范立東

【摘要】在教育教學(xué)改革進(jìn)程中，人們的觀念從以前只關(guān)注學(xué)生成績(jī)，到現(xiàn)在逐步轉(zhuǎn)向關(guān)注和培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)的發(fā)展。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行一些數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。同時(shí)三角函數(shù)在工程、物理、測(cè)量、天文等方面都有廣泛應(yīng)用，大多數(shù)涉及與角度、周期等有關(guān)的問題，都可以考慮建立“三角函數(shù)模型”，應(yīng)用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)予以解決。

【關(guān)鍵字】數(shù)學(xué)建模? ?三角函數(shù)? ?周期

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）08-164-01

引言

在現(xiàn)實(shí)世界中，三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象或規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，對(duì)研究實(shí)際生活中的具有周期規(guī)律的問題具有十分重要的作用。建立三角函數(shù)模型是指：充分利用數(shù)形結(jié)合的思想以及圖形語言和符號(hào)語言，利用三角、物理或其他相關(guān)知識(shí)，根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù)，找出變化規(guī)律，建立關(guān)系式，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)橛嘘P(guān)三角函數(shù)的問題，最終問題的數(shù)學(xué)化得到實(shí)現(xiàn)。

一、在工程測(cè)量等方面，涉及到與三角形圖形相關(guān)問題時(shí)，可以考慮結(jié)合正弦定理、余弦定理來建立三角函數(shù)模型

例1如圖所示，某村莊A旁邊有兩條公路AB，AC，它們夾角為60°，現(xiàn)在當(dāng)?shù)卣趦蓷l公路之間的范圍內(nèi)規(guī)劃建立一座食品加工廠P，同時(shí)要在AB公路邊上建倉(cāng)庫(kù)M，在AC公路邊上建倉(cāng)庫(kù)N，要求MN、PM、PN都為2（km）.怎樣設(shè)計(jì)M、N的位置，使得該食品加工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)村莊A居民的影響最?。?/p>

分析：要使該廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)村莊A居民的影響最小，則該廠與村莊A的距離AP必須要最大。由于△MNP為等邊三角形，且邊長(zhǎng)固定，發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)的位置隨∠AMN的變化而變化，故可以考慮建立AP與∠AMN關(guān)系的三角函數(shù)模型。

解：設(shè)∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理，

得? ? ? ? ?=? ? ? ? ? ?=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

所以AN=? ? ? sinθ，AM=? ? ?sin（120°-θ）.在△AMP中，由余弦定理，得AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP

=? ? ?sin2（θ+60°）+4-? ? ? ? ?sin（θ+60°）cos（θ+60°）

=? ? ?[1-cos（2θ+120°）]-? ? ? ?sin（2θ+120°）+4

=-? ? ?[? ?sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+

=? ? ? -? ? ?sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）

當(dāng)且僅當(dāng)2θ+150°=270°，即θ=60°時(shí)，AP最大，此時(shí)AN=AM=2千米.

故設(shè)計(jì)AN=2（km），AM=2（km）時(shí)，該食品加工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)村莊A居民的影響最小。

二、在現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常會(huì)碰到具有周期變化規(guī)律的現(xiàn)象，如潮汐、單擺運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)、心臟跳動(dòng)等等，都可以考慮利用它們的周期規(guī)律或圖像來建立三角函數(shù)模型

例2一般地，在一定的時(shí)候，海水受日月引力影響，會(huì)發(fā)生漲落的現(xiàn)象，即潮汐。已知某貨船在漲潮時(shí)駛向港口碼頭，在落潮時(shí)又重新返回海洋。在某季節(jié)測(cè)得該港口每天時(shí)間與海水深度（單位：米）的關(guān)系表：

該貨船航行時(shí)，如果船底離海底的距離大于或等于6米以上，則認(rèn)為航行是安全的。已知該貨船吃水深度（即地面離船底的距離）為5.5米，現(xiàn)在該貨船5：00駛進(jìn)港口，想在同一天內(nèi)又能夠安全駛出港口，則該貨船能夠在該港口內(nèi)至多停留多長(zhǎng)時(shí)間（進(jìn)出港口所需時(shí)間忽略）？

分析：先根據(jù)數(shù)據(jù)作出圖像，建立適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型，從而解決問題。

解：在直角坐標(biāo)系中，以時(shí)間t為橫坐標(biāo)，水深y為縱坐標(biāo)，作出散點(diǎn)圖.如圖：

根據(jù)圖象和數(shù)據(jù)，可考慮用函數(shù)y=Asin（ωt+φ）+B（A>0，ω>0），來模擬水深與時(shí)間之間的依賴關(guān)系.從圖象數(shù)據(jù)易得出A=3，B=10，周期T=12，φ=0，由T=? ? ? =12，得ω=? ? ? ?，所以y=3sin? ? ?t+10。依題意，當(dāng)y≥11.5時(shí)，該貨船就可以進(jìn)出港口。

如圖，在區(qū)間[0，24]內(nèi)，函數(shù)

y=3sin? ? ?t+10圖像與直線y=11.5

四個(gè)交點(diǎn)。

由3sin? ? ?t+10=11.5，所以，sin? ? ?t=? ? ? ，t∈[0，24]

解得tA=1，tB=5，tC=13，tD=17.

由于該貨船從5：00進(jìn)入港口，可以17：00離開港口，所以該貨船在港口內(nèi)至多可以停留12小時(shí)。

三.在一些物理問題上，常常會(huì)涉及到與角度有關(guān)的力學(xué)問題，由于力是矢量，故可以利用向量工具來建立三角函數(shù)模型

例3如圖（1）所示，一根繩子同時(shí)經(jīng)過定滑輪A和定滑輪B，在定滑輪A和定滑輪B兩端分別掛有5N和3N的物體，現(xiàn)在滑輪之間的繩上掛一個(gè)物體，重量為m（N），此時(shí)3個(gè)物體處于平衡靜止?fàn)顟B(tài)，求m的取值范圍。

分析：先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出角度，結(jié)合向量相關(guān)知識(shí)，建立m關(guān)于某角的三角函數(shù)模型。

解：? 如圖（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)OB與y軸的正半軸的夾角為α，OA與y軸的正半軸的夾角為β，則由三角函數(shù)定義得OB=（3sinα，3cosα），OA=（-5sinβ，5cosβ）， OC=（0，-m），由于系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，∴OC+OB+OA=0

∴? 3sinα=5sinβ? ? ? ? ? 平方相加得：9=25-10mcosβ+m2，

3cosα=m-5sinβ? ? ? ? ? ? ? ? 即 m2-10mcosβ+16=0（*），

△=100cos2β-64≥0，∴? ?≤cosβ<1. 由（*）解得m=5cosβ± 25cos2β-16，由m>0，∴m=5cosβ+? 25cos2β-16，

cosβ∈[? ? ? ，1）這里m是cosβ關(guān)于的增函數(shù)， ∴正數(shù)m的取值范圍為[4，8）.

總之，三角函數(shù)模型是解決實(shí)際問題的有力工具，在三角內(nèi)容教學(xué)中，教師可以根據(jù)實(shí)際問題來鍛煉學(xué)生的建模能力。數(shù)學(xué)建?？梢蕴岣邔W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，能夠讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美在于學(xué)以致用。同時(shí)，通過數(shù)學(xué)建模，在一定程度上，學(xué)生的創(chuàng)造能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都會(huì)得到提升。