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三角平幾齊飛舞 解幾代數(shù)顯神通

2020-09-10 11:56:45柳朝輝
數(shù)理化解題研究·高中版 2020年12期
關(guān)鍵詞:解三角形解析幾何

摘 要:解三角形中一類條件不全,條件分散的問題學(xué)生一般束手無策,無從下手.經(jīng)研究實(shí)踐發(fā)現(xiàn),可用向量來解;可用平面幾何,作輔助線把分散的條件集中從而解決;也可以用解析幾何建系通過計(jì)算解決;還可以保留“殘缺”形式,用方程組解決.

關(guān)鍵詞:解三角形;平面幾何;解析幾何;正余弦定理

中圖分類號(hào):G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A????? 文章編號(hào):1008-0333(2020)34-0009-02

收稿日期:2020-09-05

作者簡介:柳朝輝(1974.3-),女,湖南省岳陽人,本科,中學(xué)一級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、典型題目

例1 在△ABC中,已知AB=463 ,

cosB=66,AC上的中線BD=5求sinA的值.

例2 在△ABC中,D是邊BC上的一點(diǎn),

AD=2, BD=2DC,tan∠BAD=12,

tan∠CAD=13,求AB的長.

二、試題分析

這兩道題目都不是常規(guī)的解三角形問題,也許題目有三個(gè)甚至是四個(gè)條件,但是對(duì)于每一個(gè)三角形而言,又都沒有三個(gè)條件,所以每一個(gè)三角形都不是“可解三角形”.但方法選擇適當(dāng),則可以求解,也許還大大減少計(jì)算量,反之,一籌莫展.

三、解法探究

例1 分析1 用BA,BC表示BD.

方法一

∵BD=12BA+BC,

∴BD2=14BA2+BC2+2BABCcos∠ABC,

即5=14323+BC2+83BC,

∴BC=2(BC=-143舍去).

在△ABC中,BC=2,AB=463,cosB=66.

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,

∴BC=2213.

在△ABC中,ACsin∠ABC=BCsin∠CAB,

∴sinA=7014.

分析二 因?yàn)橛兄芯€,所以聯(lián)想到作輔助線中位線.

方法二 如圖3,作DE∥AB,則點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).在△BDE中,BD=5,DE=263,cos∠BED=-66,

∴BD2=BE2+DE2-2BE·DE·cos∠BED,

∴BE=1或BE=-73(舍).

∴BC=2.( 以下同法一)

分析三 用倍長中線法把分散的條件集中起來.

方法三 如圖4,延長BD至E,使得DE=BD,連接CE,AE,則四邊形ABCE為平行四邊形.

在△ABE中,AB=463,BE=25,cos∠BAE=-66,

∴AE=2=BC.(以下同法一)

分析四 用分割的方法,求出圖形中的各邊.

方法四 如圖5,延長BD至P,使DP=BD,連接AP,CP得平行四邊形ABCP.過點(diǎn)A作AH⊥BC,過P點(diǎn)作PN⊥BC.

則AH=PN=AB·sinB=453,BH=43.

在直角三角形BNP中,BP2=BN2+NP2,

∴20=BN2+809,∴BN=103.

∴BC=103-CN=103-BH=2.(以下同法一)

分析五 用分割的方法.

方法五 如圖5,作AH⊥BC,DQ⊥BC.

在△ABH中,AB=463, cosB=66,

∴AH=453,

BH=43,

∴DQ=253.

在△BDQ中,BD2=BQ2+QD2,

∴BQ=53,∴HQ=13,∴QC=13,

∴BC=2.(以下同法一)

分析六 建系求解.

方法六 如圖7建系,

則A463cosB,463sinB,即A43,453.

令Cx,0,則中點(diǎn)D23+12x,253.

又∵BD=5,∴x=2.(以下同法一)

例2

分析一 利用平面幾何構(gòu)造“X”型相似,把分散的條件集中起來.

方法一 ∵tan∠BAD=12,tan∠CAD=13,

∴tan∠BAC=12+131-12×13=1,∴∠BAC=π4.

過點(diǎn)C作CE∥AB與AD的延長線交于點(diǎn)E,則△ABD∽△ECD且相似比為2.在△AEC中,由正弦定理可知

3sin3π4=EC110,

∴EC=355,

∴AB=655.

分析二 利用平面幾何作輔助線,構(gòu)造“A”型相似.

方法二 過D點(diǎn)作DF∥AC與AB交于F點(diǎn),

所以△ABC∽△BDF,且相似比為32.

在△ADF中,sin∠FAD=15,AD=2,sin∠ADF=110.

由正弦定理可知

2sin3π4=AF110,∴AF=255,∴AB=655.

分析三 運(yùn)用“方程組思想”.

方法三 在△ABD中,由正弦定理可知:

ABsin∠BDA=BDsin∠BAD,即ABsin∠BDA=5BD ①.

在△ADC中,由正弦定理可知:

ACsin∠CDA=CDsin∠CAD,

即ACsin∠CDA=10CD ②.

又因?yàn)锽D=2DC,①÷②得AB=2AC.

由法一知∠BAC=π4,則△ABC是等腰直角三角形.如圖10,在Rt△ACD中,由勾股定理有b2+(b3)2=22,得b=325,從而AB=2b=655.

分析四 當(dāng)?shù)玫紸B=2AC,也可以用分割

法求解.

方法四 由法三可知,AB=2AC,過D點(diǎn)作DF∥AC與AB交于F點(diǎn),所以△ABC∽△BDF,且相似比為32.

令A(yù)C=b,則AB=2b,DF=23b,AF=2b3,cos∠BAD=255.在△ADF中由余弦定理可解得b=3105,∴AB=655.

分析五 運(yùn)用“方程組思想”.

方法五 在△ABC和△ACD中,由正弦定理可知:

ABsin∠ACB=BCsin∠BAC ①,ADsin∠ACB=CDsin∠CAD ②.

①÷②得AB=655.

四、總結(jié)提升

總之,八仙過海,各顯神通,一切知識(shí)可以“拿來主義”為我所用,數(shù)學(xué)知識(shí)到了頂層就可以說界線模糊.波得亞說過:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是加強(qiáng)解題訓(xùn)練,但是數(shù)學(xué)老師如何才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)不掉入“題海”之中,關(guān)鍵在于對(duì)問題的全面深入研究,教給學(xué)生解決問題的本質(zhì),思路的來源,讓一切奇思妙想有跡可循,順理成章.讓思考成為學(xué)生的技能,讓學(xué)生熟練運(yùn)用自主思考.這樣學(xué)生才可以舉一反三,觸類旁通,達(dá)到“做一個(gè),會(huì)一片,懂一類”,這樣才能保證教學(xué)的有效性.

參考文獻(xiàn):

[1]李寧.方程思想在解三角形求值問題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究,2019(22):6-7.

[責(zé)任編輯:李 璟]

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