王曉光 梁豪豪

摘 ?要：通過(guò)對(duì)2020年各份高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列試題的對(duì)比研究，可以看到，2020年高考依然覆蓋了數(shù)列的全部知識(shí)點(diǎn)，包括等差（比）數(shù)列中基本量的運(yùn)算、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式的綜合應(yīng)用，以及利用新定義考查數(shù)列的定義等. 注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，如方程思想、類(lèi)比思想、數(shù)學(xué)建模思想、分類(lèi)討論思想等. 亮點(diǎn)頻現(xiàn)，更注重了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.

關(guān)鍵詞：數(shù)列;試題分析;解法分析;回歸基礎(chǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)中重要的研究對(duì)象，是研究其他類(lèi)型函數(shù)的基本工具，是反映自然界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，在高考中占有較大的比重和較重要的考查地位. 2020年的各份高考數(shù)學(xué)試卷中對(duì)數(shù)列的考查既有比較容易的基礎(chǔ)題，也有要求較高的壓軸題. 下面分三個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行分析.

一、試題分析

綜觀2020年高考數(shù)列試題，主要是以基礎(chǔ)知識(shí)為載體考查基本能力，題型涉及選擇題、填空題及解答題，主要圍繞等差（比）數(shù)列基本量的運(yùn)算，等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，新定義數(shù)列的考查及數(shù)列求和、求通項(xiàng)的綜合應(yīng)用這幾方面考查. 同時(shí)，注重考查分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸、類(lèi)比、歸納推理等重要數(shù)學(xué)思想.

【評(píng)析】等差（比）數(shù)列的性質(zhì)也是在高考中經(jīng)常考查的知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用它們解決數(shù)列問(wèn)題往往可以收到簡(jiǎn)化運(yùn)算、提高運(yùn)算效率的效果. 近幾年的高考對(duì)等差（比）數(shù)列性質(zhì)的考查形式越來(lái)越新穎，2020年全國(guó)Ⅱ卷理科第4題以實(shí)際生活做背景，而此題是利用等差數(shù)列構(gòu)造另一個(gè)數(shù)列來(lái)考查，對(duì)學(xué)生的能力又提出了更高的要求. 類(lèi)似的還有北京卷第8題. 在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多觀察發(fā)現(xiàn)等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，并靈活應(yīng)用.

3. 利用新定義的數(shù)列考查數(shù)列相關(guān)知識(shí)和能力

【評(píng)析】利用新定義考查數(shù)列的相關(guān)知識(shí)是近幾年高考中經(jīng)常出現(xiàn)的試題類(lèi)型，通過(guò)數(shù)列綜合應(yīng)用旨在考查學(xué)生閱讀理解、抽象概括、邏輯推理、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 這類(lèi)試題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生能在短時(shí)間內(nèi)提取出題目中的關(guān)鍵信息，轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的數(shù)列知識(shí)，對(duì)學(xué)生全方位能力提出了較高要求.

4. 數(shù)列求通項(xiàng)公式、求和公式的綜合運(yùn)用

【評(píng)析】已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式是考查學(xué)生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況的又一種重要方式，常用到累加法、累乘法、分奇偶項(xiàng)討論等具體方法，這些在各份高考試卷中都有所體現(xiàn). 數(shù)列求和問(wèn)題，?？嫉姆椒ㄓ绣e(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法，這些方法在日常教學(xué)中處于非?；镜牡匚? 全國(guó)新高考Ⅰ卷第18題第（2）小題，若用列舉歸納法，則會(huì)變得相對(duì)簡(jiǎn)單. 因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)教材內(nèi)容的教學(xué)，重視對(duì)教材中習(xí)題的引申和適當(dāng)變形;全國(guó)Ⅲ卷理科第17題考查了數(shù)學(xué)歸納法，這道題如果不用數(shù)學(xué)歸納法，而采用別的證明方法，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)就會(huì)困難得多. 高考試題對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的全面考查，對(duì)今后的教學(xué)有很好的導(dǎo)向和促進(jìn)作用.

二、解法分析

1. 方程思想

【評(píng)析】此題背景新穎，利用了北京天壇的圜丘壇. 處理此類(lèi)題型的關(guān)鍵在于讀懂題意，并能從具體情境中提煉出數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造相應(yīng)的模型，進(jìn)而求解. 分析題意可知此題考查的是“等差數(shù)列的‘等段和’仍為等差數(shù)列”這一知識(shí)點(diǎn). 只要分析清楚該等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差及項(xiàng)數(shù)，便可順利解決此題. 此題也是借助實(shí)際背景考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的問(wèn)題.

4. 分類(lèi)討論思想

【評(píng)析】此題第（2）小題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積構(gòu)成的新數(shù)列的求和問(wèn)題. 這正是教師在平常教學(xué)中強(qiáng)調(diào)得比較多的錯(cuò)位相減法. 解題思路比較簡(jiǎn)單，但是運(yùn)算量稍大，尤其是等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)，給運(yùn)算又帶來(lái)了一些困難. 當(dāng)然也可以用方法2求解，利用待定系數(shù)法把此數(shù)列寫(xiě)成一個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)減前一項(xiàng)的形式，再用疊加法求得，利用此法運(yùn)算量稍小.

【評(píng)析】此題設(shè)計(jì)得非常巧妙，很多學(xué)生看到條件[am+n=aman]會(huì)感覺(jué)比較陌生，但是當(dāng)取[m=1]時(shí)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，由等比數(shù)列的定義就可以判斷出[an]是等比數(shù)列，然后再用等比數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式即可解得[k=4.] 此題的亮點(diǎn)在于巧妙地考查了等比數(shù)列的定義.

總之，2020年高考中，數(shù)列考點(diǎn)變化不大. 從知識(shí)結(jié)構(gòu)角度來(lái)看，回歸教材、重視基礎(chǔ)，考查了數(shù)列的核心知識(shí)及本質(zhì)特征，兼顧了數(shù)列與其他知識(shí)的綜合;從方法能力角度來(lái)看，靈活多樣、突出本質(zhì)，考查了數(shù)列的基本思想和方法，兼顧數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的發(fā)展.

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