陳炎 張曉晴

摘要：根據(jù)材料力學(xué)的基本理論，分析平面彎曲梁強(qiáng)度中的兩個(gè)問題：一是截面形狀對(duì)梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度的影響;二是工字型截面梁截面上的最大切應(yīng)力與腹板名義平均切應(yīng)力的關(guān)系。定量求出各種截面形狀對(duì)梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度的影響程度、工字型截面梁的截面尺寸變化對(duì)截面上最大切應(yīng)力的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明，當(dāng)矩形截面橫放且寬高比大于1.396 26時(shí)，其彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度差于圓形截面;當(dāng)工字型截面豎放程度小于矩形截面的豎放程度時(shí)，如果工字型截面的腹板很矮或很寬，則工字型截面的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度差于矩形截面。對(duì)于一般的截面尺寸，工字型截面上的最大切應(yīng)力并不等于腹板名義平均切應(yīng)力，僅在特定的截面尺寸條件下，工字型截面上的最大切應(yīng)力才等于腹板名義平均切應(yīng)力。研究結(jié)果修正了現(xiàn)行材料力學(xué)課程教學(xué)中的一些模糊概念，此研究過程和研究方法也為提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)研究能力提供了一個(gè)良好的案例，對(duì)材料力學(xué)課程教學(xué)具有重要意義。

關(guān)鍵詞：材料力學(xué);彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度;最大彎曲切應(yīng)力;科學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G642.0;TU501 ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? 文章編號(hào)：1005-2909（2020）04-0078-09

材料力學(xué)課程是工程類本科專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課，對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和工程應(yīng)用都有重要意義。多年來，我國(guó)材料力學(xué)課程教材建設(shè)在引進(jìn)和吸收國(guó)外教學(xué)資源的基礎(chǔ)上，建立了適合國(guó)情的比較完善的材料力學(xué)課程教材體系，孫訓(xùn)方[1] 、劉鴻文[2] 、葉開沅[3] 、蘇翼林[4] 和單輝祖[5] 等在這方面進(jìn)行了長(zhǎng)期的探索并作出杰出的貢獻(xiàn)。在材料力學(xué)課程教材體系的創(chuàng)新和改革方面也有許多學(xué)者進(jìn)行了積極的探索，如范欽珊等[6-7]把超靜定部分獨(dú)立成章，增加新材料的章節(jié)，并引入材料力學(xué)計(jì)算機(jī)輔助分析等內(nèi)容。黃小清等[8] 則把內(nèi)力分析獨(dú)立成章，對(duì)教材作了進(jìn)一步完善。總的來說，我國(guó)材料力學(xué)課程教材建設(shè)取得了許多成績(jī)，為高等教育事業(yè)和工程技術(shù)人才培養(yǎng)作出了重要貢獻(xiàn)。但國(guó)內(nèi)現(xiàn)行材料力學(xué)課程教材有關(guān)梁截面形狀對(duì)梁彎曲彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度的影響、工字型截面梁截面上最大切應(yīng)力計(jì)算等內(nèi)容普遍存在概念不清的問題，對(duì)教師的講授和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一定困擾，不利于材料力學(xué)課程教學(xué)和學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的掌握。

本文根據(jù)材料力學(xué)基本原理對(duì)上述問題進(jìn)行了詳細(xì)分析，厘清了一些模糊概念，為材料力學(xué)課程教學(xué)和教材的完善提供參考。同時(shí)，該研究過程和研究方法也為提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)研究能力提供了一個(gè)較好的案例。

一、梁截面形狀對(duì)梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度的影響

國(guó)內(nèi)現(xiàn)行材料力學(xué)課程教材，大都定義單位面積的彎曲截面系數(shù)來說明截面形狀對(duì)梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度的影響，并認(rèn)為工字型截面彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度最好，矩形截面次之，圓形截面最差。如劉鴻文[2] 教材（166頁）、黃小清[8] 教材（156頁）、楊伯源[9] 教材（152頁）、趙九江等[10] 教材（125頁）、黃世偉等[11] 教材（106頁）、古濱[12] 教材（138頁）、戴宏亮[13] 教材（110頁）、王國(guó)超[14] 教材（129頁）和馮曉九[15] 教材（117頁）都有這種表述。還有許多材料力學(xué)課程教材也有類似結(jié)論，這里不再一一引述。實(shí)際上，這種表述忽略了矩形截面寬高比變化、工字型截面寬高比和腹板寬高比變化對(duì)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度的影響，所以是不準(zhǔn)確的。黃超等[16] 教材（145頁）指出矩形截面高寬比大于0.716時(shí)，其彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度才大于圓形截面梁，該結(jié)論是正確的，但該教材沒有給出工字型截面高寬比變化對(duì)梁強(qiáng)度的影響規(guī)律。

教學(xué)中，如果學(xué)生接受了“工字型截面彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度最好，矩形截面次之，圓形截面最差”的結(jié)論，則會(huì)在思維上形成慣性。一旦學(xué)生走出校門參與工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用，會(huì)忽略具體情況，產(chǎn)生錯(cuò)誤的設(shè)計(jì)產(chǎn)品以及使用錯(cuò)誤的工程制造、監(jiān)控方法，嚴(yán)重時(shí)可能造成安全隱患和事故。另外，如果材料力學(xué)課程教材在描述強(qiáng)度問題上存在錯(cuò)誤，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)、正確的科學(xué)思想和掌握科學(xué)研究方法產(chǎn)生非常不利的影響。所以，作為重要的工程應(yīng)用專業(yè)基礎(chǔ)課，必須講清楚截面不同形態(tài)對(duì)梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度影響的問題。

下面分別討論相同面積條件下矩形截面與圓形截面梁，以及矩形截面與工字型截面梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度之比與截面尺寸參數(shù)的關(guān)系。

三、課程教學(xué)中提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究能力的實(shí)踐

本文關(guān)于截面形狀對(duì)彎曲強(qiáng)度影響的研究過程和方法，以及關(guān)于工字型截面彎曲最大切應(yīng)力與截面腹板名義平均切應(yīng)力關(guān)系的研究過程和方法，為材料力學(xué)課程教學(xué)中提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)研究能力，提供了一個(gè)良好的案例。一個(gè)人的科學(xué)素養(yǎng)主要體現(xiàn)在分析問題的能力、解決問題的方法、懷疑一切和證偽一切的精神。

以工字型截面最大切應(yīng)力為例，當(dāng)講解到教材中最大切應(yīng)力等于腹板名義平均切應(yīng)力公式時(shí)，讓學(xué)生首先回顧矩形截面最大切應(yīng)力等于3/2倍截面名義平均切應(yīng)力、圓形截面最大切應(yīng)力等于4/3倍截面名義平均切應(yīng)力的公式，提問學(xué)生：這兩個(gè)公式是否正確？學(xué)生會(huì)快速回答，因?yàn)檫@兩個(gè)公式已經(jīng)證明過，公式是正確的。然后再問：教材中關(guān)于工字型截面最大切應(yīng)力等于腹板名義平均切應(yīng)力的公式是否也正確呢？學(xué)生的反應(yīng)會(huì)相當(dāng)猶豫，因?yàn)榻滩膶?duì)此公式?jīng)]有任何證明，只是通過切應(yīng)力在截面上主要分布在腹板部分就得到這個(gè)公式，所以學(xué)生對(duì)公式的正確性不敢下結(jié)論。懷疑的種子由此萌芽，大腦會(huì)快速反應(yīng)，迫切想知道問題的結(jié)論是什么，學(xué)生思維活躍起來，接下來有序開展分析。

這時(shí)，教師要適時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)一個(gè)任意尺寸的工字型截面的實(shí)際最大切應(yīng)力和腹板名義平均切應(yīng)力進(jìn)行課堂練習(xí)。如前面的算例7，學(xué)生將會(huì)很快算出結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在本例中，若用工字型截面腹板名義平均切應(yīng)力代替工字型截面的實(shí)際最大切應(yīng)力，誤差將達(dá)到31.06%！學(xué)生據(jù)此可推出教材中的公式在一些情況下是錯(cuò)誤的。教師可適時(shí)和學(xué)生互動(dòng)，討論讀書應(yīng)該秉持的正確態(tài)度。通過互動(dòng)討論，讓學(xué)生明白，科學(xué)研究的基本素養(yǎng)，就是懷疑一切的精神。有了這種精神，才會(huì)努力對(duì)所遇到的問題進(jìn)行分析和研究，才能找出問題背后的規(guī)律和真理。

通過上述課堂練習(xí)，學(xué)生對(duì)“工字型截面最大切應(yīng)力等于腹板名義平均切應(yīng)力”這個(gè)公式已存有疑問，教師可以進(jìn)一步提問，這個(gè)公式是完全錯(cuò)誤的嗎？學(xué)生的思維會(huì)進(jìn)一步被調(diào)動(dòng)起來，這時(shí)讓學(xué)生對(duì)滿足本文圖6曲線關(guān)系的工字型截面的實(shí)際最大切應(yīng)力和腹板名義平均切應(yīng)力進(jìn)行課堂練習(xí)，如前述算例5。學(xué)生也可以很快得到結(jié)論，即對(duì)于此種尺寸的截面，“工字型截面最大切應(yīng)力等于腹板名義平均切應(yīng)力”的結(jié)論是成立的。

在一些情況下公式成立，而在另一些情況下公式不成立，那么這個(gè)公式與截面尺寸究竟是什么樣的一種關(guān)系呢？能否找出這種關(guān)系？怎么去找出這種關(guān)系？由于尺寸參數(shù)眾多，這樣的提問對(duì)學(xué)生具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，可以極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣和求知欲。教師可以請(qǐng)學(xué)生嘗試找出“工字型截面最大切應(yīng)力與腹板名義平均切應(yīng)力之間的關(guān)系規(guī)律”。由于問題的復(fù)雜性，學(xué)生在課堂上是無法找到這一規(guī)律的。但教師可以提示：既然要用工字型截面腹板名義平均切應(yīng)力表示工字型截面實(shí)際最大切應(yīng)力，那自然應(yīng)該想到把工字型截面實(shí)際最大切應(yīng)力公式中的尺寸用腹板尺寸表示出來。讓學(xué)生在這樣的提示下進(jìn)行課后研究，并要求學(xué)生在下次課時(shí)展示自己的研究結(jié)果。

經(jīng)過課后研究，下次課時(shí)，不少學(xué)生帶來自己的成果。個(gè)別學(xué)生想到引入尺寸參數(shù)，把工字型截面實(shí)際最大切應(yīng)力表示成類似本文式（8）的類型。但由于尺寸參數(shù)復(fù)雜，學(xué)生仍然無法把上述兩者關(guān)系的規(guī)律性講清楚。這時(shí)教師可以把本文工字型截面最大切應(yīng)力相對(duì)工字型截面腹板名義平均切應(yīng)力的放大或縮小系數(shù)，即式（9）的規(guī)律性用等高圖的方法展示出來。學(xué)生通過對(duì)等高圖的分析，規(guī)律性的結(jié)論自然顯現(xiàn)，學(xué)生會(huì)有豁然開朗、原來如此的欣喜感和成就感。

通過上述教學(xué)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成要讀書但不能迷信書的懷疑精神;通過課堂練習(xí)和課后研究，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力;通過尋找“用工字型截面腹板名義平均切應(yīng)力表示工字型截面實(shí)際最大切應(yīng)力”的研究過程，學(xué)生初步掌握了運(yùn)用無量綱方法進(jìn)行科學(xué)研究的方法;體現(xiàn)“工字型截面最大切應(yīng)力相對(duì)于工字型截面腹板名義平均切應(yīng)力的放大或縮小系數(shù)”的等高圖分析，展示了尋找自然規(guī)律的廣闊視野和無限可能。由此，學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)研究能力都將得到極大的提升。

四、結(jié)語

關(guān)于相同面積條件下各種截面形狀對(duì)梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度的影響，有如下結(jié)論：

（1）當(dāng)矩形截面橫放且寬高比大于1.396 26時(shí)，其強(qiáng)度差于圓形截面;當(dāng)矩形截面橫放且寬高比小于1.396 26或矩形截面豎放時(shí)，其強(qiáng)度優(yōu)于圓形截面。

（2）當(dāng)工字型截面的豎放程度大于或等于矩形截面的豎放程度時(shí)，其強(qiáng)度總是優(yōu)于矩形截面。

（3）當(dāng)工字型截面豎放程度小于矩形截面的豎放程度時(shí)，如果工字型截面的腹板很矮或很寬，則工字型截面的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度差于矩形截面;而當(dāng)工字型截面的腹板較高且較窄時(shí)，則工字型截面的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度優(yōu)于矩形截面。

關(guān)于工字型截面梁截面上最大切應(yīng)力問題，有如下結(jié)論：

（1）當(dāng)工字型截面的尺寸參數(shù)α，β滿足β=（2+α）（1-α）2/α3時(shí)，其截面上最大切應(yīng)力等于腹板名義平均切應(yīng)力，即等于該截面的剪力除以腹板面積。

（2） 當(dāng)工字型截面尺寸參數(shù)α，β處于曲線β=（2+α）（1-α）2/α3的右上方區(qū)域時(shí)，其截面上最大切應(yīng)力大于腹板名義平均切應(yīng)力。

（3） 當(dāng)工字型截面尺寸參數(shù)α，β處于曲線β=（2+α）（1-α）2/α3的左下方區(qū)域時(shí)，其截面上最大切應(yīng)力小于腹板名義平均切應(yīng)力。

本文的研究過程和研究方法，為提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)研究能力提供了一個(gè)良好案例。

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Abstract：?According to the basic theory of mechanics of materials， two problems in plane bending of the beam are analyzed： the influences of different sections on the flexural normal strength of the beam and on the maximum shear stress of the cross section of I-beam. The ?influence of various cross-section shapes on the flexural normal strength and the effect of various I- beam section sizes on the maximum shear stress were obtained quantitatively. The main results are： the flexural normal strength of rectangular section is lower than that of circular section when the rectangular section is transverse and the aspect ratio is greater than 1.369 26， when the vertical degree of I-section is smaller than that of rectangular section and the web of I-section is very short or very wide， the flexural normal strength of I-section is lower than that of rectangular section， for the general section size the maximum shear stress on the I-section is not equal to the nominal average shear stress on the I-section web， only under the specific section size the maximum shear stress on the I-section is equal to the nominal average shear stress on the I-section web. The research results have corrected some vague concepts in the teaching of mechanics of materials and the research process and the research method provide a good case for improving students scientific literacy and cultivating studentsscientific research ability in the teaching of material mechanics which of great significance.

Key words： mechanics of materials; flexural normal strength; maximum bending shear stress; scientific literacy

（責(zé)任編輯 王 宣）