劉玉喜

[摘? 要] “錯誤是另一種美麗. ”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生成的錯誤具有獨特的教育價值. “以錯為源”開展教學(xué)，定格知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤和心理性錯誤，引領(lǐng)學(xué)生進行錯誤反思，可以幫助學(xué)生透過“錯誤”看到問題的“本質(zhì)”，促使學(xué)生在不足中克服困難，促使學(xué)生在反思錯誤過程中實現(xiàn)錯誤思維糾正和轉(zhuǎn)化.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);錯誤;反思能力;思維

戴再平曾說過“在學(xué)生解答數(shù)學(xué)習(xí)題的過程中，問題不在于是否存在錯誤，而在于教師應(yīng)怎樣正確對待學(xué)生的錯誤. ”教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，針對學(xué)生出現(xiàn)的錯誤進行多次反復(fù)講解與剖析，學(xué)生仍然會“一錯再錯”，究其原因是對錯誤缺乏深層次反思與總結(jié)，因此，必須引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對錯誤進行反思，將其思維引向深處，使其能發(fā)現(xiàn)錯誤產(chǎn)生根源及數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而尋找到糾錯的有效方法.

■ 反思知識性錯誤，優(yōu)化學(xué)生基

礎(chǔ)認知

數(shù)學(xué)教材中的概念、定理、運算法則、公式、性質(zhì)等都屬于基礎(chǔ)知識，是數(shù)學(xué)解題的根本. 所謂“知識性錯誤”是指數(shù)學(xué)知識上的理解不清或運用不當而造成的錯誤，比如數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)混淆不清、忽視數(shù)學(xué)公式或定理成立的條件等. 教師可以抓住學(xué)生出現(xiàn)的具有代表性的知識性錯誤，引導(dǎo)學(xué)生反思知識點的內(nèi)涵和外延，通過尋找知識聯(lián)系，夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，提高學(xué)生的解題思維水平.

例1? 計算：

錯誤解答：

反思過程：

師：你在做題時是如何思考的？

生：我用的是分配律，a÷（b+c）=a÷b+a÷c.

師：那你算下12÷（2+4）是不是等于12÷2+12÷4？

生：結(jié)果不一樣.

師：那你回憶下我們學(xué)過的乘法分配律是怎么樣的？

生：a·（b+c）=ac+bc.

師：乘法有分配律，但除法是沒有分配律的，認真琢磨這兩個式子就會發(fā)現(xiàn)意義完全不同.

反思總結(jié)? 這兩道題目錯誤的原因在于學(xué)生誤用了乘法分配律，學(xué)生在計算過程中往往會為了計算簡便，要么生搬硬套公式，要么隨意創(chuàng)造出根本不存在的公式，比如除法分配律，一旦形成錯誤的思路，就會導(dǎo)致在后續(xù)的計算中也會出現(xiàn)同樣的錯誤. 可見，只有讓學(xué)生分析乘法和除法運算規(guī)則的本質(zhì)，并有針對性地對其進行糾正，才能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，避免再次犯錯.

反思邏輯性錯誤，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)是具有很強邏輯性的學(xué)科，其中，邏輯性最基本的表現(xiàn)就是公理. 同一律、矛盾律、因果律、排中律及充足理由律等是數(shù)學(xué)思維的基本邏輯規(guī)律. 所謂“邏輯性錯誤”是指在解題過程中因為違反了上述基本邏輯規(guī)律而導(dǎo)致推理的錯誤，比如，因分類不當，導(dǎo)致漏解惑錯解;因不等價交換，造成解集擴大或縮小;因以虛假命題作為推理依據(jù)，導(dǎo)致虛假論證等等. 究其原因是學(xué)生在解題過程中過多地關(guān)注公式的選擇或是解答的正確性，而忽視了題目中的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系. 因此，引領(lǐng)學(xué)生反思邏輯性錯誤，在揭示學(xué)生錯誤推理基礎(chǔ)上，促使學(xué)生對錯誤進行批判性思考，使學(xué)生的思維品質(zhì)得到進一步優(yōu)化.

例2? 已知■=■，求■的值.

錯誤解答：

由題意可得：x+1=2，2x+y+3=3， 解得：x=1，y=-2，所以，■=-■.

反思過程：

師：同學(xué)們對這種解法有意見嗎？

生：錯誤. 只求出了本題的特殊答案.

師：那么該如何求解呢？

生：根據(jù)題意可設(shè)x+1=2k2x+y+3=3k（k≠0），解得：x=2k-1y=-k-1（k≠0），所以■=■（k≠0且k≠-1）.

師：從以上解題過程你們可以發(fā)現(xiàn)什么？

生1：■=■，表示的是A和B的比值為■，而不是A=a，B=b，還可以是A=2a，B=2b，A=3a，B=3b…等等.

生2：不能以特殊性結(jié)論代替一般性結(jié)論.

反思總結(jié)? 這道題錯誤的根源在于學(xué)生沒有處理好數(shù)學(xué)問題中特殊性與一般性之間的關(guān)系，學(xué)生錯在將一般性問題特殊化處理，屬于邏輯性錯誤. 而這種邏輯性的錯誤就造成了解題的致命性錯誤.

反思策略性錯誤，優(yōu)化學(xué)生解題策略

解題策略的選擇直接關(guān)系著解題過程的繁雜、是否能得到正確答案. 所謂“策略性錯誤”是指在解題過程中因解題方法的偏差，導(dǎo)致解題難度增加或思路受阻，即使做對也是耗時耗力. 比如，在求解方程過程中，因變形不當導(dǎo)致計算過程相當煩瑣，稍不注意就容易出現(xiàn)符號或數(shù)字錯誤. 選擇一個好的解題策略，能夠?qū)μ嵘忸}效率起到事半功倍的作用. 因此，以策略性錯誤為源，引領(lǐng)學(xué)生在反思錯誤過程中將多種方法融為一體，并交叉使用，數(shù)學(xué)問題自然就能迎刃而解了.

例3? 已知a=4+2■，b=4-2■，求a2b+ab2的值.

策略一：將a=4+2■，b=4-2■，直接代入a2b+ab2進行求解.

a2b+ab2=4+2■24-2■+4+2■4-2■2

=16+16■+84-2■+4+2■16-16■+8

=64.

師：上述解的結(jié)果有錯嗎？對這種計算方法你怎么看？

生1：雖然每一步都很正確，但比較浪費時間，且非常容易出錯. 我有比較方便的方法：

策略二：先求出a2，b2的值，代入a2b+ab2進行求解.

a2=4+2■2=16+16■+8，b2=4-2■2=16-16■+8，

a2b+ab2=16+16■+84-2■+4+2■16-16■+8=64.

生2：策略二和策略一的解法大體一致，計算量仍然比較大，我還有一種簡便的解題策略：

策略三：先將a2b+ab2進行轉(zhuǎn)換得：ab（a+b），再代入a，b進行求解.

a2b+ab2=ab（a+b）=4+2■·4-2■4+2■+4-2■=（16-8）×8=64.

師：相比于策略一和策略二，明顯策略三的計算更為簡便，且計算量非常小，不容易出錯.

反思總結(jié)? 這是一道有關(guān)二次根式化簡求值的題目，重點考查的是學(xué)生對乘法分配律的掌握和整體代入求值的思想. 從題目中給出的已知條件來看，策略一和策略二，雖然求解過程沒有什么問題，但無形中增加了很多計算量，增加了學(xué)生出錯的可能性. 策略三是此題最佳的解題策略. 通過有意向?qū)W生展示不恰當?shù)慕忸}思路，引發(fā)學(xué)生對解題策略和正確性的反思，從而充分調(diào)動學(xué)生尋找最優(yōu)解題策略的積極性，達到優(yōu)化學(xué)生解題策略的目的.

反思心理性錯誤，優(yōu)化學(xué)生認知能力

所謂“心理性錯誤”是指在解題過程中，雖然學(xué)生已經(jīng)具備了數(shù)學(xué)知識和技能，但因為審題錯誤、忽視隱含條件、疏忽符號變化、焦慮緊張、作答不規(guī)范、缺乏反思等心理因素而造成的解題錯誤. 在教學(xué)中，針對這類型錯誤，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思錯誤原因，并適當指導(dǎo)學(xué)生審題，幫助學(xué)生養(yǎng)成認真審題的良好習(xí)慣及遇到困難問題不緊張的學(xué)習(xí)心態(tài).

例4? 已知關(guān)于x的一元二次方程（m2-1）x2+（2m+1）x+1=0有兩個不等實根，求m的取值范圍.

錯誤解答：

生1：根據(jù)題意方程有兩個實根，所以判別式：

Δ=b2-4ac=（2m+1）2-4×（m2-1）×1=4m+5≥0，解得m≥-■.

師：其他同學(xué)得出的結(jié)果和他一樣嗎？結(jié)果是否正確呢？

生2：他忘記考慮一元二次方程的隱含條件“二次項系數(shù)不為零”.

師：原來忽視了一元二次方程的隱含條件. 生1你是否贊成生2的想法呢？

生1：我剛剛做題比較急躁，認為題目非常簡單，沒有考慮全面，要確保其為一元二次方程，還需要滿足a=m2-1≠0？圯m≠±1，綜上，m的取值范圍應(yīng)該是m≥-■且m≠±1.

反思總結(jié)? 這一道題做錯并不是學(xué)生數(shù)學(xué)知識和技能的缺乏，而是因為在解題過程中的一種急躁心理，導(dǎo)致他忽視了題目中的隱含條件，對問題考慮的不全面，從而造成解題錯誤，這是由于非智力因素而造成的過失性錯誤，屬于心理性錯誤范疇. 作為教師，應(yīng)從認真審題開始，通過科學(xué)指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生挖掘題目隱含條件和檢驗反思的良好習(xí)慣，從而有效提高學(xué)生的解題正確率.

結(jié)束語

“錯誤”的價值在于充分展示了學(xué)生解題思維過程中出現(xiàn)的紕漏，在糾錯過程中引領(lǐng)學(xué)生進行反思，幫助其弄清錯誤實質(zhì)，明確自身數(shù)學(xué)知識和方法缺陷之處，讓學(xué)生在潛移默化中逐漸形成反思習(xí)慣，學(xué)會分析錯誤原因、歸納錯誤類型，這對于學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力提升和良好學(xué)習(xí)習(xí)慣形成具有十分重要的意義.