羅文軍 劉娟娟

摘 要：本文中給出了一些伸縮變換的性質(zhì)，運(yùn)用伸縮變換的性質(zhì)解一些與橢圓有關(guān)的圓錐曲線試題，以期達(dá)到對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)伸縮變換起到拋磚引玉的作用.有助于打破思維定勢(shì)和機(jī)械的思維模式、開闊學(xué)生的學(xué)習(xí)視野、提高學(xué)生思維的靈活性、提高學(xué)生的綜合思維能力和解題能力，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：伸縮變換;橢圓;核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0014-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：羅文軍（1986.1-），男，甘肅省秦安人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

劉娟娟（1988.1-），女，甘肅省秦安人，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

人教A版《選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程》課本第7頁(yè)中給出了平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)伸縮變換的定義：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：x′=λ·x（λ>0），

y′=μ·y（μ>0）的作用下，點(diǎn)P（x，y）對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′（x′，y′），稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換.

以下，先給出一些伸縮變換的性質(zhì)，再運(yùn)用伸縮變換的性質(zhì)解一些與橢圓有關(guān)的圓錐曲線試題，以期達(dá)到對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)伸縮變換起到拋磚引玉的作用.

伸縮變換具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1 在變換φ下，點(diǎn)與點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系不變，點(diǎn)與曲線的相對(duì)位置關(guān)系不變，直線與曲線的相交、相切、相離的相對(duì)位置關(guān)系不變.

性質(zhì)2 ?若直線l變成直線l′，記直線l和l′的斜率分別為k，k′，則k′=μλk（當(dāng)k不存在時(shí)，k′也不存在）.

性質(zhì)3 ?若直線l上的兩線段成比例，則它變成直線l′上的對(duì)應(yīng)線段仍成比例.

性質(zhì)4 在變化φ下，n邊形A1A2A3…An（n≥3且n∈N*）變?yōu)閚邊形A′1A′2A′3…A′n（n≥3且n∈N*），原圖形的重心G變換后對(duì)應(yīng)的G′為n邊形A′1A′2…A′n（n≥3且n∈N*）的重心，原圖形的對(duì)稱中心O變換后對(duì)應(yīng)的O′為n邊形A′1A′2…A′n（n≥3且n∈N*）的對(duì)稱中心，變換前后圖形的面積之比為Sn邊形A1A2A3…AnSn邊形A′1A′2A′3…A′n=1λμ.

題1 （人教A版選修4-4第28頁(yè)例1）在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到直線x+2y-10=0的距離最小，并求出最小距離.

解 作伸縮變換φ：x′=x3，

y′=y2.橢圓x29+y24=1變?yōu)閱挝粓A：x′2+y′2=1，直線l方程x+2y-10=0變?yōu)橹本€l′：3x′+4y′-10=0，從而所求問題變?yōu)椋涸趫Ax′2+y′2=1上求一點(diǎn)M′到直線l′：3x′+4y′-10=0的距離最小，并求出最小距離.

由平面幾何知識(shí)可知，過圓x′2+y′2=1的圓心坐標(biāo)原點(diǎn)作直線l′的垂線段，交該圓于點(diǎn)M′（x′，y′），點(diǎn)M′到垂足的距離為最小距離.由直線l′的垂線OM′：y′=43x′（x′≥0）和x′2+y′2=1相交，解方程組x′2+y′2=1，

y′=43x′，可得M′（35，45），則對(duì)應(yīng)的橢圓上所求的點(diǎn)M（95，85），所求最小距離為d=|95+165-10|12+22=5.

評(píng)注 課本中提供的解法是利用橢圓參數(shù)方程，再運(yùn)用三角函數(shù)求解的，本解法通過伸縮變換，將問題化歸為我們熟悉的求圓上的點(diǎn)直線的最小距離問題，令人耳目一新.

題2 （中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷測(cè)試2018年2月測(cè)試?yán)砜?0）已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦點(diǎn)為F，與直線y=377相交于P，Q兩點(diǎn)，若橢圓M經(jīng)過點(diǎn)（0，3）且PF⊥QF.

（1）求橢圓M的方程;

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C是橢圓M上不同的三點(diǎn)，并且O為△ABC的重心，試求△ABC的面積.

解 （1）由題設(shè)可得，b=3，則有x2a2+y23=1.設(shè)F（c，0），P（-x0，377），則Q（x0，377），PF·QF=（c+x0，-377）·（c-x0，-377）=c2-x20+97=0.又因?yàn)閤20a2+973=1，所以x20=47a2，所以c2-47a2+97=（a2-3）-47a2+97=0，解得a2=4，b2=3，所以橢圓M的方程為x24+y23=1.

（2）在伸縮變換x′=x2，

y′=y3下，橢圓M：x24+y23=1變?yōu)閱挝粓AM′：x′2+y′2=1，橢圓M的內(nèi)接三角形△ABC及重心O對(duì)應(yīng)圓M′的內(nèi)接三角形△A′B′C′及重心.由于橢圓M的內(nèi)接△ABC的重心與橢圓的中心坐標(biāo)原點(diǎn)重合，因此圓M′的內(nèi)接三角形△A′B′C′的重心與圓M′的圓心坐標(biāo)原點(diǎn)重合，所以△A′B′C′是正三角形.設(shè)△A′B′C′的邊長(zhǎng)為m（m>0），由正弦定理可得，m=2Rsin60°=2×1×32=3，由三角形面積公式可得，S△A′B′C′=12m2sin60°=12×3×32=334，由伸縮變換性質(zhì)可得，S△ABCS△A′B′C′=23，所以S△ABC=23S△A′B′C′=92.

評(píng)注 本題第（2）問運(yùn)用伸縮變換法求解，主要運(yùn)用了伸縮變換的性質(zhì)4，將橢圓的中心與內(nèi)接三角形重心重合時(shí)，求內(nèi)接三角形的面積問題化歸為單位圓的內(nèi)接正三角形面積問題，運(yùn)算量小，思路新穎.

題3 （2019年重慶市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題）已知△ABC為橢圓x29+y24=1的內(nèi)接三角形，且AB過點(diǎn)P（1，0），則△ABC的面積的最大值為

.

解 經(jīng)過伸縮變換x′=x3，

y′=y2得△A′B′C′內(nèi)接于單位圓x′2+y′2=1，A′B′過點(diǎn)P′（13，0），S△ABC=6S△A′B′C′.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O′（0，0）距A′B′的距離為t，則0≤t≤13，|A′B′|=21-t2，S△A′B′C′≤1-t2·（1+t）.當(dāng)t=13時(shí)，S△A′B′C′有最大值為829，所以S△ABC的最大值為1623.

評(píng)注 運(yùn)用伸縮變換法，結(jié)合伸縮變換的性質(zhì)，將橢圓的內(nèi)接△ABC的面積的最大值問題化歸為單位圓的內(nèi)接△A′B′C′的面積的最大值問題.

題4 （2019年煙臺(tái)二模理科）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為43，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為圓x2+y2-2x=0的圓心.

（1）求橢圓的方程;

（2）若M，N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OM，ON的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1k2=-34時(shí)，△MON的面積是否為定值？若為定值，求出此定值;若不為定值，說明理由.

解 （1）由已知可得，2ab=43，c=1，又因?yàn)閍2-b2=c2=1，解得a=2，b=3，所以橢圓的方程為x24+y23=1.

（2）在伸縮變換φ：x′=x2，

y′=y3下，橢圓x24+y23=1變?yōu)閱挝粓A：x′2+y′2=1，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)M，N在單位圓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′，N′，直線OM′，ON′的斜率分別為k′1，k′2，由伸縮變換性質(zhì)可得，k′1=23k1，k′2=23k2，所以k′1k′2=43k1k2=-1，所以O(shè)M′⊥ON′，所以S△OM′N′=12|OM′||ON′|=12×12=12，所以SOMN=23S△OM′N′=3，所以△MON的面積為定值3.

評(píng)注 本題第（2）問運(yùn)用了伸縮變換法，根據(jù)伸縮變換的性質(zhì)，得出OM′與ON′垂直，容易得出△OM′N′的面積，從而得出△MON的面積.

題5 （2018年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽）已知點(diǎn)P為直線x+2y=4上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓x2+4y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB過定點(diǎn)的坐標(biāo)是

.

解 在伸縮變換φ：x′=x2，

y′=y下，橢圓x2+4y2=4變?yōu)閤′2+y′2=1，直線x+2y=4變?yōu)閤′+y′-2=0，P（x0，y0）變?yōu)镻′（x0′，y′0），則x0′+y′0-2=0，則y′0=-x0′+2，A，B分別變?yōu)锳′，B′.圓x′2+y′2=2的切點(diǎn)弦A′B′的方程x0′x+y′0y=1，所以x0′x+（-x0′+2）y=1，即（x-y）x0′+（2y-1）=0，故x-y=0且2y-1=0，解得x=12，y=12，即直線A′B′過定點(diǎn)（12，12），所以直線AB過定點(diǎn)（1，12）.

評(píng)注 本題運(yùn)用伸縮變換法，將橢圓的切點(diǎn)弦問題化歸為單位圓的切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題，從而得出直線AB所過的定點(diǎn)坐標(biāo).

題6 （2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試）在平面直角坐標(biāo)xOy中，橢圓C的方程為x29+y210=1，F(xiàn)為C的上焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，P是C上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形OAPF的面積的最大值為

.

解 在伸縮變換φ：x′=x3，

y′=y10下，橢圓C：x29+y210=1變?yōu)閱挝粓A：x′2+y′2=1，點(diǎn)F（0，1），A（3，0），P在單位圓上分別對(duì)應(yīng)F′（0，110），A′（1，0），P′，且點(diǎn)P′是單位圓x′2+y′2=1上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).由平面幾何的知識(shí)，當(dāng)OP′⊥A′F′時(shí)，四邊形OA′P′F′的面積最大，最大值為S′=12|A′F′||OP′|=12×1+110×1=11020.由伸縮變換性質(zhì)可得，四邊形OAPF的面積的最大值為S=λμS′=310×11020=3112.

評(píng)注 運(yùn)用伸縮變換法，將橢圓化為單位圓，再求出四邊形OA′P′F′的最大面積，由伸縮變換性質(zhì)，從而求出四邊形OAPF的最大面積.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書`數(shù)學(xué)選修4-4（人教A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[責(zé)任編輯：李 璟]