劉志昂 陸一

摘? 要：函數(shù)背景下的幾何圖形問題，是代數(shù)與幾何知識(shí)的深度融合，是數(shù)形結(jié)合的典型代表之一. 文章以“一次函數(shù)背景下的三角形面積”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)為例，統(tǒng)整一次函數(shù)和三角形面積的核心內(nèi)容，揭示相關(guān)知識(shí)間的邏輯關(guān)系，以及蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，豐富知識(shí)體系. 重視對(duì)學(xué)生“四基”“四能”的培養(yǎng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

關(guān)鍵詞：學(xué)科統(tǒng)整;核心內(nèi)容;核心素養(yǎng)

我校陸一老師開設(shè)的公開課“一次函數(shù)背景下的三角形面積”收到了很好的效果，受到了聽課教師的一致好評(píng). 整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)統(tǒng)整了一次函數(shù)及其性質(zhì)和三角形的面積、圖形變換等核心內(nèi)容，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體、以能力培養(yǎng)為目標(biāo)，很好地落實(shí)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

一、教學(xué)過程與點(diǎn)評(píng)

例1? 一次函數(shù)y = 2x - 4的圖象如圖1所示，求△OAB的面積.

問題1：三角形的面積公式是什么？△OAB是什么三角形？它的底和高分別是什么？如何求OA和OB的長？如何求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)？

【評(píng)析】此例從三角形的面積公式入手設(shè)置問題鏈，從要解決的問題△OAB的面積出發(fā)，采用“分析法”一路追問下去，到達(dá)最基本的問題——求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo). 而在解決問題的過程中，則是先運(yùn)用方程思想求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出OA，OB的長，然后運(yùn)用三角形的面積公式求解.

此例的設(shè)計(jì)，復(fù)習(xí)了三角形的面積公式、一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離. 充分運(yùn)用一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，將一個(gè)幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

在此基礎(chǔ)上，又介紹了基本的分析問題的方法——分析綜合法，同時(shí)還滲透了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法，為后續(xù)問題的解決提供了最基本的范例.

例2? 如圖2，將圖1中的直線y = 2x - 4圍繞著點(diǎn)A按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交y軸于點(diǎn)[C0，2.]

問題2：圖2中有幾個(gè)三角形？它們可以如何分類？面積分別是多少？

【評(píng)析】學(xué)生很容易就看出圖2中有三個(gè)三角形. 教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行分類：△OAB和△OAC是同一類三角形，都是一條直線與兩坐標(biāo)軸相交所形成的三角形，都可以用上面的方法來解決;△ABC是兩條直線與一條坐標(biāo)軸圍成的三角形. △ABC的面積有兩種求解方法：第一種方法是根據(jù)三角形的面積公式，得[S△ABC=1/2BC · OA];第二種方法是根據(jù)圖形之間的位置關(guān)系，得到三角形面積之間的數(shù)量關(guān)系，即[S△ABC=][S△OAB+S△OAC.]

此例的設(shè)計(jì)建立在例1的基礎(chǔ)上，將函數(shù)圖象進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，解決問題的方法也有其內(nèi)在的聯(lián)系，即用例1的方法直接解決，或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)例1中的三角形來解決. 這樣的設(shè)計(jì)，既考慮到知識(shí)之間的聯(lián)系，又關(guān)注到方法之間的轉(zhuǎn)化和遷移，同時(shí)還滲透了因構(gòu)成直線不同的三角形的分類討論及一題多解.

例3? 如圖3，將圖2中的直線AC沿著x軸的方向向左平移3個(gè)單位，分別交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E.

問題3：圖3的三角形中，哪些與前面的三角形不同？它們的面積分別是多少？其面積的求法與前面的三角形有沒有共性？

【評(píng)析】此例題是在例2的基礎(chǔ)上，通過一次函數(shù)圖象的平移變換，構(gòu)造出不同的三角形. 依然是借助坐標(biāo)軸，運(yùn)用三角形的面積公式來解決問題，在運(yùn)用待定系數(shù)法求兩條直線交點(diǎn)F的坐標(biāo)時(shí)，滲透了方程思想.

問題3的提出，揭示了其解決問題的方法與前面是有聯(lián)系的. 也就是說，前面問題的解決，既積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又為后面問題的解決提供了范例;既傳授了知識(shí)，又關(guān)注了基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累. 這同時(shí)也是一個(gè)逐漸一般化的過程，也就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程.

例4? 如圖4，將圖3中的y軸向右平移4個(gè)單位長度，分別與原來的兩條直線交于點(diǎn)G和點(diǎn)H.

問題4：是否存在與圖3中不同的三角形？如何求它們的面積？

【評(píng)析】此例再次通過平移變換得到不同的三角形，而求三角形面積的方法，則由借助坐標(biāo)軸變成了借助與坐標(biāo)軸平行的直線. 顯然，雖然研究對(duì)象在變，但是研究的思想方法沒有改變，這也是思想方法的螺旋式上升. 既是知識(shí)的遷移，更是思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移，很好地貫徹了“以知識(shí)為載體，以能力為目標(biāo)”的教學(xué)理念.

例5? 如圖5，將圖4中的直線GH圍繞著點(diǎn)H按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與直線AB交于點(diǎn)M，已知點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，求△FHM的面積.

問題5：這個(gè)三角形的構(gòu)成與前面的三角形是否一樣？如何求其面積？在解決這些問題的過程中，你有哪些感悟和體會(huì)？

【評(píng)析】通過旋轉(zhuǎn)變換得到的△FHM與前面學(xué)習(xí)的所有的三角形都有著本質(zhì)的區(qū)別，就其位置與形狀來說，是一個(gè)很具一般性的三角形. 雖然其面積的求解方法不唯一，但無論是“補(bǔ)”（分別過點(diǎn)M，H作x軸的平行線，過F，H作y軸的平行線，構(gòu)造出矩形，然后用矩形的面積減去周邊三個(gè)三角形的面積），還是“割”（過點(diǎn)M作y軸的平行線，或過點(diǎn)F作x軸的平行線，構(gòu)造出兩個(gè)三角形，求其面積之和），都是借助與坐標(biāo)軸平行的直線來求三角形的面積. 這是對(duì)前面方法的推廣應(yīng)用，也是將此問題轉(zhuǎn)化為前面的問題來解決. 而最后的追問，則是對(duì)能力要求的提升與升華.

二、教學(xué)感悟與思考

1. 設(shè)置問題主線，統(tǒng)整核心內(nèi)容

（1）設(shè)置問題鏈，形成問題主線.

問題鏈?zhǔn)菙?shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式. 對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深化、推廣、引申、綜合，探索到新的發(fā)展規(guī)律，找到問題間新的聯(lián)系時(shí)，就是形成問題鏈的開始. 通過這種過程的不斷深化和逐步推進(jìn)而找到的，具有內(nèi)在聯(lián)系的若干問題，就形成了問題鏈.

上述整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的例題中，后一道例題總是通過將前一道例題經(jīng)過某種圖形變換而得到的，是對(duì)前一道例題的延續(xù)與提升. 這種構(gòu)造決定了它們之間內(nèi)在的邏輯關(guān)系，也體現(xiàn)了整體設(shè)計(jì)構(gòu)思之巧妙.

在每道例題中，都精心設(shè)置了一個(gè)問題鏈，而每個(gè)問題鏈之間又有著內(nèi)在的邏輯關(guān)系. 例如，問題1從要解決的問題——求三角形的面積開始，逐步追問，最終指向求一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，揭示了知識(shí)之間的交叉聯(lián)系，這是一種引申問題鏈.

從例1到例5，所要求的三角形面積，從一條直線與兩條坐標(biāo)軸相交所形成的三角形（一線兩軸），到兩條直線與一條坐標(biāo)軸相交所形成的三角形（兩線一軸），再到三條直線兩兩相交所形成的三角形（三線無軸），總是從一個(gè)問題過渡到研究包含這個(gè)問題的另一個(gè)問題，這是一種推廣式問題鏈，形成了一個(gè)逐漸一般化的過程.

在上述問題鏈的設(shè)置過程中，形成了問題主線，旨在培養(yǎng)學(xué)生善于深入思考問題，能抓住事物的本質(zhì)規(guī)律，預(yù)見事物的發(fā)展規(guī)律，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性. 同時(shí)，又培養(yǎng)學(xué)生能夠根據(jù)條件的變化，及時(shí)調(diào)整思維方向，善于發(fā)現(xiàn)新的條件和新的因素，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性.

（2）聚焦核心內(nèi)容，開展學(xué)科統(tǒng)整.

奧蘇貝爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織，組織和重新組織的過程就是新舊知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用的過程. 執(zhí)教教師的教學(xué)設(shè)計(jì)中，以一次函數(shù)背景下三角形的面積為主線，復(fù)習(xí)了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，求一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積等知識(shí). 這些都是一次函數(shù)的核心內(nèi)容，這是一種以知識(shí)聯(lián)系為綱的統(tǒng)整. 這種以整體聯(lián)系的眼光組織、設(shè)計(jì)和處理各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，打通了學(xué)科知識(shí)內(nèi)部通道，讓學(xué)生在整體、聯(lián)系、比較中學(xué)習(xí)，從而幫助學(xué)生在頭腦中將知識(shí)“豎成線、橫成片”，形成立體、開放、整體的知識(shí)結(jié)構(gòu). 同時(shí)，這種整體把握的教學(xué)內(nèi)容對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性發(fā)展具有重要意義.

本課例的設(shè)計(jì)，一次函數(shù)背景下的三角形面積，從“一線兩軸”到“兩線一軸”，再到“三線無軸”，面積的解法間有著內(nèi)在的聯(lián)系，是一個(gè)逐漸一般化的過程. 而一般問題的解決，則需轉(zhuǎn)化為特殊問題. 這是從整體的視角設(shè)計(jì)的，整體即聯(lián)系，整體即組織，整體即整合，這是一種方法上的統(tǒng)整，避免了知識(shí)、方法和能力的碎片化，改變了單個(gè)知識(shí)、方法的識(shí)記到理解再到應(yīng)用的認(rèn)知途徑，是學(xué)科知識(shí)與學(xué)科方法、能力的有機(jī)結(jié)合.

2. 構(gòu)建解題模式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美

羅增儒教授指出，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工，會(huì)得出有長久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識(shí)地記憶下來，并做有目的的簡(jiǎn)單編碼. 當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已經(jīng)解決過的問題，以此為索引，在記憶儲(chǔ)存中提取相應(yīng)的方法加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略.

本課例從例1到例4，不僅是一個(gè)逐漸一般化的過程，在解決這些問題的過程中，也逐漸構(gòu)建了一個(gè)解決問題的模式——一次函數(shù)背景下的三角形，可以充分利用坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的直線來求其面積. 而例5則需要通過作輔助線，用“割”或者“補(bǔ)”的方法，將所求三角形轉(zhuǎn)化為上述模式中的三角形來解決，這是對(duì)上述模式的識(shí)別與應(yīng)用.

這一解題模式的構(gòu)建，為反比例函數(shù)及二次函數(shù)背景下的三角形面積問題的解決提供了思想上和方法上的范例，并且現(xiàn)在積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)同樣可以遷移到后續(xù)的問題解決中，充分體現(xiàn)了對(duì)“基本圖形的基本結(jié)論，基本思想和基本方法”這一模式的積累與應(yīng)用.

模式的構(gòu)建與識(shí)別運(yùn)用，從思考方式上看，用模式中簡(jiǎn)潔的方法去解決問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為模式來解決. 這種由淺入深的過程，體現(xiàn)了自然之美和藝術(shù)之美，在欣賞數(shù)學(xué)之美時(shí)，不應(yīng)停留在感官的刺激上，而要用理性的思考去品味. 模式識(shí)別縮短了學(xué)生的思維路徑，不僅使問題得以快速解決，還可以使學(xué)生獲得成就感，產(chǎn)生滿足感，這本身就是一種美的享受. 法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為，數(shù)學(xué)的優(yōu)美感，不過是問題的解答適應(yīng)我們心靈需要而產(chǎn)生的滿足感.

3. 重視“四基”“四能”，落實(shí)核心素養(yǎng)

章建躍博士認(rèn)為，學(xué)生要理解知識(shí)，掌握技能，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想;積累數(shù)學(xué)思維和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，提升與發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

本課例注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，關(guān)注所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，找準(zhǔn)生長點(diǎn)與延伸點(diǎn)，很好地處理了局部知識(shí)與整體知識(shí)之間的關(guān)系，把整節(jié)課的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，在構(gòu)造的各種不同情境下求三角形的面積，促使學(xué)生理解解決問題的程序與步驟，增強(qiáng)對(duì)基本技能的訓(xùn)練.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括. 本課例的設(shè)計(jì)，學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，逐步感悟數(shù)學(xué)思想. 其中積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不僅有助于例4和例5的解決，而且有助于對(duì)反比例函數(shù)和二次函數(shù)背景下幾何圖形面積問題的解決，這是一種在“做”和“思考”的過程中的積淀. 最終的目標(biāo)聚焦在理性思維上，使學(xué)生學(xué)會(huì)有結(jié)構(gòu)、有邏輯地思考，而不是胡思亂想.

從例1到例5，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生有層次地認(rèn)識(shí)圖形及其關(guān)系，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)有邏輯地思考. 這種循序漸進(jìn)、拾級(jí)而上的過程與方法是數(shù)學(xué)育人的力量所在，是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體.

對(duì)于單元專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與教學(xué)，教師應(yīng)在設(shè)計(jì)中統(tǒng)整核心內(nèi)容、構(gòu)建解題模式，在教學(xué)中落實(shí)“四基”“四能”，滲透數(shù)學(xué)之美，方可更好地落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

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收稿日期：2020-08-11

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)自籌課題——初中生認(rèn)知能力發(fā)展的學(xué)科統(tǒng)整研究（E-b/2018/13）.

作者簡(jiǎn)介：劉志昂（1968— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.