陳 靜，郝育新

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 北京 100192)

0 引言

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料具有強(qiáng)度高、剛度大、抗疲勞和耐腐蝕等優(yōu)點，目前在航空航天、機(jī)械制造、汽車輪船和貨車高鐵等工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，一直以來是國內(nèi)外科研人員的關(guān)注熱點。由于壓電材料可以作為驅(qū)動器來控制復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的振動，含壓電材料層的智能結(jié)構(gòu)的動力學(xué)問題越來越受到人們的重視。Hyer等[1]基于Kirchhoff假設(shè)，研究了非對稱正交鋪設(shè)層合板的線性振動特性。Sharma等[2]利用里茲方法和樣條函數(shù)技術(shù)研究了不同邊界條件下反對稱正交鋪設(shè)層合板的自由振動。Abedi等[3]以多項式的形式展開為位移展開形式，研究了任意邊界條件下復(fù)合材料層合板的自由振動。Tseng[4]等應(yīng)用多維波數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)計算了正交對稱鋪設(shè)層合板的自由振動和彎曲。Fallah等[5]提出了一種新的無網(wǎng)格有限元法，用于預(yù)測復(fù)合材料層合板的頻率。Quintana等[6]在里茲變分方法的基礎(chǔ)上分析了對稱鋪設(shè)層合板的自由振動。Bouazza等[7]和Singh等[8]利用高階剪切板理論研究了層合板的自由振動。Khandelwal等[9]考慮到層合板的界面問題，采用高階zigzag理論對夾芯板和層合板的強(qiáng)迫振動和自由振動進(jìn)行了分析。Zhao等[10]采用分段剪切變形理論，給出了層合板的振動特性。Ferreira等[11]利用Reissner混合變分定理研究了正交鋪設(shè)層合板的彎曲和自由振動。

壓電材料作為一種智能材料，可以用來控制與粘結(jié)或嵌入壓電材料的復(fù)合層合結(jié)構(gòu)的振動，因此越來越多地應(yīng)用于形狀控制、振動控制和健康監(jiān)測等技術(shù)領(lǐng)域。目前常用的壓電材料有壓電陶瓷(PZT)和壓電聚合物(PVDF)兩種。由壓電陶瓷纖維、電極層和外殼保護(hù)層組成的壓電宏纖維復(fù)合材料(macro-fiber composite，MFC)是美國宇航局首次開發(fā)的，根據(jù)極化方向的不同可將其分為d31型和d33型兩大類。在d31型MFC中，外加電場垂直于極化方向，而在MFC型d33中，外加電場與極化方向相互平行。由于具有較強(qiáng)的柔性、耐用性、易與層合薄壁結(jié)構(gòu)集成等優(yōu)點，MFC比單片壓電陶瓷(PZT)具有更高的驅(qū)動性能，在智能執(zhí)行器和傳感器應(yīng)用方面有廣闊前景。

到目前為止，關(guān)于含MFC智能材料層的復(fù)合材料層合板固有振動影響的研究還很少。本文采用一種新的位移場，利用最小勢能原理建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型，利用瑞利-里茲法和切比雪夫多項式，得到了含有兩種宏觀纖維智能壓電材料(MFC-d33和MFC-d31)的懸臂復(fù)合材料層合板的固有頻率，研究粘貼有MFC智能層的懸臂正交鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的自由振動。

1 動力學(xué)方程

1.1 復(fù)合材料層合板和位移場

復(fù)合材料層合板的力學(xué)模型和坐標(biāo)關(guān)系如圖1所示，選取長為L、寬為b、厚度為h的復(fù)合材料層合板(0/90/90/0、0/0/90/90、90/0/0/90、0/90/0/90)和長為L1、寬為b1、厚度為h1的MFC層為研究對象，其中MFC層粘貼在懸臂板的上部，并在MFC層上施加不同的外部電壓。

本文在Reddy高階剪切變形位移場的基礎(chǔ)上，考慮了橫向拉伸的影響，所得位移場如下：

(1)

式中：u0(x,y,t)、v0(x,y,t)、w0(x,y,t)為參考中面上某點在3個方向上的位移分量；φx、φy分別表示該點繞y軸和x軸的旋轉(zhuǎn)量；c1=(-4)/3h2；c2=f(h/2)；f(z)=msec2(mz)；m=1/5h。

復(fù)合材料層合板的應(yīng)變與位移關(guān)系為：

(2)

1.2 復(fù)合材料層合板的本構(gòu)關(guān)系

在新位移場的材料坐標(biāo)系下，復(fù)合材料層合板第k層線性彈性本構(gòu)關(guān)系為

(3)

由于復(fù)合材料層合板纖維鋪層角度的存在，式(3)本構(gòu)方程需要進(jìn)行坐標(biāo)變換，變換后的具體結(jié)果詳見文獻(xiàn)[12]。

壓電材料MFC是將壓電陶瓷纖維嵌入樹脂并與組合電極復(fù)合在一起的夾層結(jié)構(gòu)復(fù)合材料，包括MFC-d31和MFC-d33兩種類型。其中MFC-31的極化方向沿厚度方向并垂直于壓電纖維方向，MFC-d33型的極化方向與厚度方向垂直，平行于纖維方向。根據(jù)文獻(xiàn)[13]，可以得到d31型MFC層和d33型MFC層的本構(gòu)方程，限于文章篇幅，在本文中不作詳細(xì)展開。

1.3 能量關(guān)系表達(dá)式

復(fù)合材料層合板和MFC層的應(yīng)變能分別為：

σxyεxy+σyzεyz+σxzεxz)dxdydz

(4a)

(4b)

復(fù)合材料層合板和MFC的動能分別為：

(5a)

(5b)

式中：ρ為復(fù)合材料層合板密度；ρe為MFC智能層的密度。

MFC層的電勢能為

(6)

式中下標(biāo)n為1時表示MFC-d33的x方向，n為3時表示MFC-d31的z方向。

系統(tǒng)的總勢能和動能分別為：

U=Up+UMFC+Ue

(7a)

T=Tp+TMFC

(7b)

2 固有頻率與振型求解

采用切比雪夫多項式和瑞利-里茲法求解含有智能壓電層的復(fù)合材料層合板的自由振動。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，系統(tǒng)的位移和轉(zhuǎn)角假設(shè)為如下形式：

(8)

式中：ω為滿足懸臂邊界條件的頻率；空間函數(shù)U0、V0、W0、Φx、Φy、W1可由切比雪夫多項式展開，詳細(xì)推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[14]。

根據(jù)瑞利-里茲法，可以得到含有MFC層的復(fù)合材料層合板的線性代數(shù)方程：

(9)

式(9)可以整理成以下形式：

(K-ω2M)P=0

(10)

式中：K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；P為待定參數(shù)向量。通過求解式(10)，可以得到系統(tǒng)的振型和固有頻率。

3 數(shù)值分析

3.1 方法可靠性與收斂性驗證

為了驗證本文理論和數(shù)值結(jié)果的準(zhǔn)確性，采用本文中提出的方法所得到的簡支邊界條件下的矩形復(fù)合材料層合板的無量綱固有頻率與三維彈性理論[15]和Reddy三階剪切變形理論[16]給出的無量綱固有頻率進(jìn)行了對比分析，具體數(shù)值如表1和表2中所示，其中復(fù)合材料層合板參數(shù)為：a/h=5，μ12=μ13=μ23=0.25，E2=E3，G12=G13=0.6E2，G23=0.5E2，E1與E2的比值為任意值。從表1和表2中可以看出，采用本文提出的方法求解出的結(jié)果與文獻(xiàn)數(shù)值結(jié)果較好地吻合，這說明本文提出的方法可以用來求解復(fù)合材料層合板自由振動的固有頻率。

表1 兩種方法下簡支反對稱層合板的無量綱基頻比較值

表3是在簡支邊界條件下，容許函數(shù)分別取5×5、6×6、7×7時，求解出的 0/90 纖維鋪層順序的復(fù)合材料層合板前五階固有頻率，其中材料參數(shù)：μ12=μ13=μ23=0.25，E1=3 GPa，E2=E3=1 GPa，G12=G13=0.6E2，G23=0.5E2，從表中可以看出，當(dāng)容許函數(shù)分別取5×5、6×6、7×7時，系統(tǒng)的前三階固有頻率相同，四階、五階固有頻率略有不同，但差異較小。同時經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)，在滿足求解精度的情況下，再增加階數(shù)，數(shù)值結(jié)果的精度雖然會更高，但是計算時間反而會增長。因此，經(jīng)過綜合考慮后，容許函數(shù)選擇6×6進(jìn)行下面的研究。

表2 兩種方法下簡支反對稱正交鋪設(shè)方形層合板的無量綱基頻比較值

表3 (0/90)鋪層方式下方形層合板前五階無量綱頻率的收斂性(a/h=5，E1/E2=3)

3.2 MFC的類型與通電電壓對自由振動的影響

本文用于分析的MFC-d31(M8528-P3)、MFC-d33 (M8557-P1)和復(fù)合材料層合板的材料特性見參考文獻(xiàn)[17]。其中MFC-d31施加電壓的范圍為0 V～+360 V(電極間距為0.18 mm)，MFC-d33貼片的電壓范圍為-500 V～+1500 V(電極間距為0.5 mm)。MFC-d31、MFC-d33和復(fù)合材料層合板的尺寸分別為85 mm×57 mm×0.3 mm、85 mm×28 mm×0.3 mm和300 mm×75 mm×2 mm。MFC粘貼在復(fù)合材料層合板的上表面，與懸臂端保持一定距離，如圖1所示。通過利用本文提出的方法，分別求出表面粘貼MFC-d31和MFC-d33兩種類型的4種鋪層方式(90/0/0/90，0/0/90/90,0/90/0/90，0/90/90/0)在不同電壓下的復(fù)合材料層合板的固有頻率，將所得到的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行研究分析，討論MFC的類型不同和通電電壓對系統(tǒng)自由振動的影響。

圖2為計算得到的4種不同纖維鋪層方式下復(fù)合材料層合板的前5種振型。從圖中可以看出，對于90/0/0/90和0/0/90/90鋪層方式下的復(fù)合材料層合板，彎曲振動發(fā)生在一階、二階和四階，其余為扭轉(zhuǎn)振動；對于0/90/0/90和0/90/90/0層合板，圖2四層正交鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的振型通過數(shù)值計算可以得到上表面粘貼MFC-d31貼片的不同纖維鋪層方式的復(fù)合材料層合板在多種外部電壓作用下的最低彎曲和扭轉(zhuǎn)頻率參數(shù)，具體結(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看出，在相同的外部電壓作用下，不同的鋪層方式的復(fù)合材料層合板的彎曲和扭轉(zhuǎn)固有頻率有較大的不同。這是由于纖維鋪層方式和外部電壓共同作用導(dǎo)致的。在某一外部電壓作用下，纖維鋪層方式對系統(tǒng)的影響是板的彎曲和扭轉(zhuǎn)情況下固有頻率的主導(dǎo)影響因素；在另一外部電壓作用下，外部電壓對系統(tǒng)的影響則為系統(tǒng)固有頻率的主導(dǎo)影響因素。因此在MFC實際工程應(yīng)用中，需要綜合考慮鋪層方式和外部電壓對復(fù)合材料層合板振動特性的影響。此外通過觀察發(fā)現(xiàn)，對于粘貼有MFC-d31型的復(fù)合材料層合板，增加電壓有利于系統(tǒng)整體固有頻率的增加，這是由于MFC-d31的壓電應(yīng)變常數(shù)d31和d32均為負(fù)，使得其剛度隨外加電壓的增大而增大，從而引起系統(tǒng)整體剛度的增加，因此結(jié)構(gòu)整體的固有頻率也會隨著增加。

一階、三階和五階為彎曲振動，其余為扭轉(zhuǎn)振動。該研究結(jié)果表明，纖維鋪層方式的不同對板的彎曲和扭轉(zhuǎn)情況下的固有頻率有較大的影響。這是因為纖維鋪層方式不同，復(fù)合材料層合板的剛度會不同，所顯現(xiàn)出來的振動形式也就會不同。

圖4和圖5為數(shù)值計算得到的外加電壓為正電壓和負(fù)電壓兩種情況下，粘貼MFC-d33型智能壓電片的不同纖維鋪層順序的復(fù)合材料層合板最低彎曲和扭轉(zhuǎn)頻率的結(jié)果。通過將圖4和圖5中的數(shù)據(jù)結(jié)果與圖3的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)粘貼d33型MFC的復(fù)合材料層合板的頻率更為復(fù)雜。其中，粘貼d33型MFC的層合板前兩個彎曲頻率隨外加電壓的增大而顯著減小，另外兩個低扭轉(zhuǎn)頻率隨外加電壓的增大而增大。這種現(xiàn)象出現(xiàn)的原因在于MFC-d31和MFC-d33的壓電常數(shù)不同。與壓電常數(shù)均為負(fù)的MFC-d31型相比，MFC-d33型的壓電常數(shù)d33為正，而d32為負(fù)。在正向電壓作用下，使得粘貼d33型MFC的層合板的x軸剛度減小，y軸剛度增大。因此，系統(tǒng)所有的彎曲頻率下降，扭轉(zhuǎn)頻率增加，而當(dāng)施加外部電壓為負(fù)電壓時，情況正好相反。

4 結(jié)束語

本文在Reddy三階剪切變形理論的基礎(chǔ)上，考慮橫向拉伸的影響，利用瑞利—里茲法和切比雪夫多項式，求出含有兩種類型壓電宏觀纖維智能材料層(MFC-d33和MFC-d31)的碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合懸臂板自由振動的固有頻率和模態(tài)，并對比了MFC-d33和MFC-d31兩種類型壓電材料在通電情況下的驅(qū)動性能，討論了粘貼不同類型的MFC與施加不同的外電壓對復(fù)合材料層合板振動特性的影響。

結(jié)果表明，考慮橫向拉伸影響的位移場理論可以用于復(fù)合材料層合板自由振動的研究；復(fù)合材料層合板的振動特性可以通過選擇不同類型的MFC智能層與控制輸入的電壓來改變。此研究內(nèi)容為進(jìn)一步研究MFC 智能層對復(fù)合材料層合板振動特性的影響以及MFC未來在實際工程上的應(yīng)用提供一定的理論參考。