孫芳

摘? 要：知識與技能中蘊(yùn)涵的思想與方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容. 此外，學(xué)習(xí)方式的不同也會(huì)有不同的學(xué)習(xí)效果. 以函數(shù)教學(xué)為載體，對函數(shù)概念、認(rèn)識函數(shù)圖象及解析式的一些教學(xué)片斷進(jìn)行分析，探索讓學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)方式，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，挖掘知識背后的思想方法，讓數(shù)學(xué)意識、思維方式等自然地滲透進(jìn)數(shù)學(xué)課堂中.

關(guān)鍵詞：思想方法;函數(shù);自主探究

一、思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義

對于教學(xué)過程中思想方法的滲透，首先要回歸到一個(gè)本質(zhì)的問題：什么是數(shù)學(xué)？什么是基本的數(shù)學(xué)思想方法？《什么是數(shù)學(xué)》一書中對其進(jìn)行了闡述：數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评?，以及對完美境界的追? 它的基本要素是：邏輯和直觀、分析與構(gòu)作、一般性和個(gè)別性. 可見，數(shù)學(xué)可以讓人們更好地認(rèn)識世界、解決問題.

對數(shù)學(xué)思想方法的理解，不能僅僅局限于等量代換、數(shù)形結(jié)合、分類討論等具體的思想方法，而是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，逐漸形成的數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神等，這些都是數(shù)學(xué)思想方法在人腦中的內(nèi)化，是學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)后的心理體驗(yàn)、感悟及反思基礎(chǔ)上的升華. 日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾指出：縱然是把數(shù)學(xué)知識忘記了，但數(shù)學(xué)的精神、思想、方法也會(huì)深深地銘刻在頭腦里，長久地活躍于日常的業(yè)務(wù)中. 數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)盡量讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，教給學(xué)生在遇到各種實(shí)際問題時(shí)所依賴的方法，引導(dǎo)學(xué)生正確的思維與實(shí)踐，而這種思維方式的建立會(huì)是學(xué)生一生的財(cái)富.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中由“雙基”到“四基”的變化，對基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的要求恰好體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，這是隱藏在知識與技能中的隱線.

二、自主探究學(xué)習(xí)方式的價(jià)值

《標(biāo)準(zhǔn)》提出，數(shù)學(xué)知識的獲得可以通過接受學(xué)習(xí)的方式，也可以通過自主探索等方式. 這里所說的接受式學(xué)習(xí)和探究式學(xué)習(xí)都屬于有意義學(xué)習(xí)，兩者都強(qiáng)調(diào)學(xué)生在新知識與已有知識之間建立有意義的聯(lián)系.

接受式學(xué)習(xí)更直接，可以讓學(xué)生在相對短的時(shí)間內(nèi)掌握較多的知識，一般以講授法為主，在學(xué)習(xí)過程中可以避免認(rèn)識過程中的曲折和困難. 而對于自主探究式學(xué)習(xí)，學(xué)生的主體性更加突出，學(xué)生需要主動(dòng)參與、實(shí)踐，在過程中建立知識架構(gòu)，在認(rèn)識過程中會(huì)遇到曲折與困難，不斷嘗試的過程又會(huì)帶來出乎意料的成果.

自主探究式學(xué)習(xí)有助于學(xué)生創(chuàng)新能力、思維能力的培養(yǎng). 教師要支持學(xué)生進(jìn)行自主探究，可以通過恰當(dāng)?shù)膯栴}，適時(shí)引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的興趣，形成有效教學(xué).

三、函數(shù)內(nèi)容教學(xué)片斷的設(shè)計(jì)與分析

函數(shù)是初、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是刻畫和研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要模型，模型思想的建立尤為重要. 其實(shí)，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，模型思想就是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，而掌握模型思想，就是把現(xiàn)實(shí)世界中的問題，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號描述、表達(dá)，最終得到數(shù)學(xué)模型.

函數(shù)的研究方法具有一般性和代表性. 初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)的方法都會(huì)為高中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 因此，函數(shù)這部分內(nèi)容在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中具有十分重要的地位.

下面以“函數(shù)”內(nèi)容的教學(xué)為例，針對學(xué)生學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)、愛思考、求知欲強(qiáng)等特點(diǎn)，以知識蘊(yùn)涵的思想方法為主線設(shè)計(jì)問題，為自主探究學(xué)習(xí)方式提供支持，力求在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

1. 函數(shù)概念的教學(xué)

在生活中，涉及函數(shù)關(guān)系的例子非常多，變量隨處可見，大量存在的變量之間并不獨(dú)立，而是相互聯(lián)系的. 教師可以利用函數(shù)知識構(gòu)造出解決問題的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而通過對函數(shù)問題的研究，使實(shí)際問題得到解決，這充分體現(xiàn)了函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，有助于形成模型思想. 學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)初步接觸了函數(shù)思想，懂得一切事物都在不斷變化，而且相互聯(lián)系、相互制約，從而了解事物的變化趨勢及運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

筆者在課前了解到的情況是：一部分學(xué)生聽說過函數(shù)的概念，但又不能真正理解. 例如，當(dāng)問及“什么是函數(shù)”時(shí)，會(huì)有學(xué)生回答“形如[y=kx+b][k≠0]的形式是函數(shù)”，馬上又會(huì)有學(xué)生指出“這不是函數(shù)，這是一次函數(shù)”. 學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知只是停留在認(rèn)識這種形式，并沒有接觸到問題的本質(zhì).

皮亞杰的建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)生要在已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識. 而數(shù)學(xué)概念的抽象性更要求基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從原有經(jīng)驗(yàn)、原有認(rèn)識中逐步抽象概括出數(shù)學(xué)的形式化定義. 為此，筆者選擇最大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在大量的實(shí)際問題中，抽象概括出概念的本質(zhì). 這與《標(biāo)準(zhǔn)》中提到的“建立和求解模型的過程是從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”的看法是一致的.

對于函數(shù)的概念，筆者設(shè)計(jì)了如下問題.

問題1：你能列舉生活中有關(guān)系的變量嗎？

問題2：你能用符號表示變量之間的關(guān)系嗎？

問題3：你能用語言描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系（變化規(guī)律）嗎？

以上幾個(gè)問題都具有開放性，筆者給學(xué)生留出了足夠的思考時(shí)間與空間，希望用問題激發(fā)學(xué)生的自主探究意識. 對于問題1，學(xué)生的興致很高，但最初列舉的例子只是局限在與數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密的問題上，如正方形的邊長與面積;也出現(xiàn)了含有兩個(gè)以上變量的例子，如速度、時(shí)間、路程. 學(xué)生在相互啟發(fā)下，舉例漸漸豐富，如某人的年齡與身高、時(shí)間與氣溫等. 在這一過程中，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.

學(xué)生對于某人的年齡與身高這兩個(gè)變量的討論十分激烈. 首先，在符號表達(dá)上遇到困難;其次，在關(guān)系描述上也不是十分清晰. 在不斷嘗試、討論的過程中，學(xué)生深刻體會(huì)到：并不是所有的函數(shù)都可以寫出解析式，而變量之間的對應(yīng)關(guān)系也不相同.

這樣設(shè)計(jì)體現(xiàn)了“函數(shù)是對現(xiàn)實(shí)世界的一種刻畫”，概念不是憑空出現(xiàn)的，而借助數(shù)學(xué)符號恰恰可以表達(dá)出最本質(zhì)、最抽象的對應(yīng)關(guān)系. 符號意識、抽象過程蘊(yùn)含其中.

2. 認(rèn)識函數(shù)圖象

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到數(shù)形結(jié)合思想，就是把代數(shù)問題通過幾何圖形更加直觀地表示出來，或者把幾何問題用代數(shù)更加準(zhǔn)確地來刻畫. 例如，學(xué)習(xí)數(shù)軸之后，在遇到相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)大小的比較時(shí)，借助數(shù)軸來解答有時(shí)會(huì)簡化問題.

但是在處理很多問題時(shí)，學(xué)生并不能將數(shù)與形很好地結(jié)合. 是教師在課堂上強(qiáng)調(diào)得不夠多，還是其他原因？怎樣才能讓學(xué)生有這種相互轉(zhuǎn)化的意識？這種數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)并不是一節(jié)課就可以實(shí)現(xiàn)的，它應(yīng)該是滲透在日常的教學(xué)過程中. 教師要抓住點(diǎn)滴機(jī)會(huì)讓學(xué)生切實(shí)感受到借助圖象表達(dá)的優(yōu)越性.

筆者選擇了一個(gè)學(xué)生耳熟能詳?shù)男」适隆斖觅惻?，以此為背景設(shè)計(jì)函數(shù)圖象的教學(xué)，并提出如下問題.

問題1：用橫軸表示時(shí)間，縱軸表示路程，你能借助圖象刻畫完整的寓言故事嗎？（兔子的路程用實(shí)線表示，烏龜?shù)穆烦逃锰摼€表示.）

問題2：從圖象中可以看出哪些信息？

問題3：你可以改編故事情節(jié)，并借助圖象來表達(dá)嗎？

數(shù)學(xué)并不枯燥，它可以用獨(dú)特的語言來描述實(shí)際問題. 從實(shí)施效果來看，針對問題1，學(xué)生給出了諸多相近作品，畫出了如圖1 ～ 圖3所示的示意圖.

以上的圖象相似，但又有細(xì)微不同，這體現(xiàn)在變化點(diǎn)的位置、傾斜程度等方面. 在圖1與圖2的對比中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兔子睡覺時(shí)間差異很大;針對圖2，有學(xué)生提出其中不太合理的地方，兔子在睡醒后還沒有烏龜跑得快;而觀察圖3，則會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)束的位置不同. 在觀察、比較的過程中，分享不同示意圖帶來的故事的不同經(jīng)過及結(jié)尾. 關(guān)于定義域、值域、斜率、交點(diǎn)等很多圖象特征所表示的數(shù)學(xué)信息被揭示出來.

在解決問題3時(shí)，學(xué)生編創(chuàng)了如下新的故事：兔子在超過烏龜后并沒有睡覺，而是跑回來鼓勵(lì)烏龜再繼續(xù)進(jìn)行比賽，并畫出了如圖4所示的示意圖.

學(xué)生討論很熱烈. 有學(xué)生提出圖4中存在不合理的地方，圖中出現(xiàn)了路程減少的情況，實(shí)際上是學(xué)生對路程與位移的混淆. 討論過程中留給學(xué)生最大的收獲是：感受到了函數(shù)圖象的優(yōu)越性，即直觀、簡單且包含大量信息;體會(huì)了觀察圖象的方法.

教師課堂教學(xué)的首要目標(biāo)應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生對知識的渴求，要能讓知識的魅力征服學(xué)生. 本節(jié)課中，不斷出現(xiàn)的靈感火花必然會(huì)引起學(xué)生更深層次的思維，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的熱情.

3. 研究函數(shù)解析式

在研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，由于學(xué)生的認(rèn)知水平有限，常常是先描點(diǎn)畫圖，再邊看圖象邊梳理性質(zhì)，畢竟圖象會(huì)帶來直觀的結(jié)論. 其實(shí)，在寫出函數(shù)的解析式時(shí)性質(zhì)就存在其中了，對于復(fù)雜的函數(shù)，分析解析式很重要. 這種研究函數(shù)的方法，可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，即使是簡單的函數(shù)形式，如[y=2x]，也可以逐步滲透，先看解析式來分析變量之間的關(guān)系，再研究圖象.

為了滲透研究函數(shù)的方法，筆者選擇讓學(xué)生畫函數(shù)[y=1x2-1]的圖象. 顯然，這個(gè)問題對學(xué)生來說有一定難度，它并沒有出現(xiàn)在學(xué)生熟悉的函數(shù)形式范圍內(nèi). 之所以選擇這個(gè)函數(shù)切入，主要是想屏蔽掉學(xué)生已經(jīng)會(huì)畫的函數(shù)圖象. 學(xué)生的畫只是停留在記憶與技能方面，對于怎樣畫、如何針對解析式進(jìn)行分析并沒有過多的思考，因而用這個(gè)問題讓學(xué)生進(jìn)行嘗試，體會(huì)研究函數(shù)的方法.

針對函數(shù)[y=1x2-1]，筆者提出如下問題.

問題1：你能猜出函數(shù)[y=1x2-1]的圖象的樣子嗎？

問題2：用什么方法畫出圖象？

問題3：你能夠?qū)懗雠c此圖象相近的其他形式的解析式嗎？

有學(xué)生認(rèn)為其圖象可能會(huì)與反比例函數(shù)圖象比較接近，因?yàn)槎加蟹帜?可能會(huì)與二次函數(shù)圖象接近，因?yàn)槎加衅椒?，但這些說法并不被大多數(shù)學(xué)生認(rèn)同.

事實(shí)上，學(xué)生在七嘴八舌的討論中，漸漸清晰了如下研究過程：選擇一些特殊點(diǎn)并畫出來，有些[x]值取不到，自變量取互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)時(shí)函數(shù)值都一樣……其實(shí)梳理出來，這就是畫出函數(shù)圖象、分析函數(shù)解析式的方法. 在經(jīng)歷這樣的思考與交流后，學(xué)生對觀察解析式畫函數(shù)圖象又有了進(jìn)一步的認(rèn)識，對研究方法的內(nèi)化起到了很好的促進(jìn)作用.

隨之而來，學(xué)生提出了更多問題. 例如，[y=1x4-1]的圖象是什么樣的？還可以再改變[x]的次數(shù)嗎？正是受到學(xué)生的啟發(fā)，教師提出問題3，作為本節(jié)課課堂教學(xué)內(nèi)容的延續(xù).

將這三個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)片斷對比來看，教學(xué)的素養(yǎng)指向都是思想與方法，教學(xué)的呈現(xiàn)方式都是問題支持下的自主探究活動(dòng). 課堂上，學(xué)生的參與度高，開放性的問題設(shè)計(jì)可以留給學(xué)生很大的創(chuàng)新空間，不時(shí)出現(xiàn)的課堂生成問題，促使了師生、生生互動(dòng)，在解決問題的過程中學(xué)習(xí)了研究方法.

類比需要觀察，創(chuàng)新源于聯(lián)想，這是解決問題受益終身的方法. 結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)，筆者堅(jiān)持在課堂上滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想與方法，設(shè)計(jì)自主探究活動(dòng)，能夠激發(fā)學(xué)生的靈感. 長此以往，這種思維方式會(huì)成為一種習(xí)慣，學(xué)生能夠聯(lián)想已有的知識解決問題，并進(jìn)行應(yīng)用，進(jìn)而提出新問題，這也就自然再現(xiàn)了知識的形成過程.

以上三個(gè)教學(xué)片斷都是基于函數(shù)這一部分內(nèi)容的教學(xué)思考. 思想方法不是一節(jié)課能夠落實(shí)的，這是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐漸鞏固的過程;創(chuàng)造性思維也不是一節(jié)課培養(yǎng)出來的，要不斷在探究活動(dòng)中激發(fā)與引導(dǎo). 學(xué)生最初只是停留在潛意識階段，只是初步感知. 隨著不斷滲透，不斷探究，才能漸漸明晰. 當(dāng)經(jīng)驗(yàn)和領(lǐng)悟積累到一定程度，思想方法就會(huì)凸顯出來. 因此，教師要堅(jiān)持做到教學(xué)中對思想方法的滲透，多一些對學(xué)生思維的關(guān)注和引導(dǎo)，多一些對學(xué)生自主探究活動(dòng)的支持.

借助張鶴老師的話：教師要深入研究所教授的內(nèi)容，我們要給學(xué)生的、要學(xué)生看到的是：你是怎樣學(xué)習(xí)的，你是怎樣提出問題、思考問題、解決問題的，也就是你是怎樣“做學(xué)問”的.

教師教給學(xué)生的不僅僅是知識，更重要的是方法、態(tài)度和習(xí)慣，要堅(jiān)持滲透在每一節(jié)數(shù)學(xué)課中.

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