楊 倫

(湖北師范大學(xué) 先進(jìn)材料研究院，湖北 黃石 435002)

0 引言

電動(dòng)力學(xué)是物理學(xué)專業(yè)核心課程之一，由于涉及的學(xué)科知識(shí)廣、模型公式多、數(shù)學(xué)理論深、推理計(jì)算難，電動(dòng)力學(xué)一直是物理學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，現(xiàn)有教學(xué)過程中，仍存在對近似解求解重視程度不夠的問題[1,2]。物理學(xué)中，力學(xué)中求解單擺問題、熱力學(xué)中推導(dǎo)克拉佩龍方程、量子力學(xué)中的微擾理論、固體物理中求解晶格原子運(yùn)動(dòng)方程等，均廣泛利用泰勒級數(shù)法[3～5]。本文以電動(dòng)力學(xué)中兩道典型問題為例[6]，利用泰勒展開法分析同軸線圓形線圈的靜磁場和邊緣帶電荷旋轉(zhuǎn)飛輪的輻射場，有利于加深對穩(wěn)恒電磁場場強(qiáng)分布和矢量特性的理解，強(qiáng)化了對電偶極矩、電四極矩和磁偶極矩的認(rèn)識(shí)，對電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)有所裨益。

1 同軸線圓形線圈的靜磁場

題目：兩個(gè)半徑為a的同軸線圓形線圈，位于z=±L面上，每個(gè)線圈有同方向的電流L.計(jì)算軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻的磁場時(shí)的L和a的關(guān)系(如圖1a所示)。

a 同軸線圈 b 軸線角

1.1 計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度

磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算是較為簡單的，考慮到軸對稱性，分別計(jì)算2個(gè)線圈對軸線上磁場貢獻(xiàn)，如圖1b所示，引入夾角θ1和θ2，直接利用畢奧-薩法爾定律就可求得：

(1)

1.2 均勻磁場解法一：拉普拉斯算子法

對式(1)計(jì)算二階偏微分得到

1.3 錯(cuò)誤解法分析

(2)

1.4 均勻磁場解法二：泰勒級數(shù)法

2 旋轉(zhuǎn)飛輪的輻射場

題目：飛輪半徑為a，并有電荷均勻分布在其邊緣上，總電荷量為Q.設(shè)定飛輪以恒定角速度ω旋轉(zhuǎn)，求輻射場(如圖2所示)。

圖2 飛輪示意圖

2.1 常規(guī)解法

2.2 解法分析

很多學(xué)生分析完電偶極輻射和磁偶極輻射，發(fā)現(xiàn)均為零，認(rèn)為題目已經(jīng)解答完成，該輻射場為零。這種解答方式實(shí)際上并不完備，沒有考慮電四極矩的貢獻(xiàn)，反映出對電磁波輻射問題認(rèn)識(shí)較為膚淺，不夠深入，想當(dāng)然地將電磁波輻射問題作為電偶極輻射和磁偶極輻射的疊加。在解答這道題目之前，需要增強(qiáng)電磁波輻射系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)，而不僅僅是簡單的記憶電偶極輻射和磁偶極輻射的公式，然后用以結(jié)題計(jì)算。

回顧輻射場問題，電磁波輻射是源自交變運(yùn)動(dòng)的電荷系統(tǒng)，對頻率ω0的交變電流，推遲勢為

2.3 電四極輻射

Dμ3=D3v=0.飛輪電荷分布相對z軸對稱，因此

系統(tǒng)電偶極輻射、磁偶極輻射和電四極輻射均為零，沒有這三種類型的輻射場。是否有更高階的輻射場，在上述計(jì)算過程中并不顯見，考慮到磁偶極輻射和電四極輻射本就是數(shù)量級偏小，更高階的輻射場更為微弱，現(xiàn)實(shí)中很少涉及到。當(dāng)然，本題目實(shí)際上是一種很特殊的情況，我們可以通過普適性分析發(fā)現(xiàn)其輻射場為零。

2.4 普適性分析

3 結(jié)論

科技發(fā)展和現(xiàn)實(shí)生活中多數(shù)技術(shù)問題只能求解近似解，其中最重要的一種方法就是泰勒展開法。本文從電動(dòng)力學(xué)兩道典型習(xí)題入手，利用泰勒級數(shù)法對穩(wěn)恒電磁場和輻射場場強(qiáng)進(jìn)行討論，通過對電磁場具體問題具體分析，增強(qiáng)對矢量場的認(rèn)識(shí)，深化了對輻射場的理解，突出了泰勒展開法在電動(dòng)力學(xué)教學(xué)中重要工具性，對學(xué)生在物理學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)過程中有一定助益。