摘要：作為大學數(shù)學專業(yè)的基礎性課程，實變函數(shù)論同數(shù)學各分支領域存在極為緊密的聯(lián)系，特別是在經(jīng)典微積分中的應用，可以應對數(shù)學學科的抽象性特點，為學生奠定良好的學習基礎。本文結合實變函數(shù)方法的相關內容，探討了其在經(jīng)典微積分中的具體應用，并分析了基于實變函數(shù)論的微積分教學策略，以期為推動實變函數(shù)在微積分中的進一步延伸提供參考。

關鍵詞：大學數(shù)學;實變函數(shù)方法;微積分;應用

實變函數(shù)是大學數(shù)學的一門專業(yè)核心課程，也是進入后續(xù)學習的基礎性課程，如果實變函數(shù)的學習存在缺陷，那么未來的專業(yè)課學習也必然會面臨著現(xiàn)實的阻礙。與基礎教育相比，高等教育階段的數(shù)學課程抽象性、系統(tǒng)性、理論性特點愈發(fā)突出，這也意味著學生的學習難度也隨之提升，將實變函數(shù)方法應用到各分支領域，特別是微積分這一基礎性領域，對于緩解學生的畏難情緒、幫助學生厘清數(shù)學思維脈絡具有重要價值。

一、實變函數(shù)方法概述

19世紀與20世紀之交，實變函數(shù)論作為一個新的數(shù)學分支產(chǎn)生，實變函數(shù)方法也應運而生，其是研究一般實變函數(shù)的數(shù)學方法。數(shù)學家勒貝格的測度、可測集、可測函數(shù)和積分的理論構成了實變函數(shù)論的最主要的內容。如果說微積分討論的函數(shù)都是性質“良好”的函數(shù)，則實變函數(shù)論是從連續(xù)性、可微性、勒貝格可積性三個方面討論最一般的函數(shù)，包括從微積分學來看性質不好的函數(shù)。

二、實變函數(shù)方法在經(jīng)典微積分中的應用

（一）Riemann積分進行定義

實變函數(shù)本身來源于數(shù)學分析基本理論的延伸，是基于特定數(shù)學經(jīng)驗的總結與發(fā)展，從這一點上來說，其是對Riemann積分的改進。Riemann的思想是對函數(shù)項[0，1]區(qū)間上的dirichlet函數(shù)不可積，其主要是一種分割定義域的方式，從而產(chǎn)生了lebesgue的測度理論以及積分理論。為解決此類問題，就需要實現(xiàn)實變函數(shù)方法同值域基本概念與理論的密切結合。

（二）在概率論及隨機分析中的應用

實變函數(shù)方法在概率論與隨機分析中的應用，也是由這兩門細分課程的具體情況決定的，概率論與隨機分析具有極強的抽象性，需要依托于實變函數(shù)方法這一橋梁，以實現(xiàn)更進一步、更細分地挖掘。例如，在lebesgue的授課中可以發(fā)現(xiàn)，學生對于該積分和Riemann的關系理解往往較為模糊，而如果引入實變函數(shù)方法則可以有效解決這一問題。最直觀的表現(xiàn)就是在對應測度的子集的可測問題上，實變函數(shù)方法的應用可以實現(xiàn)舉一反三的效果。

（三）在外測度lebesgue中的定義講解

在專業(yè)教學中，無法對lebesgue給出直接的概念性定義，往往只能借助極限理論實現(xiàn)對圓的面積公式的獲取，即由外切正多邊形外包、內接正多邊形的面積內填的極限推導圓的面積。在此期間可以對外包的個數(shù)進行統(tǒng)計，涉及的主要運算有并運算、差運算、余運算以及交運算，其對應的結果都可以進行預測。這種方法對數(shù)學微積分中的根源問題進行了有效分析，可以幫助學生解決理解上的困難。

三、基于實變函數(shù)論的微積分教學策略

（一）上好“第一堂課”

微積分本身具有較強的抽象性，尤其是對剛剛步入大學生活的學生來說，微積分課程同其在高中階段接觸到的數(shù)學課程在思想上、應用模式上均存在著顯著的差異，這也使得其很難在短時間內快速適應微積分的學習，甚至很多學生從此產(chǎn)生了對于數(shù)學學科的畏懼心理。因此，上好“第一堂課”，在大學伊始幫助學生奠定扎實的微積分學習基礎，具有極高的現(xiàn)實價值。這就要求教師應當積極思考實變函數(shù)論下的趣味性與引導性教學策略，以興趣激發(fā)為主，力求消除學生的畏懼與抵觸情緒。例如，微積分教學中較為常見的區(qū)域性問題，往往要求學生對無窮可微性進行深入理解，這種理解是一個遞進的過程，因此教師在講解過程中也應當注意梯度設置，做好各層次的有效銜接，實現(xiàn)環(huán)環(huán)相扣的引入教學。再例如，教師應當引導學生認識到實變函數(shù)論的基礎性作用，使得其理解實變函數(shù)論對于后續(xù)深入學習的重要性，在教學伊始就可以通過對有關數(shù)學史發(fā)展脈絡的介紹，激發(fā)學生進行系統(tǒng)化實變函數(shù)學習的熱情，為其主動將實變方法應用到微積分中打下堅實基礎。

（二）以優(yōu)質的教學方案作為支持

微積分本身的抽象性與系統(tǒng)性較強，因此在基于實變函數(shù)論的微積分教學中，教師必須把握好可能出現(xiàn)的各種問題，將其納入到統(tǒng)一的教學方案中去，同時依照實際教學過程中對于學生狀態(tài)的觀察，及時審視該種教學方案是否存在應用價值、是否需要進行調整補充，從而形成動態(tài)化的方案支撐，以期實現(xiàn)最佳的教學效果。

（三）探究課的合理安排

實變函數(shù)方法與微積分均具有極強的應用型與探索性特點，從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，到訴諸于實變方法摸索解決方案、最終解決問題，這是一個持續(xù)性的探索過程，從本質上來說，這種探究也是數(shù)學學科的魅力所在。因此，在基于實變函數(shù)論的微積分教學中，教師可以設置一些針對性的探究討論課程。在正式進入教學環(huán)節(jié)之前，由學生通過自主學習，以文獻查閱、慕課學習等方式獲取關于基礎性微積分與實變函數(shù)方法的資料，并同本階段的教材內容進行結合，增強對于實變函數(shù)方法的理解。在課堂教學中，教師應當為學生設置引導性的探究問題，例如，根據(jù)lebesgue積分的操作步驟，思考應當如何簡化其計算過程。這一類問題緊扣教學主題，又具有極強的開放性，學生在已經(jīng)擁有了一定的知識積累的基礎上，也能夠以較強的自主性去對lebesgue的積分操作進行辨證思考，實現(xiàn)對積分求和定理的靈活運用，取代過去不能用微分號的特點，了解lebesgue在何種情況下不可以取積分。這種探究的形式，可以使得學生保持長效的學習熱情，引導其在數(shù)學學習的過程中逐漸“登堂入室”

四、結束語

綜上，實變函數(shù)方法是高等數(shù)學的基礎性手段，對于學生的知識建構具有必要價值，將實變函數(shù)方法應用到微積分中，可以幫助學生理解數(shù)學各分支領域的密切聯(lián)系，形成更加系統(tǒng)的數(shù)學思維。對于高校教師來說，應當立足于實變函數(shù)論的基本特點，保證課堂教學的有效性，最大程度激發(fā)實變函數(shù)方法的應用價值。

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作者簡介：魏育飛（1972-），男，漢族，內蒙古巴彥淖爾人，內蒙古師范大學數(shù)學專業(yè)本科，內蒙古河套學院數(shù)學與計算機系，副教授。