李麗榮，楊 坤，王培崇*

（1.河北地質(zhì)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計學(xué)院，石家莊 050031；2.河北地質(zhì)大學(xué)信息工程學(xué)院，石家莊 050031；3.河北地質(zhì)大學(xué)人工智能與機(jī)器學(xué)習(xí)研究室，石家莊 050031）

0 引言

教與學(xué)優(yōu)化（Teaching & Learning Based Optimization，TLBO）［1-2］算法是Rao 等于2010 年提出的一種原理簡單、高效的啟發(fā)式算法。TLBO算法通過“教”和“學(xué)”兩種操作模擬了一個自然教學(xué)班中種群學(xué)習(xí)進(jìn)化的過程。由于其收斂性能較好且易于實(shí)現(xiàn)，已經(jīng)成為了群智能算法中求解全局優(yōu)化問題常用的算法之一［2-5］。雖然TLBO 在數(shù)字圖像處理、背包問題、車間調(diào)度、聚類等多個領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用，并展現(xiàn)了其優(yōu)勢，但也顯現(xiàn)出了算法的諸多不足和弱點(diǎn)，如：在求解較高維度問題時，算法容易早熟、收斂速度較慢且解的精度較低等［4］。

為了提高算法的性能，克服TLBO 的弱點(diǎn)，國內(nèi)外的專家和學(xué)者相繼提出了多種改進(jìn)機(jī)制。如：該算法的創(chuàng)始人Rao等［6］提出了一種基于精英思想的改進(jìn)教與學(xué)優(yōu)化（Elite TLBO，ETLBO）算法，應(yīng)用精英個體適當(dāng)替換種群內(nèi)的劣質(zhì)個體，提高算法的收斂速度，但是該算法往往會使種群的多樣性降低較快，容易造成算法陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)［7］中提出了一種約束教與學(xué)優(yōu)化算法（Improved & Constrained TLBO，ICTLBO），該算法將種群初始劃分為多個子種群，并通過種群的平均位置和子種群內(nèi)最好位置之間的差異引導(dǎo)子種群的收斂方向，且在收斂過程中子種群間互相交換信息；在“學(xué)”階段，還引入了個體的自我學(xué)習(xí)策略，來抑制算法的過早收斂。文獻(xiàn)［8］中在研究對比蝙蝠算法和教與學(xué)優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上，提出了一種融合局部搜索的混合蝙蝠教與學(xué)優(yōu)化算法（TLBO with local search and BA，TLBO-RLS），該算法將蝙蝠算法的局部搜索機(jī)制集成在TLBO的優(yōu)化過程中，并應(yīng)用該算法成功解決了“Team workshop problem 25”問題。Zhang等［9］提出應(yīng)用對數(shù)螺旋策略和三角變異策略的思想，來解決TLBO算法容易早熟的問題。算法在“教”算子中，引入對數(shù)螺旋策略學(xué)習(xí)機(jī)制，來加快算法的收斂；在“學(xué)”算子中，利用三角變異策略進(jìn)一步提高當(dāng)前個體的探索和開發(fā)能力。該算法被命名為LMTLBO（TLBO with LogarithMic spiral and triangular mutation）。針對ETLBO 算法中種群多樣性降低過快的問題，于坤杰等［10］提出了一種基于反饋的精英教與學(xué)優(yōu)化算法（Elitist Teaching-Learning-Based Optimization algorithm based on Feedback，F(xiàn)ETLBO），該算法在“學(xué)”階段中增加了劣質(zhì)個體與教師個體間反饋交流的機(jī)制，抑制種群的過早收斂，并通過實(shí)驗(yàn)證明了算法的有效性。文獻(xiàn)［11］中提出了一種具有自主學(xué)習(xí)行為的TLBO（Self -Learning TLBO，SLTLBO）算法。在該算法中，種群中的個體首先執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)的“教”和“學(xué)”兩個算子；然后，根據(jù)自己與種群內(nèi)的最佳個體、最差個體之間的距離，自主完成多樣性學(xué)習(xí)，并執(zhí)行基于高斯搜索的反思式學(xué)習(xí)。

上述的眾多改進(jìn)機(jī)制雖然能夠較好地改善TLBO的性能，但往往需要引入較多的額外算子或機(jī)制。為了改善TLBO算法在求解高維度問題時的能力，通過引入較少的算子克服其弱點(diǎn)，借鑒頭腦風(fēng)暴優(yōu)化（Brain Storm Optimization，BSO）［12-14］產(chǎn)生新個體的方法，提出了一種融合頭腦風(fēng)暴機(jī)制的改進(jìn)教與學(xué)優(yōu)化（Improved TLBO with Brain Storm Optimization，ITLBOBSO）算法。將該算法在11個無約束標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)和2個有約束工程優(yōu)化問題上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了算法的有效性。

1 教與學(xué)優(yōu)化算法的改進(jìn)

1.1 基于頭腦風(fēng)暴的“學(xué)”算子

頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法是近年來熱門的一個群智能算法，該算法模擬多人之間通過激烈的思想碰撞，從而產(chǎn)生出新方法或新策略的學(xué)習(xí)過程。從直觀上看，基于人類創(chuàng)新思維過程的模擬一定程度上要優(yōu)于其他受動物群居行為啟發(fā)的群智能算法［15］。

教與學(xué)優(yōu)化算法也是一種模擬人類集體學(xué)習(xí)行為的群智能算法，該算法具有兩個算子，分別是最優(yōu)個體向其余個體執(zhí)行“教”和學(xué)生之間互相“學(xué)”。前者引導(dǎo)種群逐漸向最優(yōu)個體所在空間收斂；后者賦予種群一定的發(fā)散能力，避免算法早熟。分析BSO和TLBO兩個算法的基本原理并結(jié)合生活中的群體學(xué)習(xí)行為可知，群體內(nèi)的個體通過思維碰撞提升自身狀態(tài)的效果要明顯優(yōu)于個體間的相互“學(xué)”行為的效果。源于此，基于頭腦風(fēng)暴機(jī)制設(shè)計“學(xué)”算子，并替換標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法中的“學(xué)”算子。借鑒文獻(xiàn)［15］中的相關(guān)思想，該算子為式（1）：

式（1）中的Xr視問題的性質(zhì)取min(Xr1，Xr2) 或max(Xr1，Xr2)，Xr1和Xr2為在種群內(nèi)隨機(jī)選擇的個體。其他參數(shù)說明如下：

1）α∈[0.5，1)為隨機(jī)數(shù)，β=1-α。當(dāng)前個體Xi生成的新狀態(tài)值取決于自身的原狀態(tài)值，以及自身與Xr的差距。以上轉(zhuǎn)換權(quán)重參數(shù)的設(shè)計是出于這樣一種考慮：“在任何學(xué)習(xí)過程中，個體Xi都有保持自身狀態(tài)的趨勢”，可以較好地抑制算法早熟。

2）Cauch（0，1）為柯西函數(shù)。由于“教”算子使算法趨于收斂，所以在這里引入柯西函數(shù)，利用其較強(qiáng)的變異能力保證算法具有一定的發(fā)散性，以能夠搜索更為廣闊的空間。

3）δ由式（2）計算得到，其中rand（0，1）為（0，1）內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，logsig（*）為對數(shù)sigmoid的傳遞函數(shù)，Tmax是算法的最大迭代次數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，k是改變logsig（*）函數(shù)的斜率。多次實(shí)驗(yàn)表明，k適合在［0.3，0.6］取值。分析式（2）可知δ的范圍為（0，1），且隨著迭代次數(shù)自適應(yīng)變化，該參數(shù)與柯西變異結(jié)合，有利于算法早期的探索和后期的開發(fā)。

1.2 算法步驟

算法1 ITLBOBSO。

輸入：種群規(guī)模，迭代次數(shù)等參數(shù)；

輸出：最佳個體Xt(t)。

步驟1 迭代計數(shù)器t=0，在解空間內(nèi)隨機(jī)生成種群pop(t)。

步驟2 計算全部個體的適應(yīng)度，選擇最優(yōu)個體作為教師Xt(t)。

步驟3 執(zhí)行“教”算子。

步驟4 執(zhí)行式（1）的“學(xué)”算子。

步驟5 算法滿足終止條件（精度要求或迭代次數(shù)滿足），則輸出最佳個體Xt(t)，終止算法；否則轉(zhuǎn)步驟2。

1.3 算法復(fù)雜度分析

設(shè)迭代次數(shù)為t，種群規(guī)模為n，分析ITLBOBSO算法，主要操作在步驟3和步驟4，兩個步驟時間復(fù)雜度均是O（n），則算法的時間復(fù)雜度為O（t*n）。使用數(shù)組存儲種群，則空間復(fù)雜度為O（n）。

2 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 無約束函數(shù)測試

應(yīng)用C 語言實(shí)現(xiàn)算法ITLBOBSO，選擇11 個50 維的Benchmark 函數(shù)來測試該算法的性能，可接受解的目標(biāo)精度為0.000 1。選擇近年來較為經(jīng)典的幾個改進(jìn)算法，如：ETLBO、TLBO-RLS、FETLBO、LMTLBO、DAEDTLBO［16］參與對比。ITLBOBSO 算法的種群規(guī)模d設(shè)為30，其中f1、f2、f3、f4、f5、f7、f8、f9的迭代次數(shù)為3 000，其余函數(shù)為5 000 次，斜率k=0.4。其他算法的參數(shù)設(shè)置參考各自文獻(xiàn)。所有算法均獨(dú)立運(yùn)行30次，以消除隨機(jī)性和其他因素的影響。

分析表1，函數(shù)f1、f2、f3、f4都是較易優(yōu)化的函數(shù)，ITLBOBSO算法表現(xiàn)出了較好的求解能力，它在f1、f2、f3上的解均是最優(yōu)的，在f4上的解略低于FETLBO 算法。穩(wěn)定性的對比方面，ITLBOBSO算法在f4上略遜于FETLBO和LMTLBO，而在其他函數(shù)上則最優(yōu)。函數(shù)f5為多峰，ITLBOBSO算法的表現(xiàn)略差，其解的質(zhì)量和方差均較FETLBO和LMTLBO算法低了0.01個數(shù)量級，但仍然優(yōu)于其他幾個算法。f6的解空間非對稱，對算法的搜索能力以及克服早熟的能力要求均較高，ITLBOBSO算法表現(xiàn)優(yōu)異，無論是解精度還是解方差均超越了其他算法。在f7、f8兩個測試函數(shù)上，ITLBOBSO表現(xiàn)仍然優(yōu)秀，解的精度是最優(yōu)的，但是在f8的方差上較FETLBO 和LMTLBO 低。在函數(shù)f9上ITLBOBSO、FETLBO、LMTLBO 三個算法的解精度相當(dāng)，但是ITLBOBSO 算法的解方差要稍差。f10、f11是較難優(yōu)化的多峰函數(shù)，存在多個局部極值點(diǎn)且解空間內(nèi)存在陷阱，ITLBOBSO算法表現(xiàn)得較為一般，解的精度均較FETLBO和LMTLBO兩個算法低，但是該算法的解方差與FETLBO、LMTLBO基本相當(dāng)。

表1 無約束測試函數(shù)上的結(jié)果對比（均值/方差）Tab.1 Comparison of results on unconstrained benchmark functions（Mean/Std）

續(xù)表

表2列出了算法的成功收斂次數(shù)（S）、成功收斂所需迭代次數(shù)（I）和運(yùn)算時間（t）。從表中數(shù)據(jù)可以看出，ITLBOBSO算法在所有函數(shù)上的收斂成功次數(shù)均非常高，只是在f6、f10、f11上要遜于FETLBO或LMTLBO算法。在成功收斂所需迭代次數(shù)對比方面，本文算法在函數(shù)f1、f2、f3、f4、f6、f7、f9、f10上均高于FETLBO和LMTLBO兩個算法，在其他的幾個函數(shù)上，ITLBOBSO的迭代次數(shù)均最少。觀察對比算法的運(yùn)算時間，ITLBOBSO和其他的算法均是互有勝負(fù)，但是大多數(shù)是較少的運(yùn)行時間，表現(xiàn)比較優(yōu)秀。取30次運(yùn)算中最好的1次和最壞1次結(jié)果的均值，繪制了其中4個算法在f1、f2、f3、f4、f5、f6這6個函數(shù)上的收斂曲線，分別為圖1（a）～（f）。從圖中的結(jié)果可以看出，ITLBOBSO的收斂速度明顯要優(yōu)于另外3個算法，在較少的迭代次數(shù)內(nèi)，適應(yīng)度值快速下降，使種群快速集中于最優(yōu)個體周圍進(jìn)行精細(xì)搜索。另外，從表1和表2中的數(shù)據(jù)可以看出ITLBOBSO解的精度以及收斂速度明顯優(yōu)于DAEDTLBO算法。

圖1 算法的演化曲線對比Fig.1 Comparison of evolution curves of algorithms

表2 無約束測試函數(shù)上的結(jié)果對比（成功次數(shù)/迭代次數(shù)/時間）Tab.2 Comparison of results on unconstrained benchmark functions（successful number/iteration number/time）

續(xù)表

續(xù)表

在算法ITLBOBSO的早期，當(dāng)前個體保持向最優(yōu)個體收斂的趨勢，同時由于受“學(xué)”算子的影響，個體也在不斷搜索更為廣闊的區(qū)域，避免種群過早地收斂到最優(yōu)個體所在區(qū)域而使算法陷入早熟。在算法的后期，如果種群聚集在全局最優(yōu)解所在區(qū)域，則個體會利用“學(xué)”算子保持自身狀態(tài)，對所在區(qū)域進(jìn)行精細(xì)搜索，提高算法的解精度。如果種群被局限于局部最優(yōu)解所在區(qū)域，“學(xué)”算子中的柯西函數(shù)，也會賦予種群一定的變異能力，使個體逃離約束。綜上所述，所提出算法的“教”和“學(xué)”算子可以很好地協(xié)調(diào)，保證種群全局搜索和局部勘探之間的平衡。

2.2 約束函數(shù)測試

為了測試算法在約束問題上的求解能力，選擇工程中兩個常見的優(yōu)化問題：壓力容器設(shè)計優(yōu)化和張力彈簧問題［17］進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，兩個問題的詳細(xì)資料請參見文獻(xiàn)［17］。

1）壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題。

這是一個帶約束復(fù)雜結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，追求的目標(biāo)是最小化總成本（含：成型代價、材料代價和焊接代價）。Ts（x1）表示半球形風(fēng)頭厚度，Th（x2）為圓柱形壓力容器的溶度，R（x3）是半徑，L（x4）代表圓柱段長度。該問題的目標(biāo)函數(shù)為式（3），約束條件為式（4）：

其中：1×0.062 5 ≤x1，x2≤99×0.062 5，10 ≤x3，x4≤200。

將TLBO和ITLBOBSO 兩個算法的種群規(guī)模設(shè)為50，獨(dú)立運(yùn)行30 次，取結(jié)果的平均值，然后與SzAPSO（PSO with Search space zoomed factor and attractor）、SAMGA（Self-Adaptive Migration model Genetic Algorithm）、GSDE（DE with Gaussian random walk and individual Selection strategies）等算法進(jìn)行對比。結(jié)果分別列于表3和表4，表中所列其他算法的數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)［17］。從表3 的數(shù)據(jù)可以看出，ITLBOBSO 算法求得的Ts（x1）、Th（x2）、R（x3）、L（x4）4 個分量以及在總成本上僅遜于GSDE 算法，明顯優(yōu)于其他參與對比的算法。但是，本算法的評價次數(shù)要比GSDE少很多。

表3 壓力容器設(shè)計問題上的結(jié)果對比Tab.3 Result comparison of pressure vessel design

表4 壓力容器設(shè)計問題中的約束函數(shù)值對比Tab.4 Constrained function values comparison in pressure vessel design

2）張力彈簧設(shè)計問題。

該問題也是工程上的經(jīng)典優(yōu)化問題，目標(biāo)是在滿足撓度、剪應(yīng)力和振動頻率等約束條件下，追求所設(shè)計的質(zhì)量最小。它包含有3 個變量分別是：彈簧的線圈直徑w（x1）、彈簧的平均直徑d（x2）和彈簧的有效線圈數(shù)L（x3）。該問題的目標(biāo)函數(shù)為（5），約束為（6），實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表5、6。

表5 算法在張力彈簧問題上的結(jié)果對比Tab.5 Result comparison of design of tension/compression springs

表6 彈簧設(shè)計問題的約束函數(shù)值對比Tab.6 Comparison of constrained function values in design of tension/compression springs

其中：0.05 ≤x1≤2，0.25 ≤x2≤1.3，2.0 ≤x3≤15.0。

從表5、6 的結(jié)果可以看出，ITLBOBSO 和GSDE 算法的表現(xiàn)要優(yōu)于其他的算法，雖然在總代價上要稍遜于GSDE 算法，但是本算法所需的評價次數(shù)卻要比GSDE 算法少很多，說明ITLBOBSO 算法既可以保證求解的精度，收斂速度也比較快。綜合以上兩個實(shí)驗(yàn)的對比結(jié)果，可知道在約束函數(shù)問題的優(yōu)化上，ITLBOBSO算法具有較好的穩(wěn)定性和精度。

3 結(jié)語

通過吸收BSO 算法中的優(yōu)秀思想，將標(biāo)準(zhǔn)TLBO 中的“學(xué)”算子修改為基于頭腦風(fēng)暴討論式的“學(xué)”算子，以期通過個體之間的思想碰撞實(shí)現(xiàn)種群內(nèi)的信息交流和互相學(xué)習(xí)，提升種群的狀態(tài)。在新的“學(xué)”算子中引入柯西變異機(jī)制，賦予個體跳出局部最優(yōu)約束的能力。選擇了11 個經(jīng)典的Benchmark 函數(shù)和工程上的兩個帶有約束的優(yōu)化問題進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法的收斂速度、解精度和魯棒性均較標(biāo)準(zhǔn)TLBO 有明顯提升。TLBO 算法出現(xiàn)時間較短，也存在一些弱點(diǎn)，下一步將會深入研究該算法的演化原理，借鑒傳統(tǒng)演化算法的優(yōu)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ)。探索TLBO 算法新的應(yīng)用領(lǐng)域也是主要的研究方向之一。