葉其基

摘 要：高中數(shù)學(xué)教材中，許多題目的解答離不開“1”的身影，“1”就像孫悟空會七十二變，靈活掌握這些“1”的變化，給我們解題帶來極大的方便，本文就從指對函數(shù)，三角函數(shù)，不等式，二項(xiàng)式定理四個方面來尋找“1”的七十二變。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);“1”;指對函數(shù);三角函數(shù);不等式;二項(xiàng)式定理

一、指對函數(shù)中“1”的妙用

在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)中，“1”在解決比較大小，過定點(diǎn)等題目中起到一個十分巧妙的作用。用上了“1”這個橋梁，許多問題就會迎刃而解。

例1（必修一p57）比較的大小

解：因?yàn)?? 所以

方法小結(jié)：因?yàn)?.7和0.9不相等，所以這兩個函數(shù)的大小不能直接利用單調(diào)性來判斷大小，故要找到一個橋梁，把這兩個值連接起來，通過這個橋梁“1”分別和這兩個數(shù)分別比較大小，然后確定這兩個函數(shù)值的大小。這里利用了“”這個變化。

例2（必修一p82）比較 的大小

解：因?yàn)?? 所以>

方法小結(jié)：這兩個對數(shù)不是同底，故也是不能用單調(diào)性來解決，這個時候用上了“”這個變化，順利地把這兩個函數(shù)值的大小比較出來。

例3函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)p，點(diǎn)p的坐標(biāo)為

解：令 x-3=0，這時x=3，則，故函數(shù)的圖像過定點(diǎn)（3，3），即點(diǎn) P的坐標(biāo)為（3，3）

方法小結(jié)：指數(shù)函數(shù)的圖像過定點(diǎn)（0，1），據(jù)此可解決形如的函數(shù)圖像過定點(diǎn)問題，即令，函數(shù)圖像過定點(diǎn)，這里就要抓住這個變化。

例4.函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)

解：令x+3=1，這時x=-2，則，故函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)（-2，-1）

方法小結(jié)：對數(shù)函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)（1，0），據(jù)此可解決形如的函數(shù)過定點(diǎn)問題，即令x+c=1，即x=1-c，得y=b，函數(shù)圖像過定點(diǎn)（1-c，b），這里就要抓住這個變化。

二、三角函數(shù)中“1”的變化

在三角函數(shù)中，“1”也是一個多面手，常見的變化是同角三角函數(shù)在的平方關(guān)系和tan45°=1，這些變化對我們解決相關(guān)的問題是很關(guān)鍵的。

例5.（必修四 p69）已知tanα=3，計(jì)算sinαcosα

解：原式====

方法小結(jié)：在三角函數(shù)當(dāng)中經(jīng)常要用上，但是題目往往不會直接給出，要像例5那樣要無中生有，利用“”的性質(zhì)，變出個“1”來。所以在解題的時候一定要找準(zhǔn)方法，留意這個“1”的妙用。

例6.（必修四p130）計(jì)算

解： =

方法小結(jié)：在正切函數(shù)當(dāng)中往往隱藏著tan45°=1這個條件，許多時候用上了“1”這個變化在求解中馬上就可以把非特殊值的角度算成特殊值的角度，從而達(dá)到解題的目的。

三、“1”在基本不等式中的靈活變化

例7.（選修4-5p35）設(shè)，，求證：

證明：因?yàn)?所以=（a+b）（） = ≥ =4

當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立。

方法小結(jié)：在不等式證明或者求最值的時候，需要我們來創(chuàng)造這個條件“”。這里“1”的這個變化就能給我們創(chuàng)造“定值”，但是有些題目中并沒有直接給出“1”，我們就要把“1”變出來或者挖掘題目當(dāng)中隱含的“1”出來，所以在解題中我們一定要多留意題目中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，多積累一些常用的變化，這給我們解題會帶來意想不到的效果。

四、不等式證明中“1”的代換。

例8（選修4-5p22）已知是正數(shù)，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。

證明：將兩邊不等式相除，得

根據(jù)要證的不等式的特點(diǎn)（交換的位置，不等式不變），不妨設(shè)>0，于是 所以 ?當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故

方法小結(jié)：在不等式證明中一般用“作差比較法”和“作商比較法”，其中一個“作商比較法”往往就是要借助“1”的代換來證明證明一些比較復(fù)雜的不等式證明題.即：當(dāng)時，

五、“1”在二項(xiàng)式定理中的妙用

例9（選修2-3p40）用二項(xiàng)式定理證明5555+9能被8整除

證明：因?yàn)?555+9=（56-1）55+9=

由于各項(xiàng)都含有因數(shù)8，故能被8整除，即5555+9能被8整除

方法小結(jié)：面對一些高次方的多項(xiàng)式整除問題，我們就可以考慮把這個高次方的數(shù)變成一個數(shù)與“1”的運(yùn)算，即：，從而變成二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通過二項(xiàng)式定理的展開運(yùn)算來達(dá)到我們解題的目的。

高中數(shù)學(xué)教材中“1”的七十二變在解題中起著許多神奇的作用，借助“1”的變化來達(dá)到“化難為易，化繁為簡”的目的，重視“1”的靈活運(yùn)用，會找到解題的“1”想不到的方法，會起到“1”點(diǎn)通的妙效。當(dāng)然，“1”在教材中還有許多變化，需要我們在平時的教學(xué)當(dāng)中不斷總結(jié)和歸納。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1 4 [M].北京.人民教育出版社