顧瑋楠

摘? 要：數(shù)學(xué)教師研究學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程，才真正地抓住了數(shù)學(xué)建模教學(xué)的關(guān)鍵。從模型建構(gòu)的角度來看：將學(xué)生思維加工的素材變成大腦中清晰的表象，然后尋找到判斷位置與方向的方法，才能夠幫學(xué)生建立起模型認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知過程是：首先是知覺啟動(dòng)，然后是圖式激活，再然后是數(shù)學(xué)表征，最后是模型運(yùn)用。教師只有從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度去研究數(shù)學(xué)建模的過程，才能真正掌握數(shù)學(xué)建模的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中可能會(huì)遇到哪些挑戰(zhàn)，而有針對(duì)性地解決這些問題，也才能讓教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)水平日益提升。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;建模過程

數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位一直都是重要的，30多年前，義務(wù)教育各個(gè)學(xué)科曾經(jīng)出版過一套關(guān)于建模的書籍，而事實(shí)上，關(guān)于數(shù)學(xué)建模的研究，在那之前早就開始了。直到今天數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提出，數(shù)學(xué)建模依然在其中占有一席之地，而在數(shù)學(xué)教師的教學(xué)研究情境中，數(shù)學(xué)建模更是作為一個(gè)掛在口頭上的概念而頻頻被提及。

什么是數(shù)學(xué)建模？數(shù)學(xué)建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想、方法和知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的過程。這是一個(gè)非常學(xué)術(shù)的表達(dá)，甚至因?yàn)檫^于學(xué)術(shù)化，而顯得有些不接地氣。相信多數(shù)一線教師是不喜歡這樣的表達(dá)的，如果思考得更加深刻一些，還會(huì)發(fā)現(xiàn)其中存在著另外一個(gè)問題：如果說教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解因?yàn)楦拍罨?、學(xué)術(shù)化而有些模糊的話，那么又如何真正認(rèn)識(shí)到學(xué)生的建模過程是怎樣的呢？要知道，作為一個(gè)數(shù)學(xué)教師，如果不知道學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程是怎樣的，那么數(shù)學(xué)建模的教學(xué)就難免以己昏昏而使生昭昭了。因此筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師研究學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程，才真正地抓住了數(shù)學(xué)建模教學(xué)的關(guān)鍵，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)建模的研究成果，可以說是車載斗量，而將目光鎖定在學(xué)生建模過程的研究并不多見，筆者不揣淺陋，決定做一個(gè)嘗試。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)建模理解：從宏觀到微觀

首先可以肯定的是，數(shù)學(xué)建模對(duì)于小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，意義是不言而喻的。將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程，能較好地簡化抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，有利于構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，樹立學(xué)生信心，提升學(xué)生課堂參與度，從而提高教學(xué)效率。可以說這是一個(gè)比較公認(rèn)的判斷，但筆者仍然想強(qiáng)調(diào)，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)建模的理解，仍然應(yīng)該更細(xì)致一些，應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持從宏觀到微觀，只有體察入微，才能知道學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中會(huì)經(jīng)歷了一些思考，會(huì)遇到哪些困難，教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)才能真正做到有的放矢。也就是說，教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，不僅要重視其結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生自主建立數(shù)學(xué)模型的過程，從而讓學(xué)生在進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的過程中科學(xué)地、合理地、有效地建立數(shù)學(xué)模型。

例如，在“位置與方向”的教學(xué)中，幫學(xué)生認(rèn)識(shí)位置與方向，看起來是一個(gè)常識(shí)教學(xué)，實(shí)際上卻是為了幫學(xué)生建立模型。有經(jīng)驗(yàn)的小學(xué)教師都知道，相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)位置與方向的判斷是模糊的，不少學(xué)生甚至到小學(xué)畢業(yè)都難以迅速地判斷東西南北，在讓人啼笑皆非的同時(shí)，卻又應(yīng)當(dāng)引發(fā)思考：位置與方向的教學(xué)，如何才能在數(shù)學(xué)建模的思路之下，更好地達(dá)成預(yù)期的效果。

筆者的觀點(diǎn)仍然是，要從微觀的視角研究學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程。在“位置與方向”的教學(xué)中，教材給學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)具體的情境（如圖1），然后讓學(xué)生根據(jù)太陽的位置以及相關(guān)的說明，去判斷一些建筑物的位置;實(shí)際教學(xué)中，可以將這一畫面轉(zhuǎn)換為學(xué)生的具體學(xué)習(xí)生活環(huán)境素材，如直接向?qū)W生提問：我們上課的教室在學(xué)校的哪個(gè)位置？學(xué)校大門在哪個(gè)方向？……

但是這樣是否就能夠幫學(xué)生建立起位置與方向的認(rèn)識(shí)呢？筆者以為是值得商榷的。筆者研究過：對(duì)于這些問題的回答，回答正確的學(xué)生憑借的是經(jīng)驗(yàn)，回答錯(cuò)誤的學(xué)生缺少的是表象（也可以說是模型認(rèn)識(shí)），因此只是這樣的一問一答，是不足以培養(yǎng)學(xué)生的模型認(rèn)識(shí)的。從模型建構(gòu)的角度來看：將學(xué)生思維加工的素材變成大腦中清晰的表象，然后尋找到判斷位置與方向的方法，才能夠幫學(xué)生建立起模型認(rèn)識(shí)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)建模過程：從現(xiàn)象到本質(zhì)

基于以上分析，教師將研究的視角從宏觀轉(zhuǎn)向微觀，那對(duì)數(shù)學(xué)建模的過程就要從現(xiàn)象轉(zhuǎn)向本質(zhì)。談到本質(zhì)，數(shù)學(xué)教師一般都知道，數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”“建模”的意義上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。而從認(rèn)知的角度去理解并設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模的過程，顯得非常必要。

同樣以“位置與方向”的教學(xué)為例，基于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)設(shè)計(jì)一般是這樣的：

首先，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生判斷位置與方向。這一步以上述第一點(diǎn)中的素材為情境素材，具體不贅述。

其次，數(shù)學(xué)體驗(yàn)，幫學(xué)生建立“位置與方向”表象。這一步主要是在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過畫圖的方法，去將自己對(duì)位置與方向的認(rèn)識(shí)用圖表示出來。這里涉及一些細(xì)節(jié)，比如畫圖時(shí)對(duì)“上北下南、左西右東”方向的確定，又比如將實(shí)際的位置轉(zhuǎn)換為圖上的位置，等等。畫圖實(shí)際上是一個(gè)輸出的過程，也是讓表象變得更加清晰的過程。

再次，數(shù)學(xué)應(yīng)用，幫學(xué)生強(qiáng)化模型認(rèn)識(shí)。這一步強(qiáng)調(diào)的是遷移，也就是讓學(xué)生將自己對(duì)位置與方向的認(rèn)識(shí)，運(yùn)用到新的生活情境當(dāng)中，比如讓學(xué)生拓寬視野，畫出上學(xué)一路標(biāo)志性建筑的位置，等等。

如果說教學(xué)設(shè)計(jì)是現(xiàn)象角度，那么認(rèn)知的角度就是本質(zhì)。數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知解釋是這樣的：首先是知覺啟動(dòng)，然后是圖式激活，再然后是數(shù)學(xué)表征，最后是模型運(yùn)用。從這個(gè)視角去看上述教學(xué)設(shè)計(jì)：利用生活經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)情境實(shí)際上就是為了啟動(dòng)學(xué)生的知覺;而建立表象實(shí)際上就是激活學(xué)生的圖式，如果學(xué)生的圖示不夠完整，那么教師就要在教學(xué)中采用多種方式，如講授或者學(xué)生之間的合作等;當(dāng)圖示完整之后，就要進(jìn)行輸出，這也就是數(shù)學(xué)表征，畫圖就是一種很好的表征方法，尤其適合小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模，即使不是“位置與方向”這樣的知識(shí)，很多時(shí)候也可以選擇畫圖的方法;而最后數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程，首先是為了幫學(xué)生檢驗(yàn)所建立起來的模型是否合理，實(shí)際上不少學(xué)生對(duì)上北下南、左西右東的規(guī)則比較抗拒，他們也確定了自己的表示方法，但是在交流的時(shí)候就出現(xiàn)了困難，于是對(duì)方向的約定俗成，就使得他們改變了原來的思路。

事實(shí)上，通過上述教學(xué)設(shè)計(jì)，小學(xué)生對(duì)位置與方向的確定就進(jìn)入了同一個(gè)模式，自然運(yùn)用的也就是同一種模型，這個(gè)過程如果得到適當(dāng)程度的重復(fù)，學(xué)生對(duì)這個(gè)模型的理解與運(yùn)用就會(huì)變得越來越熟練。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)建模評(píng)價(jià)：從經(jīng)驗(yàn)到解析

作為教學(xué)研究的一部分，對(duì)數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)，影響著教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)。同樣從學(xué)術(shù)語言的角度來看，數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)，在于它更突出地表現(xiàn)了原始問題的分析、假設(shè)、抽象的數(shù)學(xué)加工過程，數(shù)學(xué)工具、方法和模型的選擇分析過程，模型的求解、驗(yàn)證、再分析、修改假設(shè)、再求解的過程，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的關(guān)系。如果將這一學(xué)術(shù)判斷轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗(yàn)判斷，可能更加符合小學(xué)一線教師的需要，只不過這種經(jīng)驗(yàn)判斷不應(yīng)當(dāng)是純粹經(jīng)驗(yàn)的，而應(yīng)當(dāng)是經(jīng)驗(yàn)解析式的。

上述第二點(diǎn)提供的認(rèn)知視角，實(shí)際上就是一種很好的解析工具，甚至可以認(rèn)為認(rèn)知視角下的數(shù)學(xué)建模評(píng)價(jià)，本身就是一種模型：知覺啟動(dòng)——圖式激活——數(shù)學(xué)表征——模型運(yùn)用，就是認(rèn)知視角下數(shù)學(xué)建模模型的初步表述。在這個(gè)模型當(dāng)中，每一個(gè)環(huán)節(jié)以及每一次轉(zhuǎn)換都有著豐富的研究空間：小學(xué)生的知覺如何啟動(dòng)？知覺啟動(dòng)是否必然激活學(xué)生的圖式？用怎樣的數(shù)學(xué)語言去表征形成的圖式？如果建立起來的模型不符合預(yù)期，那該怎么辦？對(duì)這些問題的思考與回答，實(shí)際上就可以驅(qū)動(dòng)教師去研究學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程，同時(shí)也就決定了數(shù)學(xué)建模教學(xué)的質(zhì)量。

筆者在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)數(shù)學(xué)建模評(píng)價(jià)的解析視角，實(shí)際上進(jìn)行過多次比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)從認(rèn)知視角去進(jìn)行解析，要比從經(jīng)驗(yàn)角度去解析可靠的多。當(dāng)然，上述認(rèn)知視角還顯得比較籠統(tǒng)，其中的每一個(gè)環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)換，還存在著豐富的研究細(xì)節(jié)，比如在圖示激活環(huán)節(jié)，學(xué)生可能會(huì)在自己的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中進(jìn)行多次搜索，這里有一個(gè)匹配與識(shí)別的過程，也非常值得研究?？偟膩碚f，教師只有從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度去研究數(shù)學(xué)建模的過程，才能真正掌握數(shù)學(xué)建模的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中可能會(huì)遇到哪些挑戰(zhàn)，而有針對(duì)性地解決這些問題，也才能讓教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)水平日益提升。