中9個(gè)元素的解。然后，由旋轉(zhuǎn)變換矩陣(4)可以得到α，β，γ的表達(dá)式：

又由機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)可知：

當(dāng)已知各驅(qū)動(dòng)的長(zhǎng)度L(l0，l1，l2，l3，l4)時(shí)，可求得該動(dòng)平臺(tái)的位姿(ZB0，α，β，γ)，即求得該動(dòng)平臺(tái)位置正解。將表1 中得到的位移作為輸入，得到如表2所示的動(dòng)平臺(tái)的輸出位姿，將輸出位姿與給定位姿進(jìn)行對(duì)比得到位姿誤差。由表2 可知：位姿誤差較小，皆在10-5的數(shù)量級(jí)內(nèi)，說明了本文所提出的位置正解與位置反解模型的正確性。

2.3 機(jī)構(gòu)的速度分析

對(duì)位置反解式(7)兩端分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得第i根驅(qū)動(dòng)繩的速度l˙i：

式中：ei=Li/li，為沿Li方向的單位向量；vBi為動(dòng)平臺(tái)各鉸點(diǎn)Bi的速度，

vB0=[vx，vy，vz]T，為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)B0的線速度；ωB=[ωx，ωy，ωz]T，為動(dòng)平臺(tái)的角速度。

將式(15)代入式(14)得

對(duì)于全部5根驅(qū)動(dòng)繩，有：

表1 動(dòng)平臺(tái)的位置反解算例Table 1 Counter-solution example of moving platform

表2 動(dòng)平臺(tái)的位置正解算例Table 2 Positive position solution example of moving platform

式中：J1為驅(qū)動(dòng)速度與動(dòng)平臺(tái)六維速度間的映射矩陣。

用X-Y-Z歐拉角(α，β，γ)表示動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)，將歐拉角對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)α˙，β˙和γ˙轉(zhuǎn)換到定坐標(biāo)系中，則動(dòng)平臺(tái)的角速度用歐拉角的導(dǎo)數(shù)可以表示為

式中：R( X,α )，R( Y,β )和R( Z,γ )分別為繞X，Y，

Z軸旋轉(zhuǎn)α，β和γ角的旋轉(zhuǎn)矩陣。動(dòng)平臺(tái)的速度可用線速度和角速度表示為

其中：

將式(20)代入到式(17)得：

式中：J5×4=J1*J2∈R5×4表示該機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣。

2.4 機(jī)構(gòu)的加速度分析

設(shè)ɑ=[ɑxɑyɑz]T和ε=[εxεyεz]T分別表示動(dòng)平臺(tái)的線加速度和角加速度，ɑli表示沿Li(i=0，1，…，4)方向上的加速度。對(duì)式(16)兩端對(duì)時(shí)間分別求導(dǎo)得

將式(20)兩端分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

3 繩驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模

3.1 動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型

動(dòng)平臺(tái)的受力如圖5 所示。圖5 中，m 為動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量；Fe為加載在動(dòng)平臺(tái)上的外力；Me為加載在動(dòng)平臺(tái)上的外力矩，I為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在中心點(diǎn)的慣性張量，vB0和ωB分別為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的速度和角速度。

圖5 動(dòng)平臺(tái)的受力模型Fig.5 Force model of moving platform

動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型由平臺(tái)的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)這2部分組成，因此，動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型可以表達(dá)成如下式子：

將式(25)改寫成矩陣形式：

式中：D =

3.2 繩索驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)模型

繩索驅(qū)動(dòng)器的受力模型如圖6 所示。圖6 中，Jr為驅(qū)動(dòng)單元的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；φi為第i 個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)角矢量，以繩索長(zhǎng)度的增加方向?yàn)檎较?，?dāng)動(dòng)平臺(tái)在初始位置時(shí)，設(shè)定φi=0；Cr為繩索驅(qū)動(dòng)單元的等效阻尼系數(shù)矩陣；R為繩索驅(qū)動(dòng)器的等效半徑；fi為第i 根繩索的拉力；Ma為驅(qū)動(dòng)器的轉(zhuǎn)矩。由牛頓第二定律可以建立如下動(dòng)力學(xué)模型：

可以將式(27)改寫為如下矩陣形式：

圖6 繩索驅(qū)動(dòng)器的受力模型Fig.6 Force model of rope drive

式中：f=[f1f2f3f4]T；Ri=diag[R1R2R3R4]；Ma=[Ma1Ma2Ma3Ma4]T；Jr=diag[Jr1Jr2Jr3Jr4]；φ=[φ1φ2φ3φ4]T；Cr=diag[Cr1Cr2Cr3Cr4]。

3.3 驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型

聯(lián)立動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型與驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)模型，可以建立驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。由幾何關(guān)系可得第i根繩索的變化量Δli與第i個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)角矢量φi存在以下關(guān)系：

對(duì)式(29)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可以求得如下轉(zhuǎn)角矢量φ的速度和加速度：

將式(30)代入繩驅(qū)動(dòng)器動(dòng)力學(xué)方程(28)，可以得出繩驅(qū)動(dòng)器動(dòng)力學(xué)方程：

聯(lián)立驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)方程(31)和動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程(26)，可以求得驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程：

4 數(shù)值仿真算例

定義波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：靜平臺(tái)的長(zhǎng)為320.00 mm，寬為554.26 mm；動(dòng)平臺(tái)的長(zhǎng)為316.5 mm，寬為125.0 mm；動(dòng)平臺(tái)初始位置為水平，其中心點(diǎn)的初始位置為[0,0,-367.14]；繩索驅(qū)動(dòng)器的等效半徑R=50 mm。不考慮繩索的質(zhì)量以及繩索與滑輪之間的摩擦力。

4.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的數(shù)值仿真

建立該波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償裝置的Adams 模型，對(duì)該模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，得到如圖8所示各驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。圖8(a)中，各驅(qū)動(dòng)的長(zhǎng)度變化平滑，與圖7(a)中的驅(qū)動(dòng)長(zhǎng)度變化相一致。圖8(b)中，各驅(qū)動(dòng)的速度變化較為平滑，在大部分時(shí)間內(nèi)與圖7(b)所示變化趨勢(shì)保持一致，在1.5 s 左右處出現(xiàn)跳動(dòng)， 最大誤差為5.327 mm/s， 平均誤差為2.141 mm/s，為理論計(jì)算值的1.4%，在可接受誤差范圍內(nèi)。圖8(c)中，各驅(qū)動(dòng)的加速度變化在大部分時(shí)間與圖7(c)所示變化趨勢(shì)保持一致，在0.5 s 和1.5 s處出現(xiàn)小幅波動(dòng)，波動(dòng)的誤差為±1.237 mm/s2，在可接受的范圍內(nèi)。

圖7 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的數(shù)值仿真Fig.7 Numerical simulation of kinematics model

圖8 虛擬樣機(jī)的Adams運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真Fig.8 Adams kinematics simulation of virtual prototype

通過將Adams 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真所得到的驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的結(jié)果與MATLAB 數(shù)值模擬所得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)：在所給周期內(nèi)，其驅(qū)動(dòng)的長(zhǎng)度、速度以及加速度基本一致，誤差在可接受范圍以內(nèi)，證明了本文所推導(dǎo)的位置反解、速度模型以及加速度模型是正確的。

4.2 動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值仿真

根據(jù)所推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)公式得到MATLAB 數(shù)值模擬結(jié)果，如圖9 所示，將其與如圖10 所示的Adams動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果進(jìn)行比較。

將虛擬樣機(jī)的Adams 動(dòng)力學(xué)仿真與動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值仿真圖進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)：剛性支鏈與繩索的受力連續(xù)，不存在受力突變的位置，且繩索受力一直為正，處于張緊狀態(tài)，說明了該結(jié)構(gòu)具有良好的受力特性。將虛擬樣機(jī)的Adams 動(dòng)力學(xué)仿真與動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值仿真圖進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)無論是剛性支鏈還是繩索支鏈，其受力的大小以及變化趨勢(shì)基本保持一致。進(jìn)一步地，以剛性支鏈為例進(jìn)行誤差分析，得到如圖11 所示的剛性支鏈?zhǔn)芰?duì)比圖。由圖11 可知：MATLAB 和Adams 拉力仿真結(jié)果及其變化趨勢(shì)基本吻合，誤差的最大值出現(xiàn)在1.37 s 左右，最大誤差為0.43 N，為理論計(jì)算值的1.6%，在可接受的范圍內(nèi)。

圖9 動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值仿真Fig.9 Numerical simulation of dynamic model

圖10 虛擬樣機(jī)的Adams動(dòng)力學(xué)仿真Fig.10 Adams dynamics simulation of virtual prototype

圖11 剛性支鏈?zhǔn)芰?duì)比圖Fig.11 Comparison chart of rigid branch force

通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，繩索拉力的仿真曲線和理論計(jì)算曲線在所給周期內(nèi)基本保持一致，誤差在可接受范圍內(nèi)，可以忽略不計(jì)，驗(yàn)證了所推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)的正確性。

5 試驗(yàn)

為驗(yàn)證模型動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)的動(dòng)態(tài)特性，結(jié)合實(shí)際參情況優(yōu)化參數(shù)，搭建了實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，如圖12所示。

圖12 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Fig.12 experimental prototype

將船舶3個(gè)方向的搖擺運(yùn)動(dòng)用3組幅值與周期不同的旋轉(zhuǎn)正弦函數(shù)表示，如表3所示。

表3 旋轉(zhuǎn)正弦函數(shù)Table 3 Rotate sine function

分別比較各軸傳感器檢測(cè)角幅值與目標(biāo)正弦函數(shù)幅值，得到絕對(duì)值誤差均為1°左右。對(duì)3組測(cè)量的旋轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)與輸入函數(shù)圖像進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖13所示。

從圖13可以看出：X方向和Z方向幅值稍大于傳感器檢測(cè)幅值，而Y方向幅值稍小于傳感器檢測(cè)幅值，誤差主要是由繩索的彈性變形和步進(jìn)電機(jī)的控制精度不足引起。動(dòng)平臺(tái)偏轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)示意圖如圖14 所示。此機(jī)構(gòu)中，繩索A 和B 的拉力相等，橫截面變化可忽略不計(jì)，因此，變形的主要影響因素為繩長(zhǎng)。橫搖與艏搖過程中繩索A 的伸長(zhǎng)量比繩索B的大，導(dǎo)致偏角增大；而縱搖時(shí)，支鏈A和B長(zhǎng)度變化小，張緊力大，電機(jī)驅(qū)動(dòng)受到的阻尼較大，導(dǎo)致繩索支鏈長(zhǎng)度變短，導(dǎo)致偏角減小。陀螺儀受環(huán)境影響，也可能導(dǎo)致誤差出現(xiàn)。

圖13 搖擺幅度擬合曲線Fig.13 Fitting curves of swing amplitude

圖14 動(dòng)平臺(tái)偏轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.14 Schematic diagram of deflection structure of moving platform

6 結(jié)論

1)提出了一種用于四自由度繩驅(qū)動(dòng)剛?cè)峄旌鲜讲ɡ诉\(yùn)動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)，基于螺旋理論驗(yàn)證了其運(yùn)動(dòng)自由度，能滿足波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動(dòng)需求。

2)建立了該波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償裝置的位置正解與位置反解。利用數(shù)值迭代法對(duì)位置正/反解進(jìn)行計(jì)算，位置誤差都在10-5mm數(shù)量級(jí)，驗(yàn)證了位置正/反解模型的正確性。

3)推導(dǎo)了該波浪運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償裝置的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，基于牛頓-歐拉法推導(dǎo)了該裝置的動(dòng)力學(xué)模型。運(yùn)用仿真軟件對(duì)所推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)MATLAB 數(shù)值模擬結(jié)果與Adams 虛擬樣機(jī)所得結(jié)果基本吻合，誤差最大值為理論值的1.6%，在可接受范圍內(nèi)，驗(yàn)證了所推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

4)通過實(shí)驗(yàn)檢測(cè)了橫搖、縱搖和艏搖的動(dòng)態(tài)特性，輸入幅值與測(cè)量幅值的誤差較小，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。