李葉 薛紅霞

摘 ?要：以2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷為主并兼顧其他試卷，從題型分值、難度分布、思想方法、核心素養(yǎng)、新高考的命題特點(diǎn)和考查要求等角度出發(fā)，橫向比較分析了數(shù)列試題的考查內(nèi)容和命題特點(diǎn)，從基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性等方面進(jìn)行了命題分析. 鑒于此，提出了2021年高考數(shù)列專題的命題趨勢和復(fù)習(xí)備考建議，并編擬了數(shù)列模擬題.

關(guān)鍵詞：2020年高考;數(shù)列;命題分析;復(fù)習(xí)建議

2020年高考數(shù)學(xué)試題數(shù)列部分繼續(xù)堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，試題重視數(shù)學(xué)本質(zhì)、突出理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究的科學(xué)素養(yǎng)，體現(xiàn)了對學(xué)生關(guān)鍵能力的考查，形成了素養(yǎng)與能力并舉、知識與應(yīng)用結(jié)合的命題特點(diǎn). 同時(shí)，試題密切聯(lián)系實(shí)際生活，讓學(xué)生體會(huì)生活中數(shù)學(xué)的存在、作用和魅力，激發(fā)學(xué)生的思考熱情和科學(xué)精神.

一、考查內(nèi)容分析

1. 題型、題量和分值基本保持穩(wěn)定

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容是等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩類最重要、最基本的數(shù)列模型. 2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷的命題規(guī)律與往年類似，各份試卷中的數(shù)列試題題型各不相同：全國Ⅰ卷文科包括1道選擇題和1道填空題，理科包括1道解答題;全國Ⅱ卷文科包括1道選擇題和1道填空題，理科包括2道選擇題;全國Ⅲ卷文科包括1道解答題，理科包括1道解答題. 堅(jiān)持了以往有2道選擇題或填空題則沒有解答題、有1道解答題則沒有選擇題或填空題的命題規(guī)律. 每道選擇題或填空題的分值是5分，解答題的分值是12分. 據(jù)此可以估計(jì)全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷中數(shù)列試題所占的分值在10 ～ 12分，分值保持了穩(wěn)定. 其他試卷中基本包括1道選擇題或填空題，1道解答題，分值因試卷而異.

2. 難度分布從易到難

全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷中數(shù)列試題的難度一般以容易題和中檔題為主. 選擇題和填空題遍布容易題、中檔題和難題;解答題則為容易題或中檔題. 以全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷為例，可以根據(jù)各種題型試題的位置判斷其難易定位，具體如下表所示.

數(shù)列的選擇題分布在試卷第4題 ～ 第10題的位置上，涵蓋了簡單題、中檔題和較難題. 填空題主要為中檔題或難題. 與往年相比，2020年的數(shù)列解答題都出現(xiàn)在第17題的位置，屬于中檔題.

其他7份試卷的難易度特征與上述三套試卷不盡相同：全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷中數(shù)列試題的位置稍靠后，屬于中檔題;江蘇卷、上海卷、北京卷中的數(shù)列解答題位置靠后，屬于難度較大的壓軸題.

3. 考點(diǎn)與內(nèi)容覆蓋全面

本部分的考點(diǎn)涵蓋了數(shù)列全部內(nèi)容. 2020年高考全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷中共有9道數(shù)列試題，考點(diǎn)與內(nèi)容主要包括：（1）等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式;（2）等差（比）數(shù)列的概念的判定和性質(zhì);（3）數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)列命題中的應(yīng)用;（4）能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差（比）關(guān)系，并能用等差（比）數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)問題;（5）數(shù)列的綜合應(yīng)用. 其中，等差（比）數(shù)列的概念及性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等仍是考查的重點(diǎn). 而很多試題與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等在知識的交會(huì)處命題. 例如，全國Ⅰ卷文科第16題;全國Ⅲ卷理科第17題，文科第17題. 從總體上看，2020年高考數(shù)學(xué)試卷數(shù)列試題考點(diǎn)分布清晰，延續(xù)了前幾年的考查方向和命題風(fēng)格，更進(jìn)一步突出了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，突出體現(xiàn)了考查數(shù)列的基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性，如北京卷第21題.

4. 思想方法分析

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，蘊(yùn)涵著極其豐富的思想方法. 因此，如果能夠有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題、解決問題，不僅能夠強(qiáng)化學(xué)生的解題意識，而且對快速、巧妙地解題也大有裨益. 2020年的高考試題以等差（比）數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為載體，加強(qiáng)了對數(shù)學(xué)基本思想和基本方法的考查. 現(xiàn)就2020年高考數(shù)列試題中體現(xiàn)明顯的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行闡述.

（1）函數(shù)與方程思想.

等差（比）數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式、前[n]項(xiàng)和公式集中了等差（比）數(shù)列的五個(gè)基本元素[a1，d]（或[q]），[n，an，Sn]之間的關(guān)系.“知三求二”是等差（比）數(shù)列中最基本的題型. 方程思想就是根據(jù)題目中已知量和未知量之間的等量關(guān)系，列出方程（或方程組），通過研究方程（或方程組），以求得問題的解決. 在數(shù)列中體現(xiàn)為根據(jù)已知條件，利用等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，或等差（比）數(shù)列的基本性質(zhì)，構(gòu)造方程（或方程組）解題. 例如，全國Ⅰ卷文科第16題、理科第17題，全國Ⅱ卷文科第6題和第14題、理科第4題和第6題，全國Ⅲ卷文科第17題.

從函數(shù)觀點(diǎn)來看，數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集或它的有限子集[1，2，3，…，n]上的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)得到相應(yīng)的一列函數(shù)值. 在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中也提出了“了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性”的要求. 而且利用函數(shù)思想，通過函數(shù)形式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解數(shù)列題，思路自然、方法簡潔. 2020年的高考數(shù)學(xué)試卷中，對此進(jìn)行了重點(diǎn)考查，如北京卷第8題.

（2）轉(zhuǎn)化與化歸思想.

轉(zhuǎn)化與化歸思想是在研究和解決有關(guān)問題時(shí)把待解決或難解決的問題通過某種方式轉(zhuǎn)化為已解決或比較容易解決的問題的一種思維方式.

在數(shù)列問題中常見的轉(zhuǎn)化類型有：把復(fù)雜的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列問題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題等. 常見的轉(zhuǎn)化方法包括構(gòu)造法、換元法、待定系數(shù)法等. 應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題的原則是化難為易、化生為熟、化繁為簡，并保持等價(jià)轉(zhuǎn)化. 例如，全國Ⅱ卷理科第4題以天壇的圜丘壇為背景，將數(shù)學(xué)與中國古代文化相結(jié)合，學(xué)生認(rèn)真閱讀題干并進(jìn)行分析后，可以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題，進(jìn)而與等差數(shù)列聯(lián)系起來求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.

運(yùn)用到轉(zhuǎn)化與劃歸思想的試題還包括全國Ⅱ卷理科第6題、全國Ⅲ卷理科第17題和北京卷第21題等.

（3）分類與整合思想.

分類是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中的基本邏輯方法. 數(shù)學(xué)中的許多問題都離不開分類討論，而且分類討論能很好地考查學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性. 分類討論需要從具體問題出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究. 有分有合、先分后合是分類整合思想的本質(zhì)屬性. 運(yùn)用到分類與整合思想的試題包括全國Ⅰ卷文科第16題、全國新高考Ⅰ卷第18題、北京卷第21題等.

（4）注重通性、通法.

2020年高考數(shù)學(xué)試題繼續(xù)堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，試題重視數(shù)學(xué)本質(zhì)、突出理性思維，解題越來越注重通性、通法. 例如，在考查數(shù)列求和問題時(shí)重點(diǎn)考查了等差（比）數(shù)列的求和公式及求和方法（裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法）等，指導(dǎo)學(xué)生要回歸教材、注重基礎(chǔ). 其中，全國Ⅰ卷理科第17題和全國Ⅲ卷理科第17題都考查了錯(cuò)位相減法.

5. 文、理科試題存在一定差異

綜觀2020年全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷，文、理科試題的命題背景和知識點(diǎn)同根、同源，但具體考查形式上有差異，并且三套試卷特點(diǎn)也不相同.

全國Ⅰ卷的文、理科試卷出現(xiàn)了不同的考查形式，理科第17題是基礎(chǔ)題;文科第16題不僅考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用、數(shù)列的并項(xiàng)求和，而且還考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.

全國Ⅱ卷文、理科試題也有差異. 理科第4題和第12題考查了學(xué)生的閱讀理解能力、知識遷移能力和分析探究能力. 其中，理科第6題考查利用等比數(shù)列求和公式求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵在于求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題;文科第6題和第14題主要考查了求等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，解題的關(guān)鍵是掌握等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生分析問題的能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

全國Ⅲ卷理科第17題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題;文科第17題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、命題思路分析

對2020年高考13份試卷中的23道數(shù)列試題進(jìn)行分類整理后，可以發(fā)現(xiàn)全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷數(shù)列試題形成了“素養(yǎng)與能力并舉，知識與應(yīng)用結(jié)合”的命題特點(diǎn)，試卷命題兼具基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，難度合理、區(qū)分度強(qiáng)，很好地起到了檢驗(yàn)和選拔的作用，同時(shí)也為即將進(jìn)行高考改革地區(qū)的命題方向進(jìn)行了很好的鋪墊，對一線教師和學(xué)生具有很好的指導(dǎo)意義.

全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）本著新高考“一核”“四層”“四翼”的評價(jià)理念，注重學(xué)科特點(diǎn)，從學(xué)科思維價(jià)值和整體高度的角度出發(fā)，突出了數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)性和綜合性，以數(shù)列的重點(diǎn)知識和主干知識為主體，著意將數(shù)學(xué)知識、能力與素質(zhì)融為一體，全面檢測了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在知識交會(huì)處設(shè)計(jì)試題，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到必要的深度.

《標(biāo)準(zhǔn)》要求：了解數(shù)列的概念;探索并掌握等差（比）數(shù)列的變化規(guī)律，建立通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式;能運(yùn)用等差（比）數(shù)列解決簡單的實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用;了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.

綜觀這23道數(shù)列試題，為了實(shí)現(xiàn)考查內(nèi)容和考查要求，以試題情境為載體，分別從課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境、生活實(shí)際情境出發(fā)，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，使得高考數(shù)學(xué)試題更能深刻、精準(zhǔn)地反映學(xué)生獨(dú)立分析問題、解決問題的能力.

1. 突出基礎(chǔ)性，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)扎實(shí)

數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情境包括數(shù)學(xué)概念建構(gòu)、數(shù)學(xué)原理習(xí)得、數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)推理學(xué)習(xí)等，關(guān)注已有知識的基礎(chǔ)和準(zhǔn)備程度，主要是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 2020年的高考數(shù)列試題努力創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，承載數(shù)列的重點(diǎn)考查內(nèi)容，突出高考基礎(chǔ)性的要求.

例1 （全國Ⅰ卷·文10）設(shè)[an]是等比數(shù)列，且[a1+][a2+a3=1，a2+a3+a4=2，] 則[a6+a7+a8]的值為（ ? ?）.

（A）12 ? （B）24 ? （C）30 ? （D）32

【評析】此題是典型的基本量計(jì)算題，突出基礎(chǔ)性. 但是設(shè)計(jì)巧妙，既可以利用等比數(shù)列的基本量來正向求解，也可以從問題的全局出發(fā)，依據(jù)題干中的某些條件，利用等比數(shù)列的性質(zhì)“若[an]是等比數(shù)列，則[an+an+1+an+2]也是等比數(shù)列”求解. 變換思考問題的角度，整體處理，簡化問題，減少運(yùn)算量，從而使解法變得簡潔.

類似試題還包括全國Ⅱ卷文科第6題、第14題，浙江卷第11題，上海卷第8題，全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第14題等. 一方面，全面考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);另一方面，有助于學(xué)生在考場上平復(fù)心態(tài)，正常穩(wěn)定地發(fā)揮自身實(shí)力，增強(qiáng)了試卷的信度，為高校選才提供了關(guān)于學(xué)生應(yīng)對大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備程度的依據(jù).

例2 （全國Ⅰ卷·理17）設(shè)[an]是公比不為1的等比數(shù)列，[a1]為[a2，a3]的等差中項(xiàng).

（1）求[an]的公比;

（2）若[a1=1，] 求數(shù)列[nan]的前[n]項(xiàng)和.

【評析】數(shù)列的概念、等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式這三部分是數(shù)列部分的骨干知識，屬于高考必考內(nèi)容. 而高考數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的通用性和工具性，關(guān)注學(xué)生未來工作和學(xué)習(xí)所必須具備的知識基礎(chǔ)和學(xué)科主干內(nèi)容. 通過全面、系統(tǒng)地考查核心概念、基本原理、基本方法，使學(xué)生形成牢固的知識根基，掌握解決問題的工具. 此題的第（1）小題由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立關(guān)于公比q的方程，求解即可得出結(jié)論;第（2）小題可由第（1）小題結(jié)合條件得出[an]的通項(xiàng)，根據(jù)[nan]的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法即可求出結(jié)論，是典型的等差（比）數(shù)列的基本量計(jì)算題. 考查了方程思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題. 解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的求和方法和求和公式，并能靈活運(yùn)用.

類似試題還包括全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第18題，全國Ⅲ卷文科第17題，考查數(shù)列的基礎(chǔ)內(nèi)容，都是從熟悉的情境中考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識的關(guān)鍵能力. 全國Ⅲ卷理科第17題更突出了新高考的要求，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)列問題，更加適應(yīng)終身學(xué)習(xí)的時(shí)代要求，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 突出綜合性，強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通

高中數(shù)學(xué)的綜合性強(qiáng)調(diào)觸類旁通、融會(huì)貫通. 以必備知識為例，各個(gè)知識點(diǎn)之間不是孤立的，而是處于整體知識網(wǎng)絡(luò)中，從高考試題中我們能感受到試題從知識的完整性出發(fā)，對學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行融合，對學(xué)生的綜合素質(zhì)進(jìn)行全面考查，促進(jìn)了學(xué)生從整體上建構(gòu)知識框架.

例3 （全國Ⅰ卷·文16）數(shù)列[an]滿足[an+2+][-1nan=3n-1，] 前16項(xiàng)和為540，則[a1]的值為 ? ? ?.

【評析】數(shù)列既可以獨(dú)立命題，用來考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，也可以依托其他數(shù)學(xué)知識，在思想方法和數(shù)學(xué)能力之間交會(huì)命題，從而實(shí)現(xiàn)高考數(shù)學(xué)全面考核知識的目標(biāo)，體現(xiàn)對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查. 此題在考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用和數(shù)列并項(xiàng)求和基礎(chǔ)上，考查了分類討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)，屬于較難題. 由此可見，數(shù)列可以與其他知識相結(jié)合，形成具有內(nèi)在邏輯關(guān)系的整體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.

類似試題還包括北京卷第8題，雖然屬于中檔題，但是所求結(jié)論由學(xué)生熟悉的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值變?yōu)榍蟮炔顢?shù)列前n項(xiàng)積的最值問題，基于學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向確定了此題所考查的關(guān)鍵能力和必備知識;全國Ⅱ卷理科第6題、浙江卷第7題、江蘇卷第11題引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從“解題”轉(zhuǎn)向“解決問題”，從“做題”轉(zhuǎn)向“做人做事”，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的理性思維能力.

例4 （全國新高考Ⅰ卷·18）已知公比大于[1]的等比數(shù)列[an]滿足[a2+a4=20，a3=8.]

（1）求[an]的通項(xiàng)公式;

（2）記[bm]為[an]在區(qū)間[0，m m∈N*]中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列[bm]的前[100]項(xiàng)和[S100.]

【評析】此題屬于中檔題. 第（1）小題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式;第（2）小題通過分析數(shù)列[bm]的規(guī)律，求得數(shù)列[bm]的前[100]項(xiàng)和[S100，] 是數(shù)列求和的綜合應(yīng)用. 第（2）小題將考查的重點(diǎn)放在了在考查能力和素養(yǎng)的過程中必須具備的可遷移的知識上，考查學(xué)生在復(fù)雜的情境中解決問題的能力，對學(xué)科素養(yǎng)的考查綜合性更強(qiáng)，具有比較好的區(qū)分度.

類似試題還包括天津卷第19題、浙江卷第20題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論的數(shù)學(xué)思想，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3. 注重創(chuàng)新性，強(qiáng)調(diào)靈活性

強(qiáng)調(diào)對知識的靈活應(yīng)用，需要學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行拓展及創(chuàng)新性運(yùn)用，需要重新建立數(shù)學(xué)模型. 創(chuàng)新性的考查要有創(chuàng)新情境，數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境包括推演數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)探究、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等，這些情境關(guān)注與未來學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)和對數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部更深入的探索，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體. 進(jìn)而考查學(xué)生的理性思維素養(yǎng)、數(shù)學(xué)探究素養(yǎng)和創(chuàng)新能力. 高中數(shù)學(xué)學(xué)科提出5項(xiàng)關(guān)鍵能力：邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力. 其中，前4項(xiàng)關(guān)鍵能力具有鮮明的數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的能力，也是數(shù)學(xué)教學(xué)著力培養(yǎng)的能力，而創(chuàng)新能力集中反映高考數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，以及高校人才選拔的要求和國家選才的意志.

例5 （上海卷·21）有限數(shù)列[an，] 若滿足[a1-a2≤a1-a3≤ … ≤a1-am，] [m]是項(xiàng)數(shù)，則稱[an]滿足性質(zhì)[p.]

（1）判斷數(shù)列[3，2，5，1]和[4，3，2，5，1]是否具有性質(zhì)[p，] 試說明理由.

（2）若[a1=1，] 公比為[q]的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)[p，] 求[q]的取值范圍.

（3）若[an]是[1，2， … ，m]的一個(gè)排列[m≥4，bk=][ak+1 k=1，2，…，m-1， an， bn]都具有性質(zhì)[p，] 求所有滿足條件的[an.]

【評析】此題作為上海卷的壓軸題，是一道以數(shù)列為探索情境的經(jīng)典試題，其突出創(chuàng)新性，達(dá)到了考查學(xué)生探究能力的目的. 這種創(chuàng)新是開放的，也是有價(jià)值的. 學(xué)生面對創(chuàng)新試題時(shí)，可以遷移原有概念的形成過程和原有的原理來解決問題;有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，強(qiáng)化對新定義的理解，要求透過現(xiàn)象看本質(zhì).

類似試題還包括江蘇卷第20題、北京卷第21題. 意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力，突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn).

4. 突出應(yīng)用性，強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用

高考數(shù)學(xué)的應(yīng)用性強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用，高考試題通過聯(lián)系生產(chǎn)、生活實(shí)際的試題情境設(shè)計(jì)，將抽象的數(shù)學(xué)概念與實(shí)際生活相結(jié)合，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、思想和方法對實(shí)際問題進(jìn)行分析與研究，進(jìn)而解決問題，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)、理性思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的重要載體.

例6 （全國Ⅱ卷·理4）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所（如下圖），分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（ ? ?）.

【評析】此題的情境是0 - 1周期序列在通信技術(shù)中的應(yīng)用，而這也是當(dāng)今學(xué)生關(guān)注的話題，“新題”不一定是“難題”，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶. 此題考查數(shù)列新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

三、復(fù)習(xí)建議

如今的高中生應(yīng)該如何做好未來學(xué)習(xí)的規(guī)劃，有效提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維和能力？筆者在這里給出幾點(diǎn)建議.

1. 回歸教材，重視基礎(chǔ)，關(guān)注公式、概念、定理、定義的生成過程與原理

掌握基礎(chǔ)內(nèi)容，面對基礎(chǔ)題時(shí)，才能得心應(yīng)手，快速解決;面對創(chuàng)新題時(shí)，才可以遷移原有概念的形成過程及原理解決問題;面對較難的綜合題時(shí)，才有能力快速分解題目，產(chǎn)生思路，逐一破解.

2. 培養(yǎng)能力、注重思維，訓(xùn)練試驗(yàn)探究的精神

試題是不斷變化的，解題訓(xùn)練的目的也不是背題目、背題型，而是要挖掘解題背后的思維邏輯，強(qiáng)化分析試題的過程，這樣才能在面對創(chuàng)新題、綜合題、變式題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維分析破解.

3. 觀察生活、抽象提煉，分析有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)在日常生活中是無處不在的，音樂中有數(shù)學(xué)、美術(shù)中也有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)也蘊(yùn)含在建筑、交通、貿(mào)易、游戲等各種生活場景中，學(xué)生應(yīng)該有意識地主動(dòng)發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，并用所學(xué)的知識加以分析、嘗試解決. 久而久之，就能夠形成較好的數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用思維，這不僅有助于解題，更有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

四、模擬題欣賞

1. 九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲. 在某種玩法中，用[an]表示解下[n n≤9，n∈N*]個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，[an]滿足[a1=1，] 且[an=2an-1-1，n為偶數(shù)，2an-1+2，n為奇數(shù).] 則解下[4]個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（ ? ?）.

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