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多元變式在數(shù)學(xué)單元后建構(gòu)課中的應(yīng)用

2020-09-10 07:22薛鶯
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型

摘? 要:在“解直角三角形”單元后建構(gòu)教學(xué)中,基于對(duì)教材的理解,調(diào)整教學(xué)順序,以問題為主線,精選條件變式、創(chuàng)設(shè)情境變式、拓展圖形變式,呈現(xiàn)教學(xué)流程、效能分析及教學(xué)建議,指出單元后建構(gòu)中變式要以學(xué)生的學(xué)習(xí)為主體、書本范例為載體、核心內(nèi)容為基礎(chǔ)、能力提升為目標(biāo).

關(guān)鍵詞:多元變式;單元后建構(gòu);解直角三角形;數(shù)學(xué)模型

一、問題提出

后建構(gòu)課堂是指在后建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下,在新知識(shí)教學(xué)結(jié)束后,幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu),感悟知識(shí)價(jià)值和思想方法的課堂. 其目的在于運(yùn)用后建構(gòu)主義理論設(shè)計(jì)各種教學(xué)策略,引發(fā)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)的意識(shí),指導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方法,進(jìn)而逐步感悟知識(shí)價(jià)值和其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法. 后建構(gòu)課堂主要有綜合與實(shí)踐、章尾課、單元復(fù)習(xí)、專題復(fù)習(xí)等課堂形式. 后建構(gòu)課堂是課堂教學(xué)活動(dòng)的高級(jí)形式,相對(duì)于新授課堂而言,在思維方式的訓(xùn)練、思維品質(zhì)的形成、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育上具有質(zhì)的不同. 它不再僅僅滿足于學(xué)生對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)和應(yīng)用,而是更注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體建構(gòu)和深入理解,更加關(guān)注對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育. 單元后建構(gòu)課不是簡(jiǎn)單的知識(shí)重復(fù),它具有知識(shí)的系統(tǒng)性、方法的應(yīng)用性、能力的綜合性等特點(diǎn). 因此,教師要在有限的課堂時(shí)間內(nèi)從單元教學(xué)的核心知識(shí)出發(fā),讓學(xué)生延伸知識(shí)脈絡(luò)、拓寬解題技巧、提升解題能力,但這并非易事. 在實(shí)際教學(xué)中,有的教師或者用一本復(fù)習(xí)資料“打天下”,或者根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)面面俱到地堆砌知識(shí),要么以強(qiáng)化練習(xí)代替單元后建構(gòu). 這樣的單元后建構(gòu)課是否有效呢?學(xué)生能否基于核心知識(shí)有效提升能力?答案顯然是否定的.

為此,筆者將目光投向了變式教學(xué),不斷變更核心知識(shí)的問題情境或改變學(xué)生的思維角度,使得核心知識(shí)的非本質(zhì)屬性不斷遷移,以揭示其本質(zhì)屬性,從而以明確本質(zhì)、外延變化方式的特點(diǎn)來提高單元后建構(gòu)課的有效性. 下面,筆者以一節(jié)“解直角三角形”單元后建構(gòu)課為例,來探索如何利用變式教學(xué)提高單元后建構(gòu)課的效能.

二、教法分析

“解直角三角形”是蘇教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(以下統(tǒng)稱“教材”)九年級(jí)下冊(cè)第7章第5節(jié)的內(nèi)容. 本節(jié)課要求學(xué)生能綜合運(yùn)用前面所學(xué)知識(shí),通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)建直角三角形,從而解決較為復(fù)雜的實(shí)際問題. 配套的教師教學(xué)用書中給出的教學(xué)思路為“提出實(shí)際問題—引導(dǎo)分析問題(提煉有效信息)—建構(gòu)數(shù)學(xué)模型—得出結(jié)論”. 那么,如何使學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)模型這一核心知識(shí)呢?如何使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解更為透徹、研究更為深入呢?這些都成了備課的難點(diǎn). 經(jīng)過研究教材,筆者決定改變教師教學(xué)用書中給出的教學(xué)順序,先給出基本模型,再轉(zhuǎn)化成基本模型的變式,讓學(xué)生從變化的條件中體會(huì)本節(jié)課核心知識(shí)的不變性,從不變的知識(shí)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法,最后讓學(xué)生在核心知識(shí)的基礎(chǔ)上搭建豐富的實(shí)際問題情境,讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

三、教學(xué)流程展示及復(fù)習(xí)效能分析

1. 精選條件變式,一圖多問,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型,引導(dǎo)方法探索

(1)變式展示.

例? 如圖1,在△ABC中,[∠A=30°,] [∠B=45°,] [AC=2. ]求BC和AB的長(zhǎng).

變式1:如圖1,在△ABC中,[∠A=30°,] [BC=2,] [AC=2. ]求∠B的度數(shù)和AB的長(zhǎng)度.

變式2:如圖1,在△ABC中,[∠A=30°,] [∠B=45°,][AB=5. ]你會(huì)求AC,BC嗎?

(2)教學(xué)流程.

教師先給出典型例題(已知兩角一邊),師生共同探究,通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)建直角三角形. 如圖2,過點(diǎn)C作CD⊥AB,將問題放在Rt△ACD和Rt△BCD中后,在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)“直角三角形中,已知兩邊或一角一邊 ,就可以解直角三角形”的基礎(chǔ)上,學(xué)生很容易利用銳角三角函數(shù)來解決問題. 教師順勢(shì)將例題的條件變化為變式1(已知兩邊一角). 由于有了例題的啟發(fā),學(xué)生自然而然想到了構(gòu)建直角三角形來解決問題. 在解決變式1的基礎(chǔ)上,教師進(jìn)一步啟發(fā):在任意的三角形中,如果已知兩角一邊或兩邊一角,可以解出其余的邊和角嗎?進(jìn)而豐富學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn).

接著,教師給出變式2(已知兩角一邊). 由于有前面解決問題的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)做鋪墊,學(xué)生信心十足. 部分學(xué)生能主動(dòng)添加輔助線,輔助線作法同圖2,得到了Rt△ACD和Rt△BCD,再從公共邊CD入手思考問題. 要求AC和BC的長(zhǎng),必須先求出CD的長(zhǎng). 設(shè)CD = x,列出關(guān)于x的方程[3x+x=5]. 這時(shí)學(xué)生對(duì)解任意三角形知識(shí)的理解又深入了一步,明白“當(dāng)有些量不能直接求時(shí),可以設(shè)中間量過渡”. 最后,教師讓學(xué)生觀察,雖然這組變式中問題的條件變化了,但是所用數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)屬性沒變.

(3)效能分析.

以上變式符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,基于教材又跳出了教材,由淺入深,環(huán)環(huán)相扣,揭示了數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)特征. 教師通過對(duì)例題的條件進(jìn)行變式和推廣,引導(dǎo)學(xué)生拓展問題解決的方法,拓寬學(xué)生認(rèn)識(shí)問題的廣度,更為重要的是讓學(xué)生嘗試運(yùn)用類比進(jìn)行科學(xué)發(fā)現(xiàn). 在問題解決的過程中,通過條件的變式讓學(xué)生由淺入深、步步深化,透過現(xiàn)象看到了數(shù)學(xué)本質(zhì),幫助學(xué)生邁出了認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型的第一步,發(fā)揮了變式教學(xué)的最大功效,從而提高了課堂的容量和復(fù)習(xí)的效率.

(4)教學(xué)建議.

通過對(duì)范例實(shí)施變式,圍繞方法的本質(zhì)屬性,進(jìn)而優(yōu)化解法,培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.

教師應(yīng)做到:在學(xué)生探索解法遇到困難時(shí),及時(shí)給予啟發(fā)、點(diǎn)撥;對(duì)所用到的解題方法、規(guī)律加以梳理、概括,納入知識(shí)方法體系;對(duì)研究問題的方法加以總結(jié),使學(xué)生掌握科學(xué)研究問題的方法.

學(xué)生應(yīng)努力做到: 自主探索解法,解決問題;探索多角度思考問題、多渠道尋求解決問題的方法;相互交流,相互啟發(fā),擴(kuò)大探索成果;自主總結(jié)各種解法的規(guī)律與技巧,形成解題技能.

2. 創(chuàng)設(shè)情境變式,一圖多用,提煉數(shù)學(xué)模型,串聯(lián)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)__________

(1)情境展示.

情境1:(方向角問題)如圖3,要在A,B兩地修建一條5千米長(zhǎng)的公路,在A地北偏東60°,B地北偏西45°方向的C處有一半徑為1.8千米的湖泊,問公路是否會(huì)穿過湖泊?

情境2:(仰角、俯角問題)如圖4,有一氫氣球懸在空中,兩名同學(xué)想知道其升空的高度,甲在A處測(cè)得其仰角為30°,乙在B處測(cè)得其仰角為45°,甲乙兩人之間的距離為5千米,求氣球的高度.

情境3:(坡度、坡角問題)某大壩橫截面如圖5所示,斜坡AC的坡比[i=1∶ 3],斜坡BC的坡比i′ = 1∶1,已知壩底AB的長(zhǎng)為5米,求壩高.

情境4:(速度、時(shí)間問題)如圖6,某號(hào)臺(tái)風(fēng)中心自西向東移動(dòng),經(jīng)測(cè)速度為1千米 / 時(shí),5小時(shí)內(nèi)從A地到B地,臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)時(shí)要求1.8千米范圍內(nèi)均要做“防臺(tái)風(fēng)”措施,問:在A地北偏東60°,B地北偏西45°方向的村莊C是否要做“防臺(tái)風(fēng)”措施?

(2)教學(xué)流程.

教師創(chuàng)設(shè)典型的實(shí)際問題情境,讓學(xué)生根據(jù)相關(guān)文字信息自主提煉出數(shù)學(xué)模型. 結(jié)合例題變式2的解題經(jīng)驗(yàn),學(xué)生能很輕松地知道情境問題的實(shí)質(zhì)就是求點(diǎn)C到AB的距離(即圖2中的CD),然后比較CD與湖泊半徑的大小. 教師通過點(diǎn)評(píng)學(xué)生的方向角轉(zhuǎn)化方式,讓學(xué)生進(jìn)一步明確方向角的轉(zhuǎn)化方法. 接著,教師給出情境2. 在解決實(shí)際情境問題的過程中,學(xué)生進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)模型的本質(zhì),教師對(duì)仰角、俯角的概念也進(jìn)行了簡(jiǎn)單地梳理. 再通過情境3幫助學(xué)生歸納有關(guān)坡度、坡角類實(shí)際問題的解決策略和方法. 最后,教師創(chuàng)設(shè)了某臺(tái)風(fēng)登陸的問題情境(情境4),讓學(xué)生在臺(tái)風(fēng)速度、臺(tái)風(fēng)經(jīng)過時(shí)間、臺(tái)風(fēng)經(jīng)過路程、臺(tái)風(fēng)的方位角之間的轉(zhuǎn)化中,將所用的知識(shí)串聯(lián)起來,從而較為順利地解決問題,加深了學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí),使學(xué)生掌握了從復(fù)雜的實(shí)際問題中提煉數(shù)學(xué)模型的能力.

(3)效能分析.

這一組基于統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型本質(zhì)的情境變式,發(fā)揮了變式的作用,讓學(xué)生的思維始終處于新的情境之中. 在這些變化的情境中,匯集了大量的數(shù)學(xué)信息,將方向角、仰角、俯角、坡度、坡角等數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來,幫助學(xué)生理解知識(shí)之間的聯(lián)系,收到融會(huì)貫通的效果. 同時(shí),讓學(xué)生在這一系列情境的啟發(fā)下,由知道“為什么要變”“如何變”逐步發(fā)展到“我會(huì)變”“我要變”. 學(xué)生在將已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)巧妙地轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)模型的過程中,對(duì)實(shí)際問題的認(rèn)識(shí)也更為深刻,更觸及數(shù)學(xué)本質(zhì).

(4)教學(xué)建議.

單元后建構(gòu)課的重要任務(wù)之一就是回顧單元相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容,使學(xué)生重溫知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,建立知識(shí)結(jié)構(gòu),為創(chuàng)新學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ).

教師應(yīng)做到:選取有針對(duì)性的、啟發(fā)性的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)和概念進(jìn)行回憶,激發(fā)學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣;引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)結(jié)構(gòu),使之系統(tǒng)化.

學(xué)生應(yīng)努力做到:主動(dòng)參與、積極回顧、探究所學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系;建立脈絡(luò)清晰的知識(shí)體系,使所學(xué)知識(shí)在回顧與反思中得到提升.

3. 拓展圖形,一圖多變,搭建數(shù)學(xué)模型,提升創(chuàng)新能力

(1)圖形變化.

如圖7,A,B兩地修建3千米的公路,在A地北偏東60°,B地北偏東45°方向的C處有一半徑為1.8千米的湖泊,問公路是否會(huì)穿過湖泊?

學(xué)生解決此題后,教師變化此題中方位角的表示方法,給出圖8.

(2)教學(xué)流程.

教師從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型和典型的問題情境出發(fā),在基本條件和實(shí)際問題不變的情況下,給出了不同的方向角. 學(xué)生首先通過自主畫圖將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言,發(fā)現(xiàn)圖形發(fā)生了變化,與學(xué)生已有的圖形認(rèn)知產(chǎn)生沖突. 教師提出問題:將30°角和45°角放在哪里能更好地利用它們?學(xué)生自然想到直角三角形,進(jìn)而容易知道構(gòu)造直角三角形的方法. 教師出示圖8,再次讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)方法本質(zhì)的不變性. 教師提出:如何利用圖8的基本模型搭建一個(gè)合理的問題情境呢?學(xué)生思考片刻后,都躍躍欲試,給這一數(shù)學(xué)模型賦予了豐富的問題情境. 其中,有一名學(xué)生給出了如下情境:海上有一燈塔P,它周圍3海里處有暗礁,一艘客輪以9海里 / 時(shí)的速度自西向東航行,行至A處測(cè)得燈塔P在它的北偏東60°方向,繼續(xù)行駛20分鐘后,到達(dá)B處,又測(cè)得燈塔P在它的北偏西45°方向,問客輪不改變方向繼續(xù)前行是否有觸礁的危險(xiǎn)?最后,教師對(duì)學(xué)生提出的問題情境做了點(diǎn)評(píng),讓學(xué)生更深入地掌握了問題情境和數(shù)學(xué)模型之間相互轉(zhuǎn)換的方法.

(3)效能分析.

以上變式是從一個(gè)有關(guān)解直角三角形的簡(jiǎn)單題目出發(fā),進(jìn)行的一系列圖形變化. 學(xué)生在情境變式的基礎(chǔ)上,對(duì)變化的數(shù)學(xué)模型獨(dú)立地提出類似的情境問題. 在這個(gè)過程中,學(xué)生對(duì)解直角三角形的數(shù)學(xué)模型及其實(shí)際應(yīng)用等相關(guān)問題進(jìn)行了深入了解,在通過自主搭建將數(shù)學(xué)模型遷移到實(shí)際問題的情境過程中,激活、拓寬了學(xué)生的思維,使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型有了更深的認(rèn)知,使學(xué)生逐步提升類比和概括的能力. 這一過程優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì),拓寬了學(xué)生的思維領(lǐng)域,有效地訓(xùn)練了學(xué)生思維的靈活性.

(4)教學(xué)建議.

單元后建構(gòu)課所說的“變式”,與新課教學(xué)模式中所談的“變式”相比,其特點(diǎn)是“深、廣、新”,即知識(shí)滲透深、方法應(yīng)用廣、能力創(chuàng)新.

教師應(yīng)做到:適時(shí)引導(dǎo)點(diǎn)撥,指引探索方向,激發(fā)學(xué)生“變”的內(nèi)在需要;積極誘導(dǎo),激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新的熱情;及時(shí)評(píng)價(jià)鼓勵(lì),培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和勇氣.

學(xué)生應(yīng)努力做到:通過獨(dú)立探索、小組討論、集體交流等方式,全員參與、積極思考,最大限度地探索題目的各種變式.

四、單元后建構(gòu)課中實(shí)施變式教學(xué)的注意點(diǎn)

1. 變式要以學(xué)生學(xué)習(xí)為主體

單元后建構(gòu)過程是一個(gè)信息交流的過程. 在這一過程中,學(xué)生是主體. 首先,教師應(yīng)該把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,發(fā)揮學(xué)生的主體作用,使學(xué)生由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng). 當(dāng)然,盡管強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主性,但是并不等于不要教師講,教師適時(shí)的點(diǎn)撥還是必不可少的. 其次,教師應(yīng)該根據(jù)所教班級(jí)學(xué)生的學(xué)情,采取不同難度、不同的變式方法,以更適應(yīng)學(xué)生的接受和理解能力,也是為了更好地展示以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)方式. 再次,教師還要適當(dāng)“留白”,留給學(xué)生思考的空間與時(shí)間,讓學(xué)生自我嘗試變式探究,從而真正突出學(xué)生的主體地位.

2. 變式要以教材范例為載體

教師給出的范例應(yīng)該成為單元后建構(gòu)課中進(jìn)一步變式的載體. 因此,教師必須選擇好范例,把范例的選擇與變式的目標(biāo)和變式的方式有機(jī)結(jié)合起來,使之相互補(bǔ)充,相得益彰,并不是教材上的所有例題都可以作為變式的典型范例. 范例的選擇,首先,應(yīng)針對(duì)復(fù)習(xí)單元的內(nèi)容和要求;其次,對(duì)單元知識(shí)的應(yīng)用、方法的訓(xùn)練、思想的提升都應(yīng)該有所幫助,且讓學(xué)生容易接受;最后,例題必須具有延展性和靈活性,以便師生可以進(jìn)一步對(duì)范例實(shí)施變式.

3. 變式要以核心內(nèi)容為基礎(chǔ)

在單元后建構(gòu)課實(shí)施變式教學(xué),首先,應(yīng)該圍繞數(shù)學(xué)核心知識(shí),從核心知識(shí)出發(fā),通過變式把相關(guān)、相近的知識(shí)變成一個(gè)系列或主題,把原本零散的知識(shí)串聯(lián)成一個(gè)整體;其次,必須要圍繞數(shù)學(xué)核心思想方法,對(duì)問題進(jìn)行深化、拓展,進(jìn)而達(dá)到用一個(gè)理念、一種方法、一種思想串聯(lián)題目的境界,以揭示變式題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì),從而把問題、知識(shí)、方法、思想放在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi),進(jìn)行認(rèn)識(shí)、梳理、整合,達(dá)到融會(huì)貫通,完成復(fù)習(xí)內(nèi)容從厚到薄的過程.

4. 變式要以能力提升為目標(biāo)

在單元后建構(gòu)教學(xué)中,教師要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué). 首先,教師不僅要提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力,而且要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,發(fā)展學(xué)生的求異思維. 因此,對(duì)于問題的不同形式,在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)該從感性走向理性,通過改變提問的角度來發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維,便于發(fā)展學(xué)生的問題探究能力. 其次,在變式設(shè)計(jì)中,若能在學(xué)生常規(guī)思維的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一些逆向發(fā)散思維訓(xùn)練的變式,既能達(dá)到去偽存真,又能訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維,提升他們的創(chuàng)新能力.

在單元后建構(gòu)課的教學(xué)中,合理地進(jìn)行多元變式,不僅有助于學(xué)生掌握知識(shí),挖掘其中蘊(yùn)含的規(guī)律和聯(lián)系,再通過比較、歸納、延伸,還能有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和信息遷移能力.

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收稿日期:2020-07-28

基金項(xiàng)目:江蘇省第十三期重點(diǎn)課題——指向?qū)W科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)“后建構(gòu)”課堂設(shè)計(jì)研究(2019JK13-ZB16);

江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——指向初中數(shù)學(xué)核心概念主動(dòng)建構(gòu)的教學(xué)研究(C-c/2016/02/02).

作者簡(jiǎn)介:薛鶯(1981— ),女,中學(xué)高級(jí)教師,主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究.

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