宋春 劉金英 趙國華

摘? 要：網(wǎng)格中的幾何作圖問題是近幾年中考天津卷探索的新題型，具有立意新穎、綜合性強(qiáng)、思維含量高等特點(diǎn)，能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 文章以2020年中考天津卷第18題為載體，透過學(xué)生熟知的幾何模型，尋源頭、探解法，反思其中蘊(yùn)含的道理.

關(guān)鍵詞：網(wǎng)格作圖;解法研究;尺規(guī)作圖;圖形變換

2020年中考天津卷第18題是一道有關(guān)無刻度直尺的網(wǎng)格作圖題，是一道創(chuàng)新題，思維含量高，靈活性強(qiáng)，區(qū)分度較高. 此題既考查了學(xué)生利用網(wǎng)格構(gòu)圖、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，又考查了點(diǎn)的位置的確定方法. 同時(shí)，有效地考查了學(xué)生理解數(shù)學(xué)語言，并準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表述作圖過程的能力.

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2020年天津卷）如圖1，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，[△ABC]的頂點(diǎn)[A，C]均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)[B]在網(wǎng)格線上，且[AB=53].

（1）線段[AC]的長等于________ ;

（2）以[BC]為直徑的半圓與邊[AC]相交于點(diǎn)[D，] 若點(diǎn)[P，Q]分別為邊[AC，BC]上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)[BP+PQ]取得最小值時(shí)，試用無刻度的直尺，在如圖1所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)[P，Q，] 并簡要說明點(diǎn)[P，Q]的位置是如何找到的（不要求證明）________ .

此題體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)作圖的要求：在尺規(guī)作圖中，了解作圖的原理，保留作圖的痕跡. 同時(shí)，考查了學(xué)生通過網(wǎng)格綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于“綜合與實(shí)踐”的范疇. 試題雖小，卻蘊(yùn)涵著較高的思維內(nèi)涵和深入研究的價(jià)值，為后續(xù)教學(xué)中教師的教和學(xué)生的學(xué)提供了極好的素材.

網(wǎng)格作圖問題承載著幾何直觀能力、發(fā)現(xiàn)與探究能力、邏輯推理與合情推理能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力等，同時(shí)，蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想，是中考命題的熱點(diǎn)之一.

網(wǎng)格作圖問題有以下優(yōu)點(diǎn)：第一，有利于考查圖形與變換的性質(zhì);第二，有利于考查圖形與直觀;第三，有利于考查學(xué)生的綜合與實(shí)踐能力;第四，有利于考查學(xué)生的逆向思維能力;第五，有利于命題者打磨出精品試題;第六，有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在網(wǎng)格問題中的落地.

二、試題研究

1. 探解法，變換角度尋路徑

第（1）小題，通過勾股定理即可求出線段AC的長. 第（2）小題是“單定點(diǎn) + 雙動(dòng)點(diǎn)”借助網(wǎng)格作線段長之和最小的問題. 通過作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)[B′，] 再過點(diǎn)[B]作BC的垂線，且與AC的交點(diǎn)為P，垂足為點(diǎn)Q，即可找到點(diǎn)P，Q的位置. 解決問題的工具限定用無刻度的直尺，借助網(wǎng)格完成作圖，同時(shí)增加了半圓的背景，進(jìn)一步提升了作圖方法的多樣性、靈活性、可操作性等.

第（1）小題中， 求得[AC=13.] 第（2）小題的作法與分析如下.

作法1：借助網(wǎng)格作線段長之和最小的問題.

如圖2，取格點(diǎn)[A′，C′，] 連接[A′C′，] 連接BD并延長，與[A′C′]相交于點(diǎn)[B′;] 連接[B′C，] 與半圓相交于點(diǎn)E，連接BE，與AC相交于點(diǎn)P，連接[BP]并延長，與BC相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P，Q即為所求.

限于篇幅，現(xiàn)僅對(duì)第（2）小題中作出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)[B]的作法加以推介，之后的步驟同作法1.

作法2：借助平行線分線段成比例定理作對(duì)稱點(diǎn).

分析：連接BD. 因?yàn)锽C為半圓的直徑，所以[BD⊥AC.] 要作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)[B′，] 只需在BD的延長線上截取[DB′=DB]即可.

如圖3，取格點(diǎn)[A′，C′，] 連接[A′C′，BC′，] 連接BD并延長，與[A′C′]相交于點(diǎn)[B.] 線段[AC]與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)[B，] 點(diǎn)[B]恰好在線段[BC]上，且[BB=BC.] 因?yàn)閇AC∥AC]，則點(diǎn)[B]是點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn).

類似地，如圖4，在網(wǎng)格線上作出[AM=CN=53，] 來確定點(diǎn)[B]的位置.

或者，如圖5，在網(wǎng)格線上作出[MM=23，] 易證[MM∶MN=2∶3.] 連接BD并延長，與直線MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

或者，如圖6，過點(diǎn)B作水平線[BN，] 與AC相交于點(diǎn)K，易得[BK=KN=52，] [GF=13.] 取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF并延長與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)[N，] 易證[GC∶GN=][2∶3.] 易得[NC∥AC.] 連接BD并延長，與[NC]的延長線的交點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

作法3：構(gòu)造角平分線作軸對(duì)稱點(diǎn).

分析：由于角平分線所在直線是角的對(duì)稱軸，如圖7，只需作[∠3=∠1.] 因?yàn)閇∠1=∠2，] 所以[∠2=∠3.] 所以[KA=][KC.] 又因?yàn)閇OA=][OC，] 所以[∠COK=90°.] 由圖7易證[△CON∽][CKO，] 可得[NK=ON2CN=94.] 所以[KH=14.]

如圖7，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交網(wǎng)格線于點(diǎn)K. 連接BD并延長，與AK相交的點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

類似地，如圖8，[OK]的延長線交網(wǎng)格線于點(diǎn)[K，] 易得[KK=12.] 從而得到[∠2=∠3.]

如圖8，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FE并延長，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)[K，] AC與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)[O，] 連接[OK]，交[CK]于點(diǎn)K. 連接BD并延長與AK相交的點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

或者，如圖9，只需作[∠2=∠1，] 點(diǎn)[O]在[OK]上，易得[∠2=∠3.] 所以[∠3=∠1.] 于是，作[AH∥BC]即可.

如圖9，取格點(diǎn)F，G，M，連接FG交網(wǎng)格線于點(diǎn)H，連接GM并延長與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)[K，] 連接[OK]交AH于點(diǎn)[O.] 連接[CO]，連接BD并延長，與[CO]的延長線的交點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

作法4：通過雙軸對(duì)稱作對(duì)稱點(diǎn).

如圖10，先作點(diǎn)W關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)I，再作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)[B.]

如圖10，取格點(diǎn)W，[W，A，C，] 連接[WW，AC，] 交點(diǎn)為點(diǎn)I，連接AI，連接BD并延長，其與AI的交點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

類似地，如圖11，先作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)[E，] 再作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)[B.]

如圖11，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，[A，C，] 連接[EF，AC，] 交點(diǎn)為點(diǎn)[E]，連接[AE，] 連接BD并延長，與[AE]的延長線交點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

作法5：先算后作新發(fā)現(xiàn).

如圖12，在圖10的基礎(chǔ)上，AC為線段WI的中垂線. 過點(diǎn)I作[IH⊥WC]于點(diǎn)H，易求得[AC=13，] [CE=][91313，] [WE=61313，] [WI=121313.] 利用等面積法，可得[IH=3613.] 由勾股定理，可得[WH=2413，] [HC=1513.] 所以[tan∠HCI=][125.] 因?yàn)?A，W，C，I四點(diǎn)共圓，可得[∠IAA=][∠HCI.] 所以[tan∠IAA=125.]

因此，在圖13中，[tan∠NAN=125，] 易得[NN=25.] 則射線AN與射線AB關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱.

如圖13，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)N，連接AN，連接BD并延長，與AN相交的點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

作法6：脫離半圓作軸對(duì)稱點(diǎn).

如圖14，利用網(wǎng)格作[NN=25，] 再作[AB=AB=53.]在[Rt△ANN]中，易求得[AN=135， ABAN=2539，] 則[ABBN=][2514，] 于是，作出[AI=52， NJ=75]即可確定點(diǎn)[B]的位置.

如圖14，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接[EF，] 與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G;取格點(diǎn)H，連接HG，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)N;取格點(diǎn)[N，] M，J，連接[NM，] 與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接IJ，與AN的交點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

作法7：借助平移作對(duì)稱點(diǎn).

如圖15，先作點(diǎn)W關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)I，直線AC是WI的垂直平分線，再過點(diǎn)B作WI的平行線，即可確定點(diǎn)[B.]

如圖15，取格點(diǎn)[A，C，W，W，B，] 連接[AC，][WW，AB，AC]與[WW]相交于點(diǎn)I，[AB]與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)[B，]連接[BB，] 與AI的交點(diǎn)即為點(diǎn)[B.]

作法8：用解析法求特殊點(diǎn)的坐標(biāo).

如圖16，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)A[0，0，] 點(diǎn)B[0，-53，] 點(diǎn)C[3，-2.] 則可得直線AC的解析式為[y=-23x，] 直線BD的解析式為[y=][32x-53.]

如圖16，點(diǎn)D是直線AC與直線BD的交點(diǎn)，易求得點(diǎn)[D1013，-2039，] 點(diǎn)[B][2013， 2539.] 則直線[AB]的解析式為[y=512x.] 易得點(diǎn)N[125，1，] 點(diǎn)K[3， 54，] 點(diǎn)[B][2， 43.]

直線[AB，BB]與網(wǎng)格線的交點(diǎn)易于找到，這種方法雖然計(jì)算量大，但點(diǎn)的位置確定準(zhǔn)確.

綜合以上作法，突出了幾何變換在網(wǎng)格問題中的作用. 在網(wǎng)格中，要確定一個(gè)點(diǎn)，需要確定兩條直線的位置，依托于全等、相似、線與線的相對(duì)位置、圖形的基本性質(zhì)等，讓學(xué)生有“抓手”，會(huì)利用網(wǎng)格作垂直、平行，構(gòu)造相似與全等，將單位長度的線段n等分. 試題增加了圓的背景，使問題更靈活、方法更多樣、思維空間更廣闊，更能考查學(xué)生綜合解決問題的能力. 作法8突出了網(wǎng)格的坐標(biāo)功能，適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系，利用直線的解析式求出特殊點(diǎn)的坐標(biāo). 代數(shù)方法與幾何方法各有千秋，相互依托.

2. 懸空點(diǎn)平移，另辟蹊徑

因?yàn)辄c(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)[B]的位置在格點(diǎn)內(nèi)部，無法借助網(wǎng)格直接構(gòu)造垂線，所以確定點(diǎn)Q的位置難度較大. 轉(zhuǎn)化方法很關(guān)鍵，需要兩個(gè)易于確定位置的點(diǎn)，確定直線的位置. 此題還可以將點(diǎn)[B]平移，找到過點(diǎn)[B]的兩條線段.

如圖17，將與點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)[B]相關(guān)的點(diǎn)[A，K，A，T]均向下平移3個(gè)單位長度，再向左平移[13]個(gè)單位長度得到[A，K，A，T，] 連接[AK，][ AT]，相交于點(diǎn)H，連接[BH]分別與AC，BC相交于點(diǎn)P，Q.

三、進(jìn)一步思考

1. 網(wǎng)格可以提供解決幾何問題的多種途徑

在網(wǎng)格背景下研究平面圖形. 一方面，保留了圖形自身的幾何特性;另一方面，網(wǎng)格自身的位置及數(shù)量的特殊性，賦予了圖形一些特殊關(guān)系，進(jìn)而使圖形的一般幾何性質(zhì)得以特殊化和數(shù)量化. 網(wǎng)格作圖給學(xué)生提供了多角度探究問題的方法，由于構(gòu)圖時(shí)可以選用網(wǎng)格中的特殊點(diǎn)，為學(xué)生拓展、創(chuàng)新搭建了平臺(tái)，進(jìn)而可以通過圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、翻折、位似變換來構(gòu)圖，也可以先作后證，還可以根據(jù)圖形的特點(diǎn)及運(yùn)算的需要，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，用解析法確定點(diǎn)的位置、直線的位置等.

2. 網(wǎng)格可以考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的綜合能力

在知識(shí)層面上，此題主要考查了勾股定理、成比例線段、相似三角形、全等三角形、垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等;在技能層面上，主要考查了學(xué)生的計(jì)算能力、作圖能力和推理能力，其核心是構(gòu)造全等三角形，作出平行和垂直;在基本思想方法上，主要考查了數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、化歸思想、函數(shù)思想等.

3. 網(wǎng)格可以搭建培養(yǎng)創(chuàng)新思維的廣闊舞臺(tái)

在解題探究的過程中，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律和方法、積累解題經(jīng)驗(yàn)、回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于提高學(xué)生的解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 波利亞曾說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題. 筆者認(rèn)為，解題素養(yǎng)源于數(shù)學(xué)素養(yǎng)，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 本文中的多種解法都源自于一個(gè)簡單的道理借助點(diǎn)共線可以確定線的位置，借助線共點(diǎn)可以確定點(diǎn)的位置，可以簡化成兩點(diǎn)定一線、兩線定一點(diǎn)、點(diǎn)線同源. 道理是極其簡單的，簡單是厚積薄發(fā)的力量，學(xué)會(huì)了簡單，其實(shí)不簡單.

參考文獻(xiàn)：

[1]宋春，劉金英，趙國華. 小網(wǎng)格? 大舞臺(tái)：以2018年天津市中考網(wǎng)格作圖題的研究為例[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2018（10）：43-46.

[2]劉金英，顧洪敏，李興梅. 求真·求實(shí)·求發(fā)展：談2015年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（1 / 2）：5-23.

收稿日期：2020-08-03

作者簡介：宋春（1969— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)及中考命題研究.