應(yīng)佳成

摘? 要：“式”是“數(shù)”的拓展與一般化，作為運(yùn)算對(duì)象，對(duì)“式”的學(xué)習(xí)是真正的代數(shù)學(xué)習(xí). 在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“數(shù)”到“式”的自然過(guò)渡？筆者認(rèn)為需要用好“數(shù)”與“式”之間的具體與一般關(guān)系，用好研究方式與研究結(jié)構(gòu)的一致性，即用好數(shù)式通性，幫助學(xué)生從“數(shù)”的學(xué)習(xí)順利過(guò)渡到“式”的學(xué)習(xí). 對(duì)學(xué)生數(shù)式通性觀念的培養(yǎng)是一個(gè)逐步滲透、逐步遞進(jìn)的過(guò)程. 文章從對(duì)“式”的認(rèn)識(shí)、對(duì)運(yùn)算律的遵循、對(duì)算理的理解和技能的落實(shí)、對(duì)代數(shù)體系的構(gòu)建等不同發(fā)展階段闡述如何實(shí)現(xiàn)從“數(shù)”向“式”的自然過(guò)渡，并提出了后續(xù)思考.

關(guān)鍵詞：數(shù)式通性;遷移類比;運(yùn)算能力

2020年10月20日，筆者有幸參加了由中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)、福建省教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教學(xué)委員會(huì)在福建建寧主辦的“中央蘇區(qū)、革命老區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)”活動(dòng). 活動(dòng)中，浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)永興學(xué)校的毛大平老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）開(kāi)設(shè)了“整式”一課，以下是筆者從數(shù)式通性視角對(duì)式的教學(xué)展開(kāi)的思考.

從本質(zhì)上看，由于“式”是“數(shù)”的抽象，因此，在式的運(yùn)算中，數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)不變. 從數(shù)學(xué)的整體性來(lái)看，式的運(yùn)算繼承了“數(shù)”的運(yùn)算的法則和運(yùn)算律，與數(shù)的運(yùn)算保持一致. 從思想方法來(lái)看，“式”是代數(shù)教學(xué)的開(kāi)端，由于“式”是“數(shù)”的一般化，與“數(shù)”相比，既有繼承也有發(fā)展，數(shù)式通性是在“式”的研究中具有統(tǒng)領(lǐng)地位的思想方法. 用好數(shù)式通性，從“數(shù)”向“式”自然過(guò)渡，讓學(xué)生能夠用看“數(shù)”的眼光看“式”、能夠像運(yùn)算“數(shù)”一樣熟練地運(yùn)算“式”，能夠從認(rèn)知上將“數(shù)”與“式”進(jìn)行統(tǒng)一，能夠建立初步的代數(shù)觀念. 那么，如何實(shí)現(xiàn)自然過(guò)渡？如何體現(xiàn)數(shù)式通性？筆者認(rèn)為，作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)式通性觀念的培養(yǎng)是一個(gè)逐步滲透、逐步遞進(jìn)的過(guò)程，本文將就此展開(kāi)具體闡述.

一、理解“式”，用看“數(shù)”的眼光看“式”

從發(fā)展的角度看，用字母表示數(shù)是式的發(fā)展基礎(chǔ);從知識(shí)領(lǐng)域看，用字母表示數(shù)是數(shù)的進(jìn)一步抽象，是更具有一般意義的數(shù). 在小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)知道用字母可以表示數(shù)，學(xué)習(xí)過(guò)用字母表示運(yùn)算律，因此，學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)的學(xué)習(xí)并不是零基礎(chǔ)的. 但這并不意味著學(xué)生有對(duì)“式”進(jìn)行直接運(yùn)算的能力，在對(duì)“式”進(jìn)行運(yùn)算之前，需要學(xué)生對(duì)“式”有充分的認(rèn)識(shí)，從“數(shù)感”過(guò)渡到“式感”，對(duì)“式”有完備的認(rèn)識(shí)，為運(yùn)算打好基礎(chǔ).

1. 理解字母的運(yùn)算邏輯

2. 明確“式”的構(gòu)成要素的含義

由于數(shù)有運(yùn)算單位，自然需要確定式的運(yùn)算單位. 單項(xiàng)式是式的運(yùn)算的最小單位，對(duì)單項(xiàng)式的構(gòu)成要素本質(zhì)的認(rèn)識(shí)決定了整式的運(yùn)算水平. 數(shù)式通性是認(rèn)識(shí)單項(xiàng)式構(gòu)成要素的重要思想，從單項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)中可以明確看出構(gòu)成要素. 例如，5a3b表明它的運(yùn)算關(guān)系是[5 · a · a · a · b]，但是此結(jié)構(gòu)與多個(gè)因數(shù)相乘不同，數(shù)是個(gè)別的，a3b代表的是類型，是運(yùn)算結(jié)構(gòu)，系數(shù)（5a3b中的5）、字母（5a3b中的a3，b）是單項(xiàng)式的構(gòu)成要素，說(shuō)明單項(xiàng)式是式的運(yùn)算的最小單位. 在以上認(rèn)知過(guò)程中，教師需要幫助學(xué)生理解字母可以表示數(shù)，字母也可以用符合條件的具體的數(shù)來(lái)替換，這與數(shù)字因數(shù)是有差異的. 基于對(duì)數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)的對(duì)比與分析，發(fā)現(xiàn)式與數(shù)之間有繼承、有差異. 式可以兼容數(shù)，是數(shù)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)的一般化表示，從“數(shù)”過(guò)渡到“式”，明確“式”也是運(yùn)算對(duì)象.

3. 用“式”抽象數(shù)量關(guān)系

隨著學(xué)生對(duì)“式”的認(rèn)識(shí)水平的提升，需要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象數(shù)量關(guān)系，并用“式”表示這些關(guān)系的能力. 例如，用歸納法表示簡(jiǎn)單的數(shù)列1，2，4，8，16，…，2n - 1的通項(xiàng)公式等. 在對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中，蘊(yùn)含著“發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律、用字母替換數(shù)、用式表示規(guī)律”等一系列思維過(guò)程，這都是從“數(shù)”向“式”過(guò)渡的良好載體.

二、遵循運(yùn)算律，像算“數(shù)”一樣去算“式”

整式的運(yùn)算建立在數(shù)的運(yùn)算基礎(chǔ)之上，數(shù)的運(yùn)算是式的運(yùn)算的特殊情形. 但是初學(xué)階段的學(xué)生缺少這樣的整體視角，因而用好數(shù)式通性，幫助學(xué)生自然地實(shí)現(xiàn)從數(shù)的運(yùn)算遷移到式的運(yùn)算是學(xué)好式的運(yùn)算的關(guān)鍵.

1. 用字母替換數(shù)，明確“式”可以算

整式的加減是融合數(shù)與式的學(xué)習(xí)、培育數(shù)式通性思想的最佳載體. 整式的加減運(yùn)算的關(guān)鍵是合并同類項(xiàng)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中要為學(xué)生設(shè)計(jì)合理的遷移機(jī)會(huì)，抓好思維發(fā)展的細(xì)微環(huán)節(jié). 學(xué)生已經(jīng)知道“式”是“數(shù)”的進(jìn)一步抽象及推廣，是運(yùn)算對(duì)象，那么自然就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題：“式”不等同于“數(shù)”，那么整式到底能不能相加減呢？因此，在整式的加減的教學(xué)時(shí)，要充分注意“式”與“數(shù)”的聯(lián)系，類比數(shù)的運(yùn)算探求整式加減運(yùn)算的法則和規(guī)律. 例如，可以通過(guò)設(shè)計(jì)具有分配律結(jié)構(gòu)特征的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行遷移. 第一步，先來(lái)計(jì)算如下三個(gè)算式：[22×5+78×5;] [22×52+78×52;] [22×5×6+78×5×6，] 顯然，以上的運(yùn)算利用分配律是非常容易完成的;第二步，將上述算式中的“5”和“6”換成其他的任意數(shù)，利用分配律依然可以順利計(jì)算出結(jié)果，并且發(fā)現(xiàn)能夠替換“5”和“6”的數(shù)有無(wú)數(shù)組;第三步，聯(lián)想到用更具有一般性的字母表示數(shù)，將上述問(wèn)題中的“5”換成“a”，“6”換成“b”，就此遷移完成[22a+78a，22a2+78a2，] [22ab+78ab]的運(yùn)算.

在對(duì)“式”進(jìn)行運(yùn)算的初始階段，要考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)是新舊知識(shí)相互影響與整合的過(guò)程，處理好從“數(shù)”到“式”的過(guò)渡，借助“字母表示數(shù)的意義”用字母替換數(shù)字，明確這樣的“式”可以運(yùn)算是非常重要的. 章建躍博士曾經(jīng)做出闡述：從數(shù)字到字母，用字母表示數(shù)，其意義是使數(shù)學(xué)表達(dá)趨于抽象性、普遍性，對(duì)字母進(jìn)行運(yùn)算、推理所獲得的結(jié)果是普遍成立的.

2. 分析運(yùn)算律，明確“式”如何算

在前文闡述“式”能不能運(yùn)算的過(guò)程中，已經(jīng)交織著分配律的使用，事實(shí)上，“能不能算”與“怎樣算”是相互交織的同一個(gè)問(wèn)題. 在計(jì)算[22a+78a，] [22a2+][78a2，] [22ab+78ab]的過(guò)程中，離不開(kāi)運(yùn)算律，只有使用分配律，才能通過(guò)改變運(yùn)算順序?qū)蓚€(gè)同類單項(xiàng)式合并，完成從“數(shù)”到“式”的學(xué)習(xí)遷移. 因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)思考運(yùn)算的依據(jù)，并利用依據(jù)對(duì)“式”進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)一步歸納總結(jié)出合并同類項(xiàng)法則. 從數(shù)的運(yùn)算到式的運(yùn)算，運(yùn)算法則和運(yùn)算律的繼承是運(yùn)算得以實(shí)施的核心. 幫助學(xué)生類比遷移數(shù)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)構(gòu)建式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，是發(fā)展學(xué)生代數(shù)認(rèn)知體系的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

在多項(xiàng)式加減運(yùn)算學(xué)習(xí)之初，會(huì)有部分學(xué)生對(duì)于[2x2-5x-24x-3x2-2]這樣的計(jì)算題不能理解，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤率較高. 究其原因，還是學(xué)生對(duì)新法則本質(zhì)的不理解造成的，抓不住根本的運(yùn)算規(guī)律導(dǎo)致已有基礎(chǔ)和目標(biāo)之間形成了差距，影響學(xué)習(xí)進(jìn)程. 針對(duì)這樣的問(wèn)題，教師在教學(xué)中使用運(yùn)算法則的同時(shí)要強(qiáng)調(diào)分配律所起的作用，并且不斷強(qiáng)調(diào)算理，在每個(gè)步驟之后都強(qiáng)調(diào)運(yùn)算本質(zhì)，幫助學(xué)生將新法則化歸為已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在理解的基礎(chǔ)上再進(jìn)行運(yùn)算，就可以有效解決問(wèn)題.

再如，在整式的乘法中，多項(xiàng)式的乘法要利用分配律轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘法，而單項(xiàng)式的乘法又要利用交換律和結(jié)合律轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算，各種式（整式、分式、二次根式）的運(yùn)算都是在用運(yùn)算律進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換. 講清楚這樣的本質(zhì)對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)整體觀念非常重要.

三、“數(shù)”“式”統(tǒng)一，建立初步的代數(shù)觀念

代數(shù)的基本精神就是靈活運(yùn)用運(yùn)算律去謀求問(wèn)題的統(tǒng)一解法. 例如，有理數(shù)運(yùn)算的關(guān)鍵在于弄懂算理，理解數(shù)的運(yùn)算過(guò)程的實(shí)質(zhì);多項(xiàng)式的運(yùn)算性質(zhì)是數(shù)式通性最為直接的發(fā)展. 抓住數(shù)式通性也就抓住了從算術(shù)到代數(shù)過(guò)渡的樞紐.

我們知道，有理數(shù)運(yùn)算是整個(gè)代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，對(duì)有理數(shù)的研究過(guò)程（數(shù)?運(yùn)算和逆運(yùn)算?運(yùn)算律?大小關(guān)系）提供了研究一個(gè)代數(shù)對(duì)象的基本思路. 因此，有理數(shù)的研究具有基礎(chǔ)地位和作用. 基于對(duì)有理數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)地位的認(rèn)識(shí)，教師需要邊學(xué)習(xí)邊構(gòu)建研究框架，目的不僅僅是使學(xué)生學(xué)好有理數(shù)運(yùn)算，更重要的是通過(guò)研究框架的構(gòu)建，將代數(shù)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，為式的運(yùn)算構(gòu)建基礎(chǔ). 有理數(shù)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)如圖1所示.

站在整體視角看式的學(xué)習(xí)，“式”與“數(shù)”在研究結(jié)構(gòu)上是一致的. 從“數(shù)”拓展到“式”，盡管運(yùn)算對(duì)象發(fā)生了變化，但是研究結(jié)構(gòu)并沒(méi)有發(fā)生實(shí)質(zhì)性的變化. 概念和運(yùn)算是兩個(gè)主要研究的板塊，加、減、乘、除是基本運(yùn)算，利用相反數(shù)將減法統(tǒng)一成加法，利用倒數(shù)將除法統(tǒng)一成乘法，其根本都是運(yùn)用了逆運(yùn)算，這與數(shù)的研究也是一致的.“式”的研究結(jié)構(gòu)如圖2所示.

從數(shù)式通性的角度看，從數(shù)的運(yùn)算擴(kuò)展到“式”的運(yùn)算，之所以研究結(jié)構(gòu)沒(méi)有發(fā)生根本變化，因?yàn)椤笆健迸c“數(shù)”的研究結(jié)構(gòu)是高度抽象后的統(tǒng)一.《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》一書(shū)中也指出，從長(zhǎng)期看來(lái)，數(shù)學(xué)家慢慢放松“數(shù)”或“量”這些模糊的概念，而緊緊抓住代數(shù)結(jié)構(gòu)這個(gè)比較形式的概念，到頭來(lái)，每個(gè)數(shù)系無(wú)非就是可以在其上運(yùn)行的實(shí)體的集合. 基于以上對(duì)比，將數(shù)與式的研究結(jié)構(gòu)統(tǒng)一，如圖3所示.

四、用好數(shù)式通性，發(fā)展學(xué)生的能力

1. 發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，運(yùn)算的過(guò)程是演繹推理的過(guò)程. 式的運(yùn)算能力是初中階段需要發(fā)展的重要運(yùn)算能力，培養(yǎng)式的運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題. 與數(shù)的運(yùn)算一致，式的運(yùn)算技能的落實(shí)需要在闡明原理的基礎(chǔ)上規(guī)范思考、形成解決問(wèn)題的基本步驟. 從能力培養(yǎng)層面看，步驟化操作中蘊(yùn)含著運(yùn)算技能的培養(yǎng)：運(yùn)算對(duì)象的認(rèn)識(shí)（如明確觀察式子，劃出同類項(xiàng)等）—運(yùn)算方法的認(rèn)識(shí)（如用運(yùn)算律進(jìn)行項(xiàng)的交換、結(jié)合等）—按步驟進(jìn)行操作（得到運(yùn)算結(jié)果）—形成自動(dòng)化（思維和能力的提升）. 這樣，學(xué)生面對(duì)一串算式，就能夠明確每一步需要做什么，流暢的運(yùn)算是對(duì)概念的進(jìn)一步鞏固，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的落實(shí)，是對(duì)思維的邏輯性的有益訓(xùn)練，使解決問(wèn)題的過(guò)程更加有序. 從更高層次看，這是數(shù)式通性的更高水平的體現(xiàn). 項(xiàng)武義先生在《基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)》中指出，在各種各樣的代數(shù)問(wèn)題中，我們總是運(yùn)用各種代數(shù)運(yùn)算（如加法、乘法等）來(lái)分析量與量之間的關(guān)系，系統(tǒng)、有效地分析代數(shù)問(wèn)題中的量. 由于我們常用的數(shù)系運(yùn)算律對(duì)于所有數(shù)字皆普遍成立，所以其做法都可以廣泛地應(yīng)用到任何一個(gè)只需用到那些數(shù)系運(yùn)算律的代數(shù)系統(tǒng)（即可以假設(shè)所處理的符號(hào)滿足數(shù)系通性）. 初中所學(xué)的多項(xiàng)式代數(shù)就是上述做法的一個(gè)典型例子.

2. 培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力

整式的運(yùn)算能力只是式的運(yùn)算的起點(diǎn)，學(xué)生在整式學(xué)習(xí)中所獲得的用數(shù)式通性研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)的遷移是更為重要的能力. 例如，在后續(xù)分式的學(xué)習(xí)中，數(shù)式通性同樣發(fā)揮著重要作用. 分?jǐn)?shù)與分式是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系，分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則，是從分?jǐn)?shù)的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則中經(jīng)過(guò)再抽象而產(chǎn)生的，根據(jù)這種關(guān)系，兩者具有一致性，也可以說(shuō)是數(shù)式通性. 因此，就可以確定分式單元從研究框架到具體研究過(guò)程，都是高度類比分?jǐn)?shù)的研究完成的. 數(shù)式通性依然是自然、合情、合理地實(shí)現(xiàn)從分?jǐn)?shù)向分式過(guò)渡的方法，整式的研究為其提供可借鑒、可類比的重要經(jīng)驗(yàn).

基于已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)去認(rèn)識(shí)新的研究對(duì)象，學(xué)生的認(rèn)知不會(huì)產(chǎn)生斷層. 從心理學(xué)角度看，數(shù)式通性實(shí)質(zhì)上是數(shù)的運(yùn)算遷移或順應(yīng)，這種遷移既包括研究框架的遷移，也包括運(yùn)算法則和運(yùn)算律的繼承. 現(xiàn)代心理學(xué)關(guān)于遷移現(xiàn)象的研究表明，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)、技能和要領(lǐng)掌握得牢固，且又善于分析思辨，那么所學(xué)的知識(shí)、技能和概念會(huì)對(duì)另一種知識(shí)、技能、概念產(chǎn)生有益的影響和推動(dòng)，這是學(xué)習(xí)的正遷移. 在教學(xué)中，有效利用正遷移的規(guī)律，有利于學(xué)生舉一反三、觸類旁通，發(fā)現(xiàn)“式”的研究方法.

3. 培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的方式

從更高的視角看，人的學(xué)習(xí)能力是不斷發(fā)展完善的，用好數(shù)式通性統(tǒng)一代數(shù)問(wèn)題的解決方式的過(guò)程，也是一種經(jīng)驗(yàn)的積累，有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)方法與思想，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問(wèn)題，把握事物之間的關(guān)聯(lián)和發(fā)展脈絡(luò)，形成合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，從而為其他知識(shí)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗(yàn)，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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