摘? 要：數(shù)學閱讀是學生數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的重要方法之一. 滬教版初中數(shù)學教材中編排了較多閱讀材料，這些材料緊扣教材中的相關知識，豐富了教學內(nèi)容，是拓展學生數(shù)學知識、提升學生數(shù)學閱讀能力、激發(fā)學生數(shù)學學習興趣、培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的有效載體. 這些內(nèi)容的教學成為上海市數(shù)學素質教育綜合體現(xiàn)的重要組成部分. 文章以“用向量方法證明幾何問題”一課為例，給出關于初中數(shù)學閱讀課教學的一些思考.

關鍵詞：數(shù)學閱讀;數(shù)學交流;實踐與思考

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版》）（以下簡稱《標準》）中指出，自學能力對每個人都是終身有用的，閱讀是提高自身能力的重要途徑. 數(shù)學閱讀是理解數(shù)學語言的過程，是學生用特定的數(shù)學符號及符號之間的關系對自身原有認知結構進行改造、調(diào)整和建構;數(shù)學閱讀也是心理活動的過程，包含語言符號（文字、數(shù)學符號、術語、公式、圖表等）的感知和認讀、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等;數(shù)學閱讀還是一個不斷假設、證明、想象、推理的思維認知過程. 可見，數(shù)學閱讀對提升學生的數(shù)學學習能力有著極大的價值，是促進學生數(shù)學思維和數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的重要途徑.

滬教版《九年義務教育課本·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“滬教版教材”）中編排了許多閱讀材料，按功能大致可以分為以下幾類：介紹知識，開闊視野;激發(fā)興趣，發(fā)展思維;培養(yǎng)愛國主義思想，增強民族自豪感;加強知識和技能的實際應用，培養(yǎng)學生的應用意識，提高解決問題的能力. 值得一提的是，滬教版教材將平面向量的部分基礎內(nèi)容納入初中數(shù)學課程中. 一方面，為學生的幾何學習提供了“新觀點”和“新手段”;另一方面，有助于讓學生逐步體會數(shù)學與物理等其他學科的聯(lián)系. 我們知道，一些平面幾何問題經(jīng)過轉化，可以通過向量運算來解決. 這樣的學習經(jīng)驗可以促進學生數(shù)學思維的靈活性和創(chuàng)新性，有利于學生數(shù)學素養(yǎng)的培育. 同時，教材對初中平面向量主要采用直觀描述，控制了難度（僅限于認識向量、表示向量;用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減法、向量分解的作圖操作;至于向量的數(shù)量積與坐標運算，仍然是高中的學習內(nèi)容）. 為此，作為一個良好的內(nèi)容載體，本文謹以閱讀材料“用向量方法證明幾何問題”為例，談談對數(shù)學閱讀課的教學實踐與思考.

一、教學實踐

“用向量方法證明幾何問題”是滬教版教材八年級第二學期第二十二章“四邊形”章末的一篇閱讀材料，安排在第四節(jié)“平面向量及其加減運算”的學習之后，用舉例說明的方式介紹了用向量方法證明一些簡單平面幾何問題的基本思路，是對向量知識的進一步拓展. 希望學生通過閱讀、討論與交流，初步了解平面向量及其加減運算在平面幾何中的運用，感受幾何證明的新方法，開闊眼界;同時，在數(shù)學問題解決過程中，增進對平面向量的理解，初步體會平面向量的工具價值，領略用向量方法證明一些幾何問題的過程和優(yōu)越性，激發(fā)學生學習向量知識的興趣和運用向量知識的積極性. 對于本節(jié)閱讀課，筆者設計了“泛讀—通讀—精讀—解讀—延讀”五個環(huán)節(jié).

1. 泛讀——初步感知

泛讀是本節(jié)課的準備階段. 通過觀看微視頻，梳理“四邊形”這一章的主要內(nèi)容，引起學生思考：將平面向量這一內(nèi)容安排在“四邊形”一章的原因，初步認識平面向量與四邊形內(nèi)容之間的聯(lián)系;同時，梳理演繹證明的一般過程，為后面的學習做好鋪墊.

2. 通讀——問題展示

通讀是整體感知階段. 通過通讀初步了解閱讀材料的主要內(nèi)容和知識點. 為了讓學生的閱讀有更明確的指向性，從而提高閱讀效率，教師可以布置一些閱讀任務，通常包含學習目標、導讀問題、閱讀檢測、閱讀體會等，帶著任務閱讀能使學生的閱讀更有針對性，更能啟發(fā)學生去思考、探究. 這無疑對提高學生的閱讀能力是很有幫助的.

以“用向量方法證明幾何問題”一課為例，筆者布置的閱讀任務如下：① 圏劃你認為重要的部分;② 記錄你在閱讀過程中的困惑或不理解的地方;③ 比較用向量方法證明幾何問題與演繹證明的區(qū)別與聯(lián)系. 學生通過通讀閱讀材料，初步了解向量知識在平面幾何中的運用，感受用向量方法證明幾何問題的新方法. 通過比較閱讀材料中給出的兩道例題的不同解法，初步感受兩種解法的區(qū)別與聯(lián)系. 由于學生的個體差異性，不同層次的學生在閱讀后對新知會有不同程度的理解，形成自己尚不完善的認識，也會產(chǎn)生許多疑問. 例如，下面是一些學生的疑問.

生1：如何用向量方法證明幾何問題？

生2：如何選取合適的向量？

生3：向量關系與幾何關系如何轉化？

生4：已經(jīng)學習了演繹證明的方法，閱讀材料中給出的兩道例題都可以通過演繹證明來解決，為什么還要學習向量方法？向量方法似乎并沒有簡單很多.

3. 精讀——問題解決

精讀是本節(jié)數(shù)學閱讀課的核心環(huán)節(jié). 數(shù)學閱讀的目的在于理解，每個數(shù)學概念、符號、術語都有其精確性和邏輯性. 當一名學生試圖閱讀、理解一段閱讀材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現(xiàn)的每個數(shù)學術語和每個數(shù)學符號的精確含義. 這就要求學生必須在通讀材料、提出問題的基礎上，運用分析、聯(lián)想、類比、歸納、猜想、反思等思維方法，對疑難點各個擊破. 這里，活動的設計尤為關鍵，以“用向量方法證明幾何問題”一課為例，筆者設計了討論和交流兩個活動，放手讓學生自己解決問題，大膽地讓學生展示自己的閱讀與思考成果. 以下為節(jié)選的部分小組交流片斷.

第一組：演繹證明是運用相關定義、定理、公理，按照邏輯規(guī)則進行推導，也就是從幾何問題的已知條件出發(fā)得到結論. 向量證明的方法是適當選取向量，進行正確的向量運算得到結論.

第二組：我們分析比較了例1中的解法. 例1是根據(jù)已知條件引出向量，給出的條件是“如圖1，四邊形ABCD，AC與BD交于點O，AO = OC，DO = OB”，求證“四邊形ABCD是平行四邊形”. 首先，這個條件給出的意義是線段相等，還有AC和BD各自是一條直線，向量需要兩個條件，一個是大小，一個是方向. 已知條件已經(jīng)給出了向量的大小，我們只要判斷它的方向就可以從條件中選取向量，然后通過向量的加法，能得出[AO+][OB=AB]，[DO+OC=DC]. 相等向量所在的有向線段DC = AB，這是數(shù)量關系. 還有平行關系，得出線段AB∥DC，且AB = DC，然后再回到幾何證明.

第三組：用向量方法證明幾何問題是因為向量既具有代數(shù)的特征，又具有幾何的形態(tài). 由于向量有運算系統(tǒng)，并且與幾何圖形有密切聯(lián)系，所以它才可以用來證明幾何問題.

第四組：向量的證明方法比演繹推理的證明方法更加簡潔. 用幾何方法要證明線段平行且相等，用向量方法只需要說明“向量相等”就能說明“兩條線段平行且相等”.

可以看到，整個活動過程中，學生的思維是無限的，在師生、生生合作交流中梳理形成用向量方法證明幾何問題的基本步驟、要點和依據(jù)，提高了對“用平面向量的運算來作為推理方法”的認識，增進對平面向量“數(shù)”與“形”雙重特征的理解. 期間，筆者僅對學生分析過程中存在的不足做必要的補充和調(diào)整，讓學生獲得了準確、完整和深刻的認識，最終得到如圖2所示的知識框架圖.

4. 解讀——鞏固練習

解讀是檢驗與完善的階段. 在學生對閱讀內(nèi)容有了比較清晰的認識以后，通過適當?shù)木毩暭右造柟?，進一步理解和內(nèi)化知識.

以“用向量方法證明幾何問題”為例，筆者設計了如下一道練習題.

已知：如圖3，四邊形ABCD是平行四邊形，CN = AM，AE = CF. 求證：四邊形NEMF是平行四邊形.

考慮到滬教版教材定位“在初中的向量教學中，不要求學生會用向量方法證明幾何問題”，故而采用讓學生獨立思考與相互交流相結合的方式研究. 以下是學生的交流片斷.

生1：根據(jù)已知條件，作[EA， AM， EM， CF，] [NC， NF]. 因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB平行且等于CD. 因為CN = AM，所以[AM=NC]. 因為AE和CF在同一直線上，且AE = CF，所以[EA=CF]. 所以[EA+][AM=][CF+NC]，即[EM=NF]. 所以EM∥NF，且EM = NF. 所以四邊形NEMF是平行四邊形.

5. 延讀——拓展延伸

閱讀型作業(yè)的思路來源是數(shù)學閱讀教學和分層作業(yè)理念的結合. 一方面，數(shù)學閱讀課的目標之一是學生數(shù)學閱讀能力的發(fā)展和自學能力的提升;另一方面，課堂教學的時間是有限的，教師可以根據(jù)相關知識點設計一些與閱讀材料有關的問題，或者收集、編制一些閱讀材料，讓學生帶著這些問題繼續(xù)閱讀、思考，并做出解答，以此來優(yōu)化教學效果.

以“用向量方法證明幾何問題”一課為例，筆者設計了如下閱讀作業(yè).

閱讀下列材料，并完成證明.

我們知道，兩個相同的實數(shù)[a]相加，結果為[2a，] 即[a+a=2a]. 那么兩個相同的向量[a]相加，是否也有類似的結果呢？即[a+a=2a]嗎？

如圖4，已知向量[a]，在平面內(nèi)取一點O，作向量[OA=a]，[AB=a]，由向量加法運算法則，得[OB=a+a].

同時，我們不難看到：向量[OB]的方向與向量[a]的方向相同，向量[OB]的長度是向量[a]的長度的2倍，即[OB=2a]. 我們把這樣的向量[OB]記為向量[2a，] 即[OB=2a].

由上可知，[2a]表示這樣的一個向量，其方向與向量[a]的方向相同，且長度是向量[a]長度的2倍. 類似地，[3a]表示這樣的一個向量，其方向與向量[a]的方向相同，且長度是向量[a]長度的3倍.

那么，[32a]表示為________ ;[12a+b]表示為________ .

反過來，如果[MN=2PQ]，則意味著[MN]和[PQ]平行（或共線），且[MN=2PQ].

上述結論可用于研究幾何中有關兩直線平行及線段長度的問題，如三角形中位線定理. 請同學們小組合作，用向量方法證明該定理.

求證：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

已知：如圖5，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點. 求證：EF∥BC，[EF=12BC].

該作業(yè)的主要任務是開展“拓展閱讀”. 學生需要在完成閱讀后，理解實數(shù)和向量的乘法的基本概念及其表示方法，然后用所學的向量方法嘗試證明三角形中位線定理. 其目的在于通過對閱讀材料的學習，進一步讓學生體會材料中用向量方法證明一些簡單的平面幾何問題的基本思路，了解平面向量及其運算在解決一些平面幾何問題中的作用，增進對平面向量“數(shù)”與“形”雙重特征的理解，體會平面向量的學習價值，發(fā)展自主學習和數(shù)學閱讀的能力. 在布置作業(yè)時，要求學生先獨立閱讀材料并嘗試完成材料中提出的學習任務，然后撰寫簡單的學習體會并與其他學生交流.

二、幾點思考

1. 閱讀課的目標定位

讀有所得、讀有所疑、讀有所悟、讀有所用是一切閱讀活動的共同目標. 數(shù)學學科還有自己的特點，即高度的抽象、嚴密的邏輯和廣泛的應用. 這決定了數(shù)學閱讀不同于一般的閱讀，不僅要理解文本、獲取知識，還要了解知識產(chǎn)生的背景和內(nèi)在的邏輯關系，經(jīng)歷知識的形成過程，并能合理運用到實際生活中. 在“用向量方法證明幾何問題”一課的教學過程中，筆者布置了閱讀任務，目的是讓學生有充裕的閱讀和思考的時間，使學生不僅僅了解用向量方法證明幾何問題這個方法;還能在閱讀和思考過程中不斷產(chǎn)生疑問. 例如，向量關系與幾何關系如何轉化？兩種方法孰優(yōu)孰劣？學生在交流合作中經(jīng)歷用向量方法證明幾何問題的過程，梳理了知識框架圖，從中獲得數(shù)學閱讀和思考的一般方法，引發(fā)對數(shù)學閱讀和思考的興趣.

2. 閱讀課的主體定位

數(shù)學閱讀課的整個教學過程是教師協(xié)助學生主動建構知識的過程，這極大地凸顯了學生的主體地位. 在“用向量方法證明幾何問題”這節(jié)課閱讀課的教學過程中，筆者的任務首先是傾聽，其次是捕捉、梳理和完善學生思維中零散、不完全準確的結論. 學生在閱讀中產(chǎn)生疑問，在交流中解決疑問，再圍繞筆者提出的較深層次的問題閱讀、思考、交流. 這些做法使得學生獲得了更多的自主閱讀與思考的時間和空間.

3. 閱讀課的方式定位

數(shù)學閱讀課的學習方式通常是開放式的. 數(shù)學閱讀過程是不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程，在向知識的廣度和深度進軍的過程中遇到問題或者困惑是在所難免的. 開放的閱讀方式能讓學生在閱讀與思考活動中分享信息結論和疑問，通過交流合作解決疑問，達到閱讀和思考的最優(yōu)效果. 另外，在當今的信息時代，學生閱讀的渠道不僅僅是教材和教師給予的閱讀材料，還可以借助網(wǎng)絡資源搜索相關資料進行深入學習.

4. 閱讀素材的選擇

各地現(xiàn)行的初中數(shù)學教材普遍編排了許多閱讀材料，主要包括：透過數(shù)學歷史故事，學生可以感受到數(shù)學知識在研究過程中的曲折、艱辛，以及獲得成功后的快樂，感悟理性精神;通過知識拓展或運用數(shù)學知識解決生活中的問題，可以增進數(shù)學與生活的聯(lián)系，理解數(shù)學的學習價值等.

隨著數(shù)學學習的深入，筆者認為閱讀不能僅僅局限于教材的閱讀，應該給學生提供更多的課內(nèi)外閱讀資料. 以平面向量為例，該部分知識雖然沒有納入《標準》，但是從上海市的經(jīng)驗來看，平面向量的初步知識在初中階段的講授還是具有較好的可操作性的. 即使其他地區(qū)的數(shù)學教材中沒有向量知識，教師也可以通過閱讀材料的方式呈現(xiàn)給學生，讓其自主學習. 通過學習，學生有機會從運算的視角看待幾何證明，豐富學生解決平面幾何問題的手段，以更好地促進學生思考，挖掘學生的思維潛力，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng).

5. 閱讀課的評價方式

不同于重結果輕過程的傳統(tǒng)數(shù)學評價，數(shù)學閱讀課更側重于學習過程，應采用多樣化的評價方式. 筆者認為可以從課堂評價和作業(yè)評價的轉變開始.

（1）課堂評價.

學生的能力是多方面的，每名學生都有各自的優(yōu)勢. 在閱讀活動中，學生表現(xiàn)出來的能力不是單一維度的數(shù)值反映，而是多維度、綜合能力的體現(xiàn)，因此對學生的學習評價應該是多方面的. 在“用向量方法證明幾何問題”一課的教學中，筆者采用了學生自評、小組互評和教師評價相結合的方式，從閱讀表現(xiàn)、合作表現(xiàn)、交流表現(xiàn)、理答表現(xiàn)四個方面進行評價.

（2）作業(yè)評價.

傳統(tǒng)的作業(yè)評價大多數(shù)基于知識與技能，更側重于學生對知識的掌握情況、解題表現(xiàn)等，評價的維度比較單一. 如何才能更好地發(fā)揮評價的導向、調(diào)控和激勵功能？以“用向量方法證明幾何問題”的閱讀型作業(yè)為例，對于該作業(yè)的批改，筆者采用等第制評價的方法，學生互評和教師評價相結合，從閱讀表現(xiàn)、解題表現(xiàn)和交流表現(xiàn)等方面重點開展評價，以下是評價標準.

優(yōu)秀：能圈劃閱讀材料中的關鍵詞和重要信息，準確理解材料的內(nèi)容;在解決問題的過程中，表現(xiàn)出對閱讀材料介紹的方法的正確運用;解題過程完整，能用規(guī)范、簡潔的語句進行交流;能清晰地向他人介紹自己的解題思路和閱讀體會.

良好：能圈劃閱讀材料，材料分析基本準確;解題過程基本正確;能用較為規(guī)范、簡潔的語句進行交流;能較清楚地向他人介紹自己的解題思路和閱讀體會.

合格：基本理解閱讀材料，材料分析不夠準確;有解題過程，但解答存在一定錯誤;能與他人進行一定交流，但解題思路和閱讀體會介紹較為簡單.

6. 閱讀課的局限性

（1）不同學生的差異.

不同層次的學生受益效果不同，無法帶動所有學生. 筆者執(zhí)教的班級學生水平差異較大，通過多次實踐發(fā)現(xiàn)：原本學習能力強的學生在這樣的課堂上學習方法能有提高，學習能力能有進步，對相關知識點的遷移，學習效率很高，他們學習的自信和主動性都會有飛躍;但是對于學困生卻不一定有幫助. 雖然筆者教學中一直關注個體差異，一有機會就會對學困生進行個別輔導，但是在自主閱讀環(huán)節(jié)，學困生的學習效率非常低. 沒有了教師的教，學生不知道閱讀和思考的方向，寸步難行.

（2）閱讀時間的把握.

確定閱讀時間是數(shù)學閱讀課的重點和難點. 閱讀時間長了，留給學生對話交流的時間就少了，有些問題得不到解決，能力的發(fā)展受到限制，也就失去了閱讀課的價值;閱讀時間少了，學生對材料的理解不充分，思考的深度不夠，也達不到效果. 這就對教師提出了很高的要求，既要研讀材料，把握教學的學習內(nèi)容，又要研究學生，把握學生的學習水平，在此基礎上，做出規(guī)劃和預設. 另外，數(shù)學閱讀教學是學生、教師、文本之間對話的過程. 學生作為讀者，是富有巨大認知潛力和主觀能動性的，尤其是經(jīng)歷交流對話后會生成新的學習需求，需要二次閱讀甚至三次閱讀，這就需要教師對預設的教學做出及時調(diào)整，朝著有利于加深對數(shù)學閱讀文本的理解和感悟、有利于學生數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的方向轉化.

參考文獻：

[1]倪湘麗. 初中數(shù)學閱讀教學的實踐研究：以蘇科版教材七上、八上的教學實踐為例[D].蘇州：蘇州大學，2014.

[2]朱麗霞. 數(shù)學閱讀為學生的思維進階插上翅膀：以“三角形內(nèi)接正方形的作法”閱讀課為例[J]. 上海中學數(shù)學，2020（1 / 2）：42-44，64.

[3]谷荷蓮. 高中數(shù)學“閱讀與思考”欄目的教學實踐與思考：以《圓錐曲線的光學性質及其應用》閱讀與思考教學為例[J]. 數(shù)學教學通訊，2020（9）：3-4，10.

[4]朱紀英. 初中數(shù)學閱讀教學有效性研究與實踐[D]. 上海：上海師范大學，2012.

收稿日期：2020-08-15

作者簡介：羅佳駿（1984— ），男，中學高級教師，主要從事初中數(shù)學教學研究.