萬(wàn)阿英 楊金英 高 陽(yáng)

(呼倫貝爾學(xué)院 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008)

師范專(zhuān)業(yè)認(rèn)證的理念是“學(xué)生中心、產(chǎn)出導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”。作為培養(yǎng)基礎(chǔ)教育師資的高校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)。課程教學(xué)一定要圍繞這一理念進(jìn)行。數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)是傳統(tǒng)師范專(zhuān)業(yè)，數(shù)學(xué)分析又是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，它起到中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)課程的銜接作用。但是由于數(shù)學(xué)分析課程是一門(mén)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、抽象概括的課程。教材的編寫(xiě)多是按著知識(shí)理論的層層遞進(jìn)，強(qiáng)調(diào)邏輯的嚴(yán)密性和知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整性。在教材中，沒(méi)有分析和中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系。由于這門(mén)課程的專(zhuān)業(yè)性和重要性，學(xué)校安排的多是教授或是科研水平高的資深教師講授。教師能夠把這門(mén)課程講授的全面深刻，揭示后續(xù)課程的銜接及前沿理論的鋪墊，可卻恰恰忽略了和中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接。這樣導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)之后，走上工作崗位，不知道如何運(yùn)用所學(xué)的大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)指導(dǎo)教學(xué)，甚至工作幾年后都不重視數(shù)學(xué)分析課程的作用。下面從師范專(zhuān)業(yè)認(rèn)證的理念闡述數(shù)學(xué)分析的知識(shí)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用。

一、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的作用

數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言是表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的工具，中學(xué)生有時(shí)懼怕數(shù)學(xué)很大程度上是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的不理解或者理解不到位，導(dǎo)致不會(huì)解題。在數(shù)學(xué)分析課程中，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用很廣泛。教師結(jié)合中學(xué)知識(shí)去教學(xué)，有利于學(xué)生自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)師范畢業(yè)生將來(lái)從事教學(xué)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在很多高考試題中也鋪墊了對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的考察。很多中學(xué)老師對(duì)此的反思不到位，筆者認(rèn)為與他們接受的高等教育有直接關(guān)系。在接受數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)的過(guò)程中不能很好的體會(huì)理解數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的作用，在職業(yè)生涯中就不能夠舉一反三。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解不到位，就會(huì)找不到解題思路。例如：

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若x1(0,1),x2(1,+∞),求證：

(2)若x1(0,1),x2(1,+∞)，有可以轉(zhuǎn)化為max{f(x)|x進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求f(x)分別在(0,1)和(1,+∞)的最大值。

以上分析，可以看到數(shù)學(xué)語(yǔ)言雖深?yuàn)W卻簡(jiǎn)練，中學(xué)生只要能夠讀懂?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言，逐步轉(zhuǎn)化，非常難解的題也會(huì)迎刃而解。師范專(zhuān)業(yè)的學(xué)生在數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)中，就要體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并且具備文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化能力。在數(shù)學(xué)分析課程里，這樣的訓(xùn)練很多。如，有界函數(shù)的定義：設(shè)f為定義在D上的函數(shù)?！叭舸嬖谡龜?shù)M，使得對(duì)每一個(gè)xD有|f(x)|≤M”則稱(chēng)f為D上的有界函數(shù)。引號(hào)內(nèi)的敘述等價(jià)于?M>0,?xD,有|f(x)|≤M。

這樣改寫(xiě)的訓(xùn)練，表面只是把文字改寫(xiě)為數(shù)學(xué)符號(hào)，但卻更有利于對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，同時(shí)，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的應(yīng)用也能訓(xùn)練學(xué)生抽象思維的能力，提高對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)符號(hào)的理解。所以，在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中，要有意識(shí)的訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言能力。

二、極限思想

極限概念是數(shù)學(xué)分析課程的一個(gè)重要概念，很多的后續(xù)定義均來(lái)自極限。例如導(dǎo)數(shù)的定義，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義，定積分的定義。把握好極限概念的教學(xué)對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)分析具有重大意義。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，雖然沒(méi)有明確提到極限的概念，但是在很多知識(shí)中都有所滲透導(dǎo)數(shù)的概念、切線的定義。如果數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生能夠很好的了解這些數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，將來(lái)成為一名中學(xué)教師也會(huì)得心應(yīng)手、深入淺出的講解這些概念。

在教學(xué)中，關(guān)于正數(shù)的任意性的理解是重點(diǎn)，它的任意小表達(dá)的是無(wú)限接近。在給定之前是任意的，但在分析證明時(shí)，卻把作為常數(shù)。存在N，是要找到N，在確定N的存在性時(shí)。N又和ε有關(guān)，在這部分教學(xué)中，學(xué)生是理解不好，但筆者覺(jué)得只要多花時(shí)間反復(fù)練習(xí)和訓(xùn)練，學(xué)生逐漸地接受。初中的負(fù)數(shù)概念引入，高中的數(shù)列引入，都是經(jīng)歷了這樣的過(guò)程。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象使學(xué)生不好理解，但是它和藝術(shù)的美的熏陶一樣是需要一個(gè)慢慢滲透的過(guò)程。

三、微分學(xué)中值定理的啟示

在中小學(xué)教師資格考試中，曾要考生簡(jiǎn)述拉格朗日微分中值定理與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。很多人感覺(jué)一頭霧水，完全不知道如何解答。原因就在于師范院校在數(shù)學(xué)分析課程中，講授微分中值定理時(shí)沒(méi)有聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，也沒(méi)有很好的引導(dǎo)學(xué)生思考探索這些問(wèn)題。

拉格朗日微分中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：

這樣一個(gè)連接函數(shù)和導(dǎo)數(shù)橋梁的定理，教學(xué)中不能僅局限于定理的內(nèi)容和證明。和中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系也尤為重要，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的瞬時(shí)變化率，而右側(cè)的比值是函數(shù)的平均變化率。在幾何意義上，導(dǎo)數(shù)是切線的斜率，而右側(cè)的比值是割線的斜率。高中學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)的性質(zhì)，可以用拉格朗日中值定理解釋或者去證明。在高等數(shù)學(xué)中利用拉格朗日定理可以證明很多初等函數(shù)的性質(zhì)或者不等式。教學(xué)中的有意引導(dǎo)，可以為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生將來(lái)職業(yè)中做好鋪墊。

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

分析：(1)略；

(2)設(shè)f(x)圖像上任意兩點(diǎn)A,B，原題要證f(x)的任意一條割線的斜率kAB>-1,即是證明f(x)的任意一條切線的斜率k>-1，也就是要證明f(x)>-1,x(0,+∞)恒成立。對(duì)于一個(gè)連續(xù)光滑的函數(shù)曲線來(lái)說(shuō)，任意一條割線都有一條與其斜率相等的切線，這就是數(shù)學(xué)分析中的拉格朗日微分中值定理。本題就是以拉格朗日微分中值定理為背景而設(shè)計(jì)的高考試題。微分中值定理建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁，在微分學(xué)中占有重要的地位，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一。近幾年高考中，出現(xiàn)了不少含有微分中值定理的試題。這類(lèi)試題常以不等式恒成立問(wèn)題為基本切入點(diǎn)，具有一定的難度和深度，可以較好地甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中恰當(dāng)引入高中數(shù)學(xué)題，使數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生切實(shí)感受到高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系。

例3.(2010遼寧)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，

(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2) 設(shè)a<-1，如果對(duì)任意x1,x2(0,+∞)，都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立，求a的取值范圍。

分析：(1)略；

(2)由拉格朗日微分中值定理，知

?x0(0，+∞)，使得使得，

由|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-X2|,得

|f(X0)|≥4，由(1)知f(x)<0

四、 微元法與數(shù)學(xué)建模

中學(xué)新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，高考也加大了對(duì)應(yīng)用型題目的考察。

積分學(xué)中的微分法可以說(shuō)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想的最好內(nèi)容。在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)過(guò)程中，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，對(duì)將來(lái)從事教學(xué)會(huì)有很大幫助。

例如，變力所做的功：設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿x軸由點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b，并設(shè)F處處平行于x軸。如果F是常力，則它對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為W=F(b-a)。如果F是變力，它連續(xù)依賴(lài)于質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)x，即F=F(X),X[a,b]為一連續(xù)函數(shù)，此時(shí)F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功W的計(jì)算，把[a,b]細(xì)分為n個(gè)小區(qū)間[xi-1],△xi=xi-xi-1,i=1,2,…,n;并在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi，就有F(x)≈F(ξi),x[xi-1,xi],i=1,2,…,n。于是，質(zhì)點(diǎn)從xi-1位移到xi時(shí)，力F所做的功就近似等于F(ξi)△xi，從而從這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象出定積分的定義，這就是一種數(shù)學(xué)建模必經(jīng)之路，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后用數(shù)學(xué)方法解決。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)對(duì)于師范生將來(lái)從事教學(xué)非常重要。近年來(lái)高考題中，出現(xiàn)很多這樣的問(wèn)題。中學(xué)生親自體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，深刻感受數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，對(duì)激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及主動(dòng)性起著十分關(guān)鍵的作用。

另外，很多人經(jīng)歷了長(zhǎng)達(dá)十幾年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，然而數(shù)學(xué)知識(shí)很大部分在工作、生活中難以得到有效應(yīng)用，這也是有些中學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困惑。師范專(zhuān)業(yè)的學(xué)生首先要自己能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)人的成長(zhǎng)所起的作用，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)素養(yǎng)無(wú)時(shí)無(wú)刻的存在于工作、生活中，影響著甚至改變著每個(gè)人。才能在將來(lái)的職業(yè)生涯中影響學(xué)生。

數(shù)學(xué)建模就是聯(lián)系現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間的橋梁，它是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去表述和解決的過(guò)程.為順應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需求，數(shù)學(xué)教育越來(lái)越重視學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng).

五、 數(shù)學(xué)史融入教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中已得到廣泛重視，在高考試題中也有所體現(xiàn)?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中”。高中課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確提出了“數(shù)學(xué)史”。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要部分，可見(jiàn)，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透非常值得關(guān)注。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，通過(guò)了解數(shù)學(xué)曲折的發(fā)展歷史，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析的理解和數(shù)學(xué)分析價(jià)值的認(rèn)識(shí)。

在數(shù)學(xué)分析中，極限概念的引入，一定要提到我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽，他撰寫(xiě)的著作《九章算術(shù)注》是我國(guó)寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。其中提出“割圓術(shù)”來(lái)求圓周率，這是極限思想的開(kāi)始。劉徽用單位圓的內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)近似圓的周長(zhǎng)，如此不斷地分割下去，一直到圓周無(wú)法分割為止，多邊形的周長(zhǎng)就等于圓的周長(zhǎng)。在無(wú)限的過(guò)程中就體現(xiàn)了極限的思想，由近似到相等，發(fā)生了質(zhì)變。

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)史可作為數(shù)學(xué)教育的指南。學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的困難，也是數(shù)學(xué)家歷史上遇到的困難。在數(shù)學(xué)分析課程學(xué)習(xí)中，深入挖掘數(shù)學(xué)史，對(duì)學(xué)生的職業(yè)生涯一定會(huì)有很大幫助。實(shí)施師范專(zhuān)業(yè)認(rèn)證，就是為了保證教師培養(yǎng)的專(zhuān)業(yè)性、標(biāo)準(zhǔn)性和靈活性。隨著中學(xué)課程改革的深入，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想和方法已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中,師范院校應(yīng)該深入挖掘?qū)I(yè)課程的功能，使學(xué)生既能學(xué)到專(zhuān)業(yè)知識(shí)，同時(shí)也具備成為一名優(yōu)秀教師的素養(yǎng)和能力。所以在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中，系統(tǒng)化研究和設(shè)計(jì)課程的內(nèi)容，為實(shí)施有效的教學(xué)方法以及教學(xué)手段提供知識(shí)性依據(jù)?？傊?，從師范專(zhuān)業(yè)認(rèn)證的角度，挖掘數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，對(duì)于培養(yǎng)專(zhuān)業(yè)的中學(xué)數(shù)學(xué)教師是一項(xiàng)重要的工作，值得我們探討研究。