王建吉，劉 濤，胡天林

（1.隴東學院 機械工程學院，甘肅慶陽 745000；2.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050）

符號說明：

a ——基圓半徑；

φ ——渦旋型線展開角；

C0，C1，C2，C3——待定系數(shù)；

φ1，φ2——型線接合點展角；

t ——齒厚；

Rt（φ22）——A 點的切向向量；

φ22——B 點的切向角；

Rn（φ22）——A 點的法向向量；

φ11——A 點的切向角；

Ror——回轉半徑；

（x0，y0）——A 點的坐標；

θx——修正開始主軸轉角；

θ*——開始排氣角；

θ ——主軸轉角；

γ ——型線修正角；

λ——修正圓弧中心角；

α ——漸開線起始角；

μ——黏度；

v ——氣體泄漏速度；

m——質量泄漏率；

ρ ——泄漏氣體密度；

A ——泄漏出口橫截面積；

L（θ）——第θ腔瞬時徑向泄漏線長度；

φa——瞬時徑向泄漏線初始展角；

φb——瞬時徑向泄漏線終止展角；

R ——氣體常數(shù)；

Vi—— i 工作腔容積；

pi——i 工作腔氣體力；

Ti——i 工作腔溫度；

ps——吸氣壓力；

Ts——吸氣溫度；

κ ——等熵指數(shù)；

δa——軸向間隙。

0 引言

無油渦旋壓縮機具有結構簡單、體積小、效率高等特點，廣泛應用于食品加工、醫(yī)療等領域。但在使用過程中仍然存在許多技術問題，如渦旋盤加工精度、間隙泄漏等制約渦旋壓縮機在大功率工況下的應用。渦旋壓縮機的泄漏分為徑向間隙泄漏和軸向間隙泄漏。通過徑向間隙的切向泄漏雖然存在，但由于以下兩方面的原因，對整機泄漏影響較小。一方面，可通過提高渦旋盤加工精度減小安裝間隙以減小切向泄漏。另一方面，經徑向間隙的切向泄漏線較短，產生的泄漏量較小。控制渦旋壓縮機的軸向間隙所產生的徑向泄漏是一項技術難題，徑向泄漏使得高壓腔介質通過軸向間隙泄漏至低壓腔和吸氣腔，造成介質重復壓縮，降低了渦旋壓縮機工作效率。

變截面渦旋齒和等截面齒相比較，減少渦旋圈數(shù)，可實現(xiàn)大的壓縮比。更重要的是減少了軸向間隙泄漏線的長度，提高的容積效率。Liu 等［1］利用等距曲線法建立圓弧和圓弧漸開線組成的變截面渦旋齒，并與等截面進行仿真比較。得出容積比和泄漏損失均由于等截面齒。彭斌等［2-3］給出了變截面渦旋型線在某一瞬時泄漏線的計算方法。并運用改進的Euler 法對所建的泄漏模型進行求解，得到有無泄漏2 種工況下的溫度、壓力和質量的變化。該研究主要分析泄漏對各工作場和質量的影響程度，沒有給出間隙泄漏準確的計算模型。查海濱等［4］運用CFD 得到變截面渦旋壓縮機不同壓差、不同間隙寬度的徑向泄漏和切向泄漏質量流率，該模型僅對于穩(wěn)態(tài)模型展開研究。Sun 等［5］利用CFD 實現(xiàn)間隙泄漏的可視化，并研究了變截面渦旋壓縮機泄漏流動機理，但忽略了氣體黏性對泄漏的影響。

為了研究介質泄漏對整機效率的影響和泄漏量在工作過程中的變化規(guī)律，建立準確的泄漏計算模型是必不可少的。陳榮等［6-7］利用范諾流理論建立了微型渦旋壓縮機間隙的泄漏模型，確定了合理的泄漏間隙的范圍，但該模型僅針對等截面渦旋盤，也沒有考慮渦旋齒幾何參數(shù)對泄漏的影響。Chen 等［8］給出了徑向和切向泄漏面積的計算方法，沒有給出完整的泄漏量計算方法。Ishii 等［9］建立了間隙泄漏的流動方程，并通過試驗進行了驗證，然而在該計算模型中沒有考慮溫度的影響。劉興旺等［10］利用宏觀能量法和黏性流動理論建立了渦旋齒迷宮密封泄漏量的計算模型，并通過試驗進行了驗證，該模型只針對有迷宮密封的結構，對無密封和其它密封具有參考 意義。

為了準確分析渦旋壓縮機各工作腔的泄漏特性，本文以整機為研究對象，分析變截面無油渦旋壓縮機在任一瞬時工作腔的徑向泄漏情況，以圓漸開線、高次曲線和連接圓弧組成的變截面渦旋齒為例，分析泄漏率與泄漏線長度、渦旋齒齒厚、工作腔容積、腔體溫度之間的數(shù)值關系，建立變截面渦旋壓縮機在任意主軸轉角時徑向泄漏量的計算模型，通過求解該模型，得出基圓半徑、泄漏間隙對泄漏量影響的變化規(guī)律，并通過仿真模擬對計算模型進行驗證，可為新型線渦旋盤的加工、裝配和密封提供理論參考。

1 變截面渦旋型線泄漏線長度

1.1 型線方程

選擇圓漸開線、高次曲線、連接圓弧組成的變截面渦旋型線為例，母線的數(shù)學表達式如下。

第1 段為基圓漸開線，方程為：

第2 段為高次曲線，方程為：

在確定參數(shù)a，φ1，φ2后，根據接合點處的約束條件得到位置參數(shù)值，帶入型線方程得到變截面渦旋型線的母線方程，利用法向等距法可以得到動、靜渦旋齒外壁型線然后利用雙圓弧修正法，對渦旋齒齒頭進行修正。渦旋齒幾何模型和徑向泄漏截面如圖1 所示。

圖1 渦旋齒幾何模型和徑向泄漏截面

1.2 渦旋齒壁厚

渦旋齒齒厚大小會對徑向泄漏大小產生影響，而變截面渦旋齒齒厚隨渦旋齒展角發(fā)生變化，因此研究齒厚的變化規(guī)律很有必要，根據渦旋盤幾何關系和圖2 所示的齒厚計算示意，可以得出齒厚與展角的函數(shù)關系［11］。

圖2 齒厚計算示意

根據幾何關系可知齒厚：

1.3 泄漏線長度

以第2 工作腔為研究對象，徑向泄漏線包括第1 工作腔流入第2 工作腔泄漏線和第2 工作腔泄漏到第3 工作腔泄漏線。渦旋壓縮機在正常工作時，吸氣、壓縮、排氣過程同時進行，在每一主軸轉角時泄漏線長度均會發(fā)生變化。

（1）當0 ＜θ≤θx時，

第1 腔徑向泄漏線：

第1 腔容積表達式：

其中

第2 腔徑向泄漏線長度表達式：

第2 腔容積表達式：

（2）當θx＜θ≤θ*時，

第1 工作腔徑向泄漏線：

第1 工作腔容積表達式：

第2 工作腔徑向泄漏線：

第2 工作腔容積表達式：

（3）當 θ*≤θ≤2π 時，

第1 工作腔徑向泄漏線：

第1 工作腔容積表達式：

第2 工作腔徑向泄漏線：

第2 工作腔容積表達式：

（4）吸氣腔容積

該段基線長度表達式：

吸氣腔容積表達式：

2 泄漏量計算模型

渦旋壓縮機回轉半徑小、線速度較小，泄漏氣體可假設為理想氣體，其溫度變化近似看做線性變化，認為氣體在泄漏間隙中的流動視為等熵層流流動。沿泄漏方向取泄漏線微段dL 為研究對象，微段的流動模型如圖3 所示［11］。

圖3 軸向間隙泄漏等效模型

（1）運動微分方程

假設間隙內氣體為一維絕熱流動，則運動方程式為：

當y=0 時，v=0；y=δa時，v=0。

（2）連續(xù)方程

一維定?？蓧嚎s流體的連續(xù)方程為：

（3）狀態(tài)方程

根據理想氣體狀態(tài)方程：

對方程（18）關于y 進行積分可得截面速度表達式：

間隙內氣體平均速度為：

將式（20）～（24）代入到式（19）中得到任意工作腔在主軸轉角時的徑向平均質量流量表 達式：

3 泄漏模擬計算

為了驗證間隙泄漏流量計算模型的準確性，利用FLUENT 軟件模擬渦旋壓縮機在工作過程中的泄漏，將模擬結果與數(shù)值計算結果進行對比。模擬樣機的基本參數(shù)見表1，對渦旋盤轉動一周過程中第2 工作腔泄漏氣體速度和泄漏氣體密度進行追蹤。圖4 示出吸氣結束時刻流場分析結果。從圖4（a）可看出，壓縮腔內氣體壓力從外向內逐漸增大，在動靜渦旋盤嚙合間隙處壓力有突變現(xiàn)象，這是由于在間隙處，氣體被擠壓，密度發(fā)生變化所造成；從圖4（b）的溫度分布可看出，對稱的2 個月牙腔體溫度分布相似，并且溫度隨著嚙合間隙的減小而增大，最小間隙處出現(xiàn)極值，這是因為隨著嚙合間隙的減小，氣體受擠壓后，除了氣體分子之間的摩擦外，動靜旋盤之間也可能接觸發(fā)生摩擦使得溫度上升。圖4（c）中，從齒頂?shù)乃俣仁噶繄D明顯看出，壓縮腔內氣體存在徑向和周向泄漏，方向為高壓腔指向低壓腔，并且由于壓差，泄漏速度大于腔內氣體流動速度。為了研究渦旋壓縮機軸向間隙泄漏，在流場分析時，在第2工作腔軸向間隙處設置泄入測點和泄出測點，對泄漏氣體速度和密度進行追蹤，將測到的泄入氣體密度和速度與泄出密度與速度代入方程（19），進行模擬泄漏量計算。

表1 工況參數(shù)和幾何參數(shù)

圖4 流場分析結果

4 結果分析

4.1 理論計算值與模擬值比較

以某變截面渦旋壓縮機為例進行計算，具體工況參數(shù)和幾何參數(shù)見表1。以第2 工作腔為研究對象，分析計算第2 工作腔在一個回轉周期內的泄漏變化情況，圖5 示出第2 工作腔氣體泄漏量的變化曲線。

圖5 第2 工作腔氣體泄漏量的變化曲線

從圖5 可看出，泄出率理論計算值曲線和模擬值曲線吻合較好，泄入率理論計算值曲線和模擬值曲線總體變化趨勢相似，但在θ小于1.4 rad時，兩者相差較大，這是因為選擇以吸氣完成時刻主軸轉角θ為0 時刻，在數(shù)值模開始時第1 壓縮腔和第2 壓縮腔壓差很小，氣體泄漏速度很小。而在理論計算時，以整機為研究對象，本次吸氣結束，第1 工作腔正在壓縮上次吸入的氣體，所以，第1 工作腔和第2 工作腔的壓差較大，泄漏很快，待上次氣體排出后，計算值和模擬值結果相近。

4.2 基圓半徑對泄漏的影響

根據齒厚與展角的函數(shù)關系，代入相應計算參數(shù)，得出齒厚隨展角的變化規(guī)律，圖6 示出不同基圓半徑的齒厚隨展角的變化曲線，圖7 示出不同基圓半徑下第2 工作腔氣體質量變化曲線。

圖6 不同基圓半徑的齒厚隨展角變化

圖7 基圓半徑與第2 工作腔質量變化的關系

從圖6 可知，展角對應型線為圓漸開線和連接圓弧時，齒厚不變，基圓半徑越大，齒厚越大；展角對應型線為高次曲線時，齒厚呈拋物線分布，基圓半徑越小，齒厚越大，并且變化幅度越劇烈。從曲線圖7 可以看出，泄漏量與基圓半徑成正比，主軸轉角θ在0.75π 以前，3 種基圓半徑的泄漏均非常小，說明泄入量和泄出量相當；基圓半徑為a1、主軸轉角θ在0.75π 和基圓半徑為a2、主軸轉角θ在0.8π 時，泄漏量出現(xiàn)負值，說明第2 工作腔的泄出量大于泄入量，當主軸轉角大于1.78π 時，泄漏量均急劇上升，分析其原因，除了第1 工作腔和第2 工作腔壓差大于第2 工作腔和第3 工作腔壓差的原因外，此時第1 工作腔徑向泄漏線由圓漸開線+修正圓弧組成，齒厚較小，第2 壓縮腔基線由圓漸開線和高次曲線組成，根據軸向間隙泄漏量計算模型可知，齒厚較大，泄漏量減小。

4.3 軸向間隙大小對泄漏量的影響

為了定量分析軸向間隙大小對泄漏的影響程度，為合理控制間隙提高理論依據，計算了第二工作腔在不同間隙時氣體泄漏量。圖8 示出不同軸向間隙泄入量變化曲線。

圖8 不同軸向間隙徑向泄入量變化曲線

從圖8 可知，整體泄漏曲線類似浴盆曲線，泄漏量大是因為相鄰壓縮腔壓差大造成的，間隙越大泄漏量越大，但二者不是簡單的倍數(shù)關系，軸向間隙值大于0.025 mm時，泄漏量成近似3倍增加，因此為了控制軸向間隙泄漏，軸向間隙的大小應該控制在0.025 mm 以下較為合理，間隙過小雖減小了徑向泄漏，但會造成動靜渦旋盤摩擦增大。

5 結論

（1）建立渦旋型線和渦旋齒厚計算模型，推導了任意主軸轉角時，渦旋壓縮機各工作腔徑向泄漏線長度的計算模型。

（2）提出一種變齒厚渦旋齒軸向間隙的泄漏量計算模型，該模型考慮了齒厚、溫度、泄漏線變化等因素，可以準確計算工作腔任意轉角的泄漏，并通過模擬試驗進行了驗證。

（3）定量計算不同軸向間隙時的徑向泄漏量，得出軸向間隙控制在0.025 mm以下較為恰當。該泄漏量計算模型可以應用于其他類型渦旋型線軸向間隙泄漏的估算。研究結果為渦旋壓縮機渦旋盤的加工、裝配和密封提供理論參考。