田興輝

[摘? 要] 創(chuàng)新是試題命制的客觀需要，但由于命題者水平和經(jīng)驗所限，難免會出現(xiàn)一些錯題或錯解，文章通過具體案例，試圖理清錯因并找到應(yīng)對辦法.

[關(guān)鍵詞] 命題;解題;錯因;反思

高中數(shù)學(xué)知識面廣、難度大，知識點間交錯繁雜，由此給命題帶來很大風(fēng)險，稍有不慎就會出現(xiàn)致命問題. 筆者選取了看似完美的兩例錯題，借此探尋錯題、錯解的根源，思考如何引以為戒或化錯為寶，使其成為我們教學(xué)的鋪路石.

題一：已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，滿足f（x+y）=f（x）+2y（x+y）且f（1）=1，求f（x）的解析式.

解法一：令y=-x，可得f（0）=f（x）.

再令x=0，y=1，由f（1）=1，得f（0）= -1，故f（x）=-1.

解法二：令x=0，y=1，由f（1）=1，得f（0）=-1.

再令x=0，y=x，得f（x）=2x2-1.

解法三：令x+y=1，得f（1）=f（x）+2（1-x），？搖即f（x）=2x-1.

評注：此題至少會得到以上三種結(jié)果，而且看似都很有道理，究竟孰是孰非？學(xué)生很茫然，我們嘗試用求出的解析式分別計算一下f（2），會得到三個不同值，到底是哪里出問題了呢？下面來一探究竟：

根據(jù)條件“對任意實數(shù)x，y，滿足f（x+y）=f（x）+2y（x+y）”，可知這是一道抽象函數(shù)問題，比較適合用賦值法解決. 下面給變量賦值，令y=-x，代入條件可得f（x）=f（0），而f（0）是一個常數(shù)，這說明f（x）是常數(shù)函數(shù). 沿著這個思路分析，由于f（x）是常數(shù)函數(shù)，那么必有f（x+y）=f（x）=f（0），代入已知條件會得到f（0）=f（0）+2y（x+y），也就是對任意實數(shù)x，y，2y（x+y）=0恒成立，這顯然是一個假命題，這個題目的癥結(jié)在于已知條件之間互不相容，這種自相矛盾的函數(shù)是不存在的.

題二：已知函數(shù)f（x）=■，若x1，x2都大于0，且x1+x2

錯解：由f（x）=■求導(dǎo)可得，f′（x）=■.

因為00，所以f（x）在（0，e）上是增函數(shù). 因為x1+x20，x2>0■，所以x1

同理，lnx2<■x2. 所以lnx1+lnx2<■x1+■x2=ln（x1+x2），所以lnx1x21.

評注：本題不妨換種解法，假如利用權(quán)方和不等式解決，會得到如下結(jié)果.

顯然，原答案給出的解法是利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等關(guān)系，看似順風(fēng)順水，實則極其隱蔽地擴大了取值的范圍，這也提醒我們命題時不妨用一題多解驗證一下，也許會發(fā)現(xiàn)一些潛在的隱患.

思考

其一：命題需謹慎，不能盲目創(chuàng)新.由于命題需要，我們常會處心積慮的原創(chuàng)或改編一些新題，但由于考慮欠周全或是沒有經(jīng)過實踐檢驗，難免會出現(xiàn)意想不到的紕漏. 常見的錯誤多見于條件的設(shè)置，尤其是條件之間不兼容， 甚至條件與公理、定理、定義相矛盾，這就要求命題者要多角度思考問題和嘗試一題多解，避免題設(shè)條件的對立或開放，確保數(shù)學(xué)命題的嚴謹性和科學(xué)性.

其二：解題要反思，不能迷信答案.對于發(fā)現(xiàn)的錯解，最好不要輕易放棄，因為越是這類題目，學(xué)生越是感到好奇，越想知道其所以然.如果我們能充分挖掘錯題的教育功能，對于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)他們思維的嚴密性和批判性，都將起到很好的作用. 對于出現(xiàn)的不同結(jié)果，要抓住區(qū)別和聯(lián)系，辨明是非和方向，深入剖析錯解根源，激發(fā)學(xué)生從多角度出發(fā)進行深度思考. 此外，還可以挖掘錯題的數(shù)學(xué)價值，重新開發(fā)利用，使其變廢為寶，把修正錯題當(dāng)作培育數(shù)學(xué)理性思維的良好載體.