陳算榮 顧秋丹

摘? 要：以一節(jié)公開教學課例“圖形的平移”中的兩個關鍵教學事件為例，運用切片分析法，提取典型的教學行為片斷加以診斷，從而發(fā)現教師在落實數學抽象和邏輯推理素養(yǎng)的教學中存在“有形無實”和“有實缺據”的典型問題. 究其根本，在于教師沒有抓住數學抽象思維的本質，對不同推理形式的內涵亦把握不到位.

關鍵詞：數學抽象;邏輯推理;圖形的平移;切片分析

數學學科核心素養(yǎng)既是育人價值的集中體現，也是數學課程目標的集中體現. 數學抽象和邏輯推理為《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）中六大核心素養(yǎng)的前兩項. 其中，數學抽象被喻為“數學眼光”，邏輯推理被喻為“數學思維”，可見其基礎性和重要性. 然而，學生的數學抽象和邏輯推理素養(yǎng)的形成和發(fā)展不是一朝一夕的事情，需要教師在各個階段逐步加以滲透和培養(yǎng)，甚至需要教師抓住每個教學事件加以認真設計，實現核心素養(yǎng)的有效落實.

順應《標準》中落實數學學科核心素養(yǎng)的教學要求，許多教師對此有了良好的認識和實踐行動，但受限于個體對體現落實數學學科核心素養(yǎng)的教學設計的認知水平和具體實施能力，在真實的課堂教學中，還存在著諸多問題. 問題存在于哪里？造成這些問題的根源是什么？答案的尋找應該指向對真實課堂的觀察，通過號脈課堂中一些關鍵的教學事件，達成問題的解答. 本研究以某國際交流會議中開設的“圖形的平移”的公開教學課為例，運用教學切片分析法，以錄像觀察與現場觀察相結合、定性與定量相結合的視頻分析方式，選取課堂中的教學關鍵事件，提取典型的教學行為片斷，依據教學理論和研究者的教學經驗加以診斷和評價，找出問題和問題的根源.

一、課例選取

本研究課例主要選取概念探究和性質探究兩個教學關鍵事件進行分析.

事件1：概念探究教學.

執(zhí)教教師將概念探究部分分為直觀感知和抽象歸納兩個環(huán)節(jié). 首先，執(zhí)教教師在上課的開始依次播放2008年北京奧運會上冉冉升起的五星紅旗、左右移動的窗戶、乘坐扶梯的人的視頻，同時引導學生觀察并描述這些物體是如何運動的，目的是引導學生直觀感知. 學生的觀察和描述活動結束后，執(zhí)教教師指出如果把生活中的物體抽象為數學中一些平面幾何圖形，那么這些物體的運動就可看成平面圖形的運動，并把這類運動稱為“圖形的平移”，由此引出課題. 接下來，進入抽象歸納定義的教學環(huán)節(jié)，教學片斷如下.

師：誰來說說看，什么是圖形的平移？

生1：我覺得圖形的平移是指這個物體移動時，物體的所有部分都移動同樣的距離，方向和位置也是一樣的.

師：生1在說“物體”，我們來看看，圖形的平移是不是也是這樣？誰能進行補充？

生2：圖形的平移就是圖形按照一定的方向和距離移動.

師：非常好！老師來概括一下，平面內的圖形沿著一定的方向移動一定的距離，這樣的圖形運動就叫做圖形的平移.

事件2：性質探究教學.

執(zhí)教教師在完成圖形的平移，以及對應點、對應線段、對應角、圖形平移的距離和圖形平移的方向等概念的教學后，給出如下操作任務：要求學生在小組內分工合作測量平移前后兩個三角形之間對應點連線、對應線段、對應角之間的數量關系，并給予學生比較充足的時間進行操作，而后進入互動環(huán)節(jié)，請生3回答測量結果. 互動結束后，為了探究對應點連線之間的位置關系，執(zhí)教教師提出問題“除了大小關系，它們還有怎樣的位置關系？”而后進行了如下的師生對話.

生4：我發(fā)現它們是互相平行的.

師：除了互相平行，還有沒有其他可能呢？給出兩個對應點，你們發(fā)現它們的位置還有可能會出現什么樣的情況呢？

在執(zhí)教教師與4名學生進行了10余個一問一答式的“糾纏”，以及非常明顯的手勢暗示之下，教師才得到了關于圖形平移后對應點連線完整的位置關系表述.

二、問題診斷

1. 數學抽象素養(yǎng)的落實有形無實

數學抽象素養(yǎng)是指個體根據已有經驗，在具體情境中對數量關系與空間形式所反映出的一般規(guī)律和特征運用簡潔、嚴謹的語言加以表述的意識和能力. 在數學課堂教學中，數學抽象思維的運用普遍存在于概念、定理和公式的教學中，教師不僅應該創(chuàng)設讓學生進行抽象思維的活動空間，而且應該引導學生正確地進行抽象思維. 而在上述課例的概念探究教學事件中，執(zhí)教教師在進行抽象歸納定義時，對數學抽象素養(yǎng)的落實空有其表、有形無實，具體分析如下.

切片分析1：教師引導學生抽象歸納定義的第一個問題是：“誰來說說看，什么是圖形的平移？”首先，該問題不具有啟發(fā)性，因為初中學生對如何下定義的經驗不足;其次，執(zhí)教教師提問后留給學生思考的時間過短，學生的抽象思維活動得不到保障.

切片分析2：執(zhí)教教師面對生1的回答，回應點落在了“物體”上，意思是學生的抽象歸納問題在于把“圖形”說成了“物體”，但其實這可能只是學生的口誤，后續(xù)教學活動中常常有學生把“圖形”說成“物體”，教師無意間也會這樣表述. 雖然這一點需要指出來，但是執(zhí)教教師應該聚焦到學生抽象歸納的主體表述是否指向實質. 生1的回答體現了其抽象思維的偏離，即其不是對前面直觀感知中不同平面圖形平移運動共同特征的抽象歸納，而是對某一物體（圖形）在運動過程中各點運動距離的等值性描述.

切片分析3：對于生2接近教材定義的回答，執(zhí)教教師沒有挖掘其中緣由，而只是進行“非常好”的簡單回應. 其實，學生表述背后的原因有兩種可能：第一種是生2的確經歷了一個從具體到抽象的思維過程，并且表述比較準確;第二種是生2參考了教材的定義進行表述，其本身并沒有經歷抽象概括的思維過程. 無論是哪一種情況，執(zhí)教教師都沒有采取措施暴露學生的思維過程，促進數學抽象素養(yǎng)在課堂中的落實.

2. 邏輯推理素養(yǎng)的落實有實缺據

邏輯推理素養(yǎng)是指個體運用所學知識，從一些事實和命題出發(fā)，依據規(guī)則推出其他命題的意識和能力，邏輯推理通常包括從特殊到一般的合情推理，以及從一般到特殊的演繹推理這兩種形式.《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，邏輯推理能力的培養(yǎng)應貫穿于整個數學學習過程中. 其中，合情推理作為探索思路、提出猜想、創(chuàng)造性地發(fā)現結論的一種重要方法，在數學概念、命題、法則、性質，以及問題解決等的探究性學習中扮演著重要的角色. 歸納和類比是合情推理的兩種主要形式，歸納推理又分為完全歸納推理和不完全歸納推理. 一線教師只有正確把握這些推理形式的內涵，才能科學合理地創(chuàng)設發(fā)展學生合情推理能力的教學情境. 而在上述“圖形的平移”課例的性質探究教學事件中，教師試圖引導學生運用不完全歸納法探究圖形平移的性質，從中滲透邏輯推理素養(yǎng)，然而由于教學活動設置的不合理，致使邏輯推理素養(yǎng)的落實有實缺據，具體分析如下.

切片分析4：在性質探究教學中，執(zhí)教教師創(chuàng)設了一個操作情境試圖讓學生從兩個三角形平移前后對應點連線、對應線段、對應角之間的數量關系歸納得出任意的兩個平面圖形平移前后也具有此性質. 的確，學生經歷了從特殊到一般的真實過程. 但是，執(zhí)教教師沒有意識到不完全歸納的內涵是根據某類事物部分對象具有某種屬性，從而推出該類事物都具有某種屬性的結論. 由此，從特殊到一般或從具體到抽象的歸納應該建立在多個具體對象的基礎上，否則缺乏歸納推理的基礎，即一定量的合理的證據. 而此操作設計的從特殊到一般不是由部分合情推理到整體，而是由一個事例來推理整體，這將潛移默化地給學生傳達一個錯誤的不完全歸納概念，存在設計的科學性問題. 長此以往，學生就會形成一個對不完全歸納的錯誤認知.

切片分析5：與生3的互動結束后，在探究對應點連線之間的位置關系上，從課堂觀察來看，教師與后面4名學生的互動進入了一個“擠牙膏”式的對話過程，尤其是得出“對應點的連線有可能在同一直線上”的過程，教師費了好大的力氣. 為何對于位置關系的歸納如此吃力？原因有兩個：第一，操作設計中只設計了讓學生考察數量關系的問題，學生沒有在操作過程中觀察、思考位置關系的活動基礎;第二，執(zhí)教教師設計的問題中，沒有創(chuàng)設對應點連線可能在同一條直線上的觀察情境. 歸根結底，這個歸納推理的過程同樣缺少一定量的合理的依據.

三、改進建議

1. 概念探究教學重建

針對概念探究教學事件中存在的問題，可以從最初的問題設計上加以解決，也可以以學生的回答為突破口加以追問，此處提供兩種解決方式下的教學設計重構.

重構方案1：改變最初的問題設計，將問題具體化. 教學活動預設如下.

教師活動：教師通過如下提問啟發(fā)學生的思考方向——我們剛才分別描述了2008年北京奧運會上冉冉升起的五星紅旗、左右移動的窗戶、乘坐扶梯的人等物體（已抽象為平面圖形）的平移運動特征，這些特征反映了什么共性？能否依據共性用簡潔的語言給圖形的平移下定義呢？大家以小組為單位進行討論，嘗試下定義.

學生活動：學生在問題的啟發(fā)下，開展小組探討，尋找不同圖形平移運動特征的共性，體驗和經歷正確的數學抽象思維活動.

生成預設：在教師的提示下，學生的關注點能夠從視頻中的具體物體轉移到不同圖形的共性上來，但是歸納出“一定的方向和距離”仍有難度.

回應策略：教師在學生回答的基礎上再次進行追問——回到我們觀察的實例，同一圖形各個部分都是沿著相同的方向運動，但不同的圖形在沿著不同的方向運動，這里的共性是什么？同一個圖形的各部分都移動相同的距離，但不同的圖形移動的距離或長或短，這里的共性又是什么？

重構方案2：基于最初的提問，調整對生1的回應，重建如下.

教師活動：針對生1的回答，教師進行指向實質的回應——我們把物體已抽象為圖形，這里我們說圖形，對于某一圖形在平移運動時，圖形上的所有點都移動相同的距離，這是個體在運動過程中的規(guī)律，但我們現在需要對各種圖形的各種平移進行運動特征的歸納，有的圖形移動的距離長，有的移動短，移動方向有的由下向上，有的由左向右，有的向左上方的某個角度移動，我們如何抽象出這一類圖形的平移特征呢？

生成預設：如果生1基礎較好，在這樣的提示之下能夠歸納出圖形平移的運動特征，但也可能仍然無法歸納.

回應策略：若生1能夠歸納出圖形平移的運動特征，則讓其針對兩個特征具體解釋一番;若無法回答，教師可以讓學生進行小組合作討論，推進學生的數學抽象思考.

2. 性質探究教學重建

分析性質探究的教學事件中存在的問題，最根本的原因在于教學活動設置得不合理，故而最直接有效的方式為重建這個活動設計，此處提供兩種解決方案.

方案1：給每個小組的組員操作的具體圖形不同. 例如，有平移前后的兩個三角形、四邊形，或其他幾何基本圖形，其中特別設置有兩組對應頂點連線在同一條直線上的情形.

教師活動：組織學生測量和觀察研究這些圖形平移前后的對應點連線、對應線段、對應角之間的數量關系和位置關系.

學生活動：進行測量操作，并在小組內交流各自獲得的數據和位置特征，再觀察和比較不同組員從不同形狀的圖形平移運動中得到的數據和位置特征，研究有何共性.

【設計意圖】這個設計體現了兩個層次的歸納. 第一個層次，個體針對自己的圖形測量的數據，歸納這一具體圖形平移前后反映的數據特征;第二個層次，小組交流，觀察分析不同個體對不同具體圖形平移后得出的結論是否具有一致性或一般性. 有了這兩個層次的數學思考，學生的探究活動才能真正經歷歸納推理的思維過程.

方案2：設計同一個小組操作同一具體的圖形，但不同的小組操作的圖形不同. 與方案1一樣，要設置有兩組對應頂點連線在同一條直線上的情形.

教師活動1：組織各組學生分工合作測量和記錄所給圖形平移前后圖形中的對應點連線、對應線段、對應角之間的數量關系和位置關系，并寫出結論.

學生活動1：按照教師指令，分工測量、記錄和整理數據，并將數據結果展示、分享到班級.

教師活動2：教師組織學生對各組提供的數據進行匯總分析，并組織組間交流活動.

學生活動2：先對各組匯總的數據結果進行共性分析，然后在組間交流分析結果，共同歸納出圖形平移的性質.

【設計意圖】這個設計同樣體現了兩個層次的歸納. 第一個層次，小組內針對一個圖形的數據進行觀察分析，得出該圖形的運動性質;第二個層次，觀察分析不同小組對不同具體圖形平移后得出的結論是否具有一致性或一般性. 最后，進行組間交流，達成共識.

四、研究總結

以上分析表明，本節(jié)課中，教師的教學設計存在以下不足. 第一，數學抽象素養(yǎng)的培育在課堂中沒有得到有效的落實，執(zhí)教教師雖然有意識地引導學生進行數學抽象思維，但實質上只是讓學生走了一個歸納定義的形式，沒有在實質上引導學生有方向地去思考，也沒有給予學生思考的時間和空間. 問題的根源出在教師自身沒有真正理解從直觀感知到抽象歸納這一定義需要經歷怎樣的思維，沒有抓住數學抽象思維的本質，即在具體情境中從一類事物中抽象出它們的數量關系和空間形式的一般規(guī)律和特征. 第二，邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)缺少合理有效的教學活動的推動，執(zhí)教教師雖然試圖創(chuàng)設一個實際操作情境讓學生在動手的過程中自主歸納出圖形平移的性質，然而由于執(zhí)教教師自身對不完全歸納推理的形式和內涵把握不到位，導致教學活動的設計僅涉及一個事例的操作，缺乏一定量的合理的證據.

這樣的活動設計不僅增加了學生歸納推理的難度，還給學生示范了一個錯誤的不完全歸納的過程，對學生邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展亦不能起到有效的推動作用.

誠然，以上只是一節(jié)公開教學課例中的兩個教學事件，但是公開教學通常是經過學校教研組的教師反復試講，多次重建后呈現的教學案例. 窺一斑而知全豹，這種有形無實和有實缺據的現象在真實課堂中發(fā)生的情況應該不在少數，具有典型性. 在落實發(fā)展數學抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)的過程中可能還存在諸多其他的問題，有待研究者在更多真實的課堂中捕捉和分析，切實為一線教師提供有效的指導.

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收稿日期：2020-09-01

基金項目：江蘇省研究生教育教學改革課題——后現代視域下的研究生數學教育課程教學變革研究：生長式自本課程教學理論和實踐探索（JGLX18_058）.

作者簡介：陳算榮（1972— ），女，副教授，主要從事數學教育與教師教育研究.