孫元廣，汪 茜，彭 磊，齊嫣然，柏 赟*

(1.廣州地鐵設(shè)計研究院股份有限公司，廣州510699；2.北京交通大學(xué)綜合交通運輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運輸行業(yè)重點實驗室，北京100044)

0 引 言

地鐵線路縱斷面設(shè)計主要是指坡段的設(shè)計，直接影響線路建設(shè)成本和列車運營成本[1].目前，對地鐵縱斷面方案的優(yōu)化研究主要分為區(qū)間與全線的縱斷面優(yōu)化.前者在固定地鐵某區(qū)間兩端車站水平位置與高程的條件下，對區(qū)間的坡段設(shè)計進行優(yōu)化[2-7]；后者是在線路起終點固定后，考慮中間車站高程的變化對全線坡段設(shè)計進行優(yōu)化[8-9].

區(qū)間縱斷面的優(yōu)化研究較為成熟.Hoang[2]等結(jié)合列車操縱提出6種典型的縱斷面設(shè)計方案，并設(shè)計算法對坡度參數(shù)進行尋優(yōu).Lafortune[3]等開發(fā)了一種交互式地鐵線路設(shè)計系統(tǒng)，輔助縱斷面方案設(shè)計以降低列車牽引能耗.Duarte[4]等設(shè)計了一種梯度恢復(fù)算法，以最小化列車牽引能耗為目標(biāo)生成地鐵站間的最優(yōu)縱斷面線型.余路[6]以降低建設(shè)和列車運營成本為目標(biāo)，利用遺傳算法優(yōu)化地鐵區(qū)間縱斷面方案.白驍[7]構(gòu)建以列車雙方向牽引能耗最小為目標(biāo)的區(qū)間縱斷面設(shè)計優(yōu)化模型，采用遺傳算法求解.

相較于區(qū)間縱斷面優(yōu)化，全線縱斷面優(yōu)化需要考慮中間車站高程變化.Lai[8]等構(gòu)建了以建設(shè)成本、用戶成本和運營成本最小為目標(biāo)的模型，用切平面法優(yōu)化地鐵平縱斷面方案和車站高程.Li[9]等采用距離變換算法優(yōu)化軌道交通平縱斷面方案和車站高程.

上述研究均未考慮列車停站方案對地鐵縱斷面設(shè)計的影響.由于快、慢車運行軌跡不同，其節(jié)能坡設(shè)置也有所區(qū)別.因此，有必要對快慢車組合運營線路構(gòu)建縱斷面優(yōu)化模型，求解使建設(shè)成本與列車運營成本最低的縱斷面方案.

1 問題描述

地鐵地下線一般采用盾構(gòu)法施工，軌道埋深對于盾構(gòu)機挖掘成本和處理廢土成本的影響極小[10].但地下線每隔一段距離需要設(shè)置風(fēng)井，其建設(shè)成本取決于軌道埋深[11]，故風(fēng)井建設(shè)成本為本文優(yōu)化目標(biāo)之一.線路縱斷面方案對列車運行能耗有較大影響[12]，對于快慢車線路而言，線路上運營多種停站方案的列車，同時考慮所有列車的總能耗并乘以電費單價將其轉(zhuǎn)換為金錢成本，作為本文另一優(yōu)化目標(biāo).

進行縱斷面設(shè)計時，線路起終點位置(起點車站H1和終點車站HM)和平面信息均為已知，車站數(shù)量(M)、風(fēng)井?dāng)?shù)量和面積通常也已確定.本文通過調(diào)整中間站高程(站中心軌道高程)和各區(qū)間變坡點的數(shù)量與位置，使建設(shè)與運營成本之和最小.縱斷面方案如圖1所示，中間站高程用表示，m表示車站序號；各區(qū)間變坡點的水平位置與高程以坐標(biāo)形式給出，即其中，j表示區(qū)間的序號，k表示變坡點的序號，K表示該區(qū)間的變坡點的總數(shù)量.

圖1 線路縱斷面示意圖Fig.1 Schematic diagram of track vertical alignment

縱斷面設(shè)計需考慮的約束主要有兩類：第一類是《地鐵設(shè)計規(guī)范》(GB50157-2013)[13]中明確要求的最大縱坡、最小坡長、最小夾直線長度等；第二類為中間站及區(qū)間某些地段的控制高程約束，如避讓地質(zhì)不良或管道經(jīng)過區(qū)域，最小埋深約束.列車運行需考慮限速和停站約束等.

綜上所述，針對快慢車模式地鐵地下線提出縱斷面優(yōu)化模型，在已知線路起終點三維位置和平面方案的條件下，考慮設(shè)計規(guī)范約束和施工條件，通過改變區(qū)間各變坡點的位置和中間站高程，得到以風(fēng)井建設(shè)成本和所有列車能耗成本總和最小的縱斷面方案.

2 模型構(gòu)建

本文考慮最為常見情景，做出如下假設(shè)：

(1)線路平面方案在縱斷面設(shè)計之前已確定，中間站與風(fēng)井的數(shù)量和水平位置，以及風(fēng)井面積作為已知參數(shù).

(2)列車采用“牽引—巡航—制動”的操縱策略運行，巡航速度等于允許速度減去設(shè)定的速度裕量；列車若在運行途中遇到低限速區(qū)段，將采用“牽引—巡航—(制動—巡航—牽引—巡航)—制動”的操縱策略，其中，括號內(nèi)的工況序列出現(xiàn)次數(shù)決定于低限速區(qū)段的數(shù)量.

(3)因再生制動能的利用受時刻表等多方面因素影響，能耗計算不考慮再生制動.

2.1 優(yōu)化目標(biāo)

模型目標(biāo)CO[(X,Y),H]是風(fēng)井建設(shè)成本CF[(X,Y),H]和列車運行能耗成本CE[(X,Y),H]之和最小.風(fēng)井建設(shè)成本屬于一次性投入，而列車運行能耗則隨時間增加而增大.本文用資本回收系數(shù)Δ將風(fēng)井總建設(shè)成本轉(zhuǎn)化為單位年的建設(shè)成本[9]，再與年能耗成本相加，得到目標(biāo)函數(shù)，即

式中：b為年利率(%)；l為地鐵生命周期(年).

風(fēng)井建設(shè)成本與其數(shù)量、建設(shè)面積與埋深有關(guān)，前兩者為已知參量，風(fēng)井建設(shè)成本主要取決于其埋深，即地面高程與風(fēng)井高程之差.風(fēng)井高程等于同里程的軌道高程，地面高程可通過勘察得到.風(fēng)井成本計算公式為

式中：i為風(fēng)井的序號；為第i個風(fēng)井的建設(shè)單價(萬元/m2)，取決于其埋深Mi；Ai為風(fēng)井i的面積(m2)；N為風(fēng)井?dāng)?shù)量.

能耗成本等于所有列車雙方向運行能耗之和乘以單價，即

式中：R為列車停站方案數(shù)量；nr為1 d 內(nèi)停站方案為r的運行列次；為停站方案為r的列車雙方向運行能耗(kw·h)；P為地鐵電費單價(元/kw·h).

列車運行過程中可能受牽引力F、阻力W和制動力B作用，三者均取決于列車速度.計算得到t時刻的列車合力Ct后，根據(jù)牛頓第二定律可計算列車加速度at、速度vt、位置St和能耗Et[12]，計算公式為

式中：γ表示旋轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)；Δt為時間步長(min)；vt和vt+1分別為第t和t+1時刻的列車速度(km/h)；St為列車在t時刻的位置(m)；Ut表示t時刻的瞬時網(wǎng)壓；I(vt)表示速度為vt時列車的牽引電流；I0表示輔助設(shè)備電流.

2.2 約束條件

(1)《地鐵設(shè)計規(guī)范》約束.

①車站坡的坡度和坡長.

車站區(qū)域坡道的坡度值應(yīng)服從設(shè)計規(guī)范要求從集合NS中選取，車站區(qū)域坡道坡長不應(yīng)小于站臺長度LS[13]，即

式中：NS表示坡度集合，為{-3‰,-2‰,0‰,2‰,3‰}.

②非車站區(qū)域坡道的坡度和坡長.

任意坡道的坡長不宜小于遠(yuǎn)期列車長度LT，坡度的絕對值不小于且不大于，即

式中：和分別表示《地鐵設(shè)計規(guī)范》(GB50157-2013)規(guī)定的非車站區(qū)域坡道的坡度值絕對值的最小值與最大值.

③最小夾直線長度.

當(dāng)相鄰坡道坡度差超過2‰時，需設(shè)置豎曲線來減緩列車運行時的振動幅度.為避免振動疊加，兩豎曲線間的夾直線長度不小于夾直線長度等于相鄰變坡點之間橫坐標(biāo)之差再減去兩端豎曲線的切線長Tq(Tq取決于相鄰坡道的坡度差和豎曲線半徑Rc，計算方法可查閱文獻[14])，即

(2)控制高程約束.

①車站高程.

由于施工條件與工程造價限制，車站高程值Hm應(yīng)在一定范圍內(nèi)，即

②控制高程.

地下線路施工時通常需避開一些高程區(qū)域，如管線經(jīng)過的區(qū)域和地質(zhì)條件達(dá)不到施工要求的區(qū)域.因此，在同一里程z下，縱斷面經(jīng)過的高程點與控制高程區(qū)域內(nèi)的任意滿足Xh=z控制點h高程值Yh須大于一定的間隔ε，即

③風(fēng)井埋深.

考慮施工要求，風(fēng)井的埋深須大于最小埋深δ，即

(3)列車運行限速約束.

①區(qū)間限速.

式中：Tf表示列車總的運行時分；Rt表示t時刻列車所處位置處的曲線半徑(m).

②車站區(qū)域限速.

停站方案為r的列車，其停站和越行站集合分別表示為和.停站時，列車在站中心的速度為0；在越行車站，列車在車站區(qū)域的限速為

式中：s和p表示車站的序號；表示停站方案為r的列車在車站s的速度；表示停站方案為r的列車在車站p的速度.

3 求解算法

本文模型約束條件多且解空間較大，設(shè)計一種雙層啟發(fā)式算法進行求解，上層采用模擬退火算法求解車站高程方案，下層運用遺傳算法對區(qū)間變坡點的位置進行優(yōu)化，具體流程如下.

Step 1設(shè)置模擬退火算法參數(shù)，如初始溫度T0，冷卻系數(shù)ρ，結(jié)束溫度TN.

Step 2針對中間車站高程，考慮約束條件隨機生成一組初始方案，即H0=

Step 3求解給定中間站高程下各區(qū)間最優(yōu)變坡點方案，并計算綜合成本C，過程如下：

①設(shè)定遺傳算法種群大小PM，進化代數(shù)G，交叉概率Pc，變異概率Pm.

②通過對各區(qū)間變坡點橫縱坐標(biāo)進行間接編碼，隨機產(chǎn)生個體均滿足約束的初始種群.

③計算種群各個體的適應(yīng)度f，即目標(biāo)函數(shù)值的倒數(shù).

④利用輪盤賭方式選擇群體中的兩個個體.

⑤對個體進行交叉(兩點交叉)與變異(單點變異)操作，生成新個體.

⑥對新個體進行適應(yīng)度評價.如果優(yōu)于父代個體，則進入下一代種群；否則，以Boltzmann 準(zhǔn)則[15]接受子代.

⑦達(dá)到最大迭代次數(shù)后，輸出當(dāng)代群體的最優(yōu)解.

Step 4隨機生成一組滿足約束的新解H0′，并計算其對應(yīng)的變坡點方案和綜合成本.

Step 5計算相鄰兩代解的綜合成本差值ΔC=C(H0-H0′).若ΔC＞0，則子代被接受的概率為若ΔC＜0，則接受新解.

Step 6更新溫度值，Tk+1=ρTk.

Step 7若當(dāng)前溫度Tk達(dá)到結(jié)束溫度TN，輸出最優(yōu)方案；否則，k=k+1，返回Step 4.

4 案例分析

選取廣州地鐵14號線嘉禾望崗站—新和站區(qū)間，長度29.89 km，設(shè)有嘉禾望崗、東平、夏良、太和、竹料、鐘落潭、黎家塘、新和共8個車站.列車為四動兩拖B型車，動車與拖車質(zhì)量分別為52.5 t和44.5 t，長度120 m.9～15 m、15～21 m、21 m以上的風(fēng)井單位平方米建設(shè)成本分別為2萬元、3萬元和4萬元，其他參數(shù)如表1所示.

表1 模型基礎(chǔ)參數(shù)Table1 Basic parameter of proposed model

為驗證模型有效性，本文對比分析實際方案與分別考慮快慢車和站站停得到的優(yōu)化方案.快慢車模式下：快車僅在嘉禾望崗站和新和站停車，日開行82 對；慢車采用站站停模式，日開行83 對.在站站停模式下，每日開行165 對列車.由于缺少竹料站至新和站的平面方案，為保證可比性，本案例僅優(yōu)化嘉禾望崗至竹料的縱斷面方案.換言之，3種方案在竹料站至新和站采用相同的縱斷面.

3種縱斷面方案如圖2所示.原始方案和兩種優(yōu)化方案的線路長度分別為16 940.000 39，16 940.000 47，16 940.000 51 m.土建成本按7.5萬元/延米計算[10]，3種方案施工成本差異可忽略.站站停模式下，縱斷面優(yōu)化方案采用“高站位、低區(qū)間”的節(jié)能坡設(shè)計，因僅考慮站站停列車，車站兩端的加減速坡更加陡峭，為列車出站牽引提供更大動力.考慮快慢車模式的縱斷面方案由于考慮了快車能耗，東平和夏良站高程較站站停方案均有小幅下降，使整體縱斷面線型更加平緩，兼顧快車節(jié)能運行規(guī)律.

圖2 不同方案縱斷面對比Fig.2 Comparison on different vertical alignments of subway track

不同縱斷面方案的全天雙方向列車能耗如表2所示.與原始方案相比，快慢車方案同時考慮快車和慢車的能耗，故快車能耗優(yōu)化率為2.72%，高于站站停模式的節(jié)能率1.52%；而慢車能耗的優(yōu)化率為2.49%，低于站站停方案的節(jié)能率2.53%.快慢車方案的總能耗優(yōu)化率為2.59%，優(yōu)于站站停模式的2.10%，說明考慮快慢車停站模式進行縱斷面優(yōu)化的必要性.

不同方案的風(fēng)井埋深如表3所示.與實際方案相比，快慢車方案中大部分風(fēng)井埋深均有所減少，故總建設(shè)成本降低了36萬元.但快慢車方案中的4、8和16 風(fēng)井埋深均有所上升，且變化幅度與其他風(fēng)井相比較大.這是由于“高站位、低區(qū)間”的縱斷面更利于列車節(jié)能運行，且能耗成本節(jié)約量比埋深增加的風(fēng)井成本量更大，因此這三處風(fēng)井的埋深有所增加.此外，由于站站停方案比快慢車方案更注重降低慢車的能耗，使區(qū)間縱斷面的高程進一步降低，總的風(fēng)井建設(shè)成本較實際方案上升8萬元.

表2 不同縱斷面方案下的快慢車運行能耗對比Table2 Comparison on energy consumption of train movement with different vertical alignments

表3 不同縱斷面方案下的風(fēng)井埋深Table3 Comparison on ventilation shaft depth with different vertical alignments

不同縱斷面方案下的風(fēng)井與能耗綜合成本如表4所示.本文模型的綜合成本最小，與原始方案相比總成本降低2.65%，高于站站停方案總成本節(jié)省率1.51%.

表4 不同縱斷面優(yōu)化方案下成本對比Table4 Cost comparison with different vertical alignments

5 結(jié) 論

本文考慮建設(shè)與運營成本，構(gòu)建考慮快慢車模式的地鐵地下線縱斷面優(yōu)化模型，設(shè)計求解算法和相應(yīng)的案例驗證其效果，主要結(jié)論為：相較于經(jīng)驗豐富工程師設(shè)計的縱斷面方案，本文模型得到的縱斷面方案不僅能減少風(fēng)井建設(shè)成本，同時節(jié)約了所有列車的總能耗，可顯著降低線路建設(shè)與運營的綜合成本；與僅考慮站站停模式的縱斷面優(yōu)化方案相比，考慮快慢車模式得到的縱斷面方案在節(jié)能與減少建設(shè)成本方面均表現(xiàn)更好，說明考慮停站模式和建設(shè)成本進行縱斷面優(yōu)化的必要性.本文僅研究了地下線的縱斷面優(yōu)化，沒有考慮敷設(shè)方式變化對線路填挖方成本和路權(quán)成本的影響，后續(xù)將進一步研究多種敷設(shè)方式下的地鐵線路縱斷面優(yōu)化問題.