方明霞 陳 潔

(同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092)

材料力學(xué)是理工科相關(guān)專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課，與工程問題密切相關(guān)。通過材料力學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力，為后續(xù)課程學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，還可以培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，強化工程應(yīng)用意識。將材料力學(xué)課程學(xué)習(xí)與工程應(yīng)用緊密結(jié)合已受到眾多教育工作者的重視。馬國軍等[1]將一些新穎的與教材內(nèi)容相關(guān)、且?guī)в腥の缎缘耐卣怪R引入材料力學(xué)教學(xué)中，如納米材料的力學(xué)性能、預(yù)折紋管的局部屈曲等。指出通過新知識的引入，可以有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。楊曉峰等[2]以工程問題為導(dǎo)向，進(jìn)行材料力學(xué)的教學(xué)改革與實踐，介紹了應(yīng)用材料力學(xué)中的基本原理解決工程問題的思想與方法。胡海巖[3]以航空科技工業(yè)所需的強度工程師為例，分析了人才培養(yǎng)中知識結(jié)構(gòu)的變化情況，指出需要培養(yǎng)大批具有工程意識的工程技術(shù)人員。朱公志等[4]分析了以工程實際案例為核心的材料力學(xué)教學(xué)的基本特點和優(yōu)勢，闡述其在教學(xué)中的作用。李俊峰等[5]通過對小行星不規(guī)則引力場及復(fù)雜周期軌道的研究，嘗試提煉其中與動力學(xué)相關(guān)的科學(xué)問題。

總體看來，目前嘗試將拓展知識與基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)有機結(jié)合的教學(xué)實踐論文正呈上升趨勢。但在當(dāng)前課時被大量壓縮的情況下，如何在保證教學(xué)大綱要求的基礎(chǔ)上，適當(dāng)引入與知識點相關(guān)的工程拓展知識，是目前很多教育工作者思考的問題。本文在如何進(jìn)一步發(fā)揮在線課程平臺優(yōu)勢、有效整合課程素材資源方面進(jìn)行了探索，嘗試以擴展閱讀的形式將與課程知識點相關(guān)的工程案例和論文等引入在線課程，并有意識地引導(dǎo)學(xué)生去在線課程中學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。如關(guān)于材料力學(xué)課程中的疲勞強度問題，一般材料力學(xué)教材主要針對穩(wěn)定交變應(yīng)力下金屬材料的疲勞進(jìn)行介紹，那么不穩(wěn)定交變應(yīng)力、非金屬材料的疲勞問題如何處理？學(xué)生很容易產(chǎn)生這樣的疑問。事實上，這些工況恰恰在工程中更具普遍性，如汽車在路面上行駛，受到的路面激勵具有隨機性，汽車中所有構(gòu)件的疲勞皆屬于不穩(wěn)定交變應(yīng)力下的隨機疲勞。而汽車中除金屬材料外，還包含大量非金屬材料，如發(fā)動機懸置、車身連接件—– 橡膠襯套中均包含橡膠，作為連接件的橡膠疲勞破壞問題是汽車設(shè)計中必須關(guān)注的問題。為此本文以疲勞問題為例，依托在線課程平臺，通過實例將不穩(wěn)定交變應(yīng)力下金屬材料疲勞、非金屬材料疲勞等與工程密切相關(guān)的內(nèi)容，以擴展閱讀的形式放在疲勞分析的擴展部分進(jìn)行介紹，以拓展材料力學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。

1 材料力學(xué)教材中對疲勞問題的研究

疲勞破壞是指構(gòu)件在交變應(yīng)力下雖處于較低的應(yīng)力水平(應(yīng)力滿足強度條件)，但經(jīng)長期反復(fù)工作后，仍會發(fā)生突然斷裂的一種破壞形式。各種交變應(yīng)力中，周期和應(yīng)力幅都不變的稱為穩(wěn)定交變應(yīng)力；周期變化而應(yīng)力幅不變的稱為等幅疲勞；周期不變而應(yīng)力幅變化的稱為變幅疲勞；周期和應(yīng)力幅都變化的稱為隨機疲勞。變幅疲勞和隨機疲勞都是構(gòu)件受到不穩(wěn)定交變應(yīng)力而產(chǎn)生的。

材料力學(xué)教材中主要研究金屬材料在穩(wěn)定交變應(yīng)力下的疲勞問題。由于疲勞破壞是低應(yīng)力破壞，因此不能用靜強度下的屈服極限或強度極限作為依據(jù)。在疲勞問題研究中，首先通過試驗獲得不同材料在對稱循環(huán)下的應(yīng)力?疲勞壽命曲線(也稱σ–N曲線)，如圖1 所示。然后通過計算獲得構(gòu)件的工作應(yīng)力，利用該曲線進(jìn)行疲勞壽命估算，或利用水平線對應(yīng)的疲勞極限或名義疲勞極限，結(jié)合構(gòu)件外形、尺寸及表面質(zhì)量等因素，基于無限壽命或有限壽命對構(gòu)件疲勞強度進(jìn)行校核。

圖1 金屬材料σ–N 曲線

對稱循環(huán)(r=?1) 下構(gòu)件疲勞強度校核

非對稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強度校核

式(1)和式(2)中，nσ為工作安全系數(shù)，n為規(guī)定安全系數(shù)，σ?1為材料疲勞極限，σmax為最大應(yīng)力，Kσ為有效應(yīng)力集中系數(shù)，εσ為尺寸系數(shù)，β為表面質(zhì)量系數(shù)，σm為平均應(yīng)力，σa為應(yīng)力幅，ψσ為不對稱性敏感系數(shù)。

以上介紹的課本中的研究方法主要針對穩(wěn)定交變應(yīng)力下金屬材料的疲勞問題，作為課本知識的拓展內(nèi)容，下面分別介紹不穩(wěn)定交變應(yīng)力、非金屬材料的疲勞問題的解決方法。

2 拓展知識1 —— 不穩(wěn)定交變應(yīng)力下金屬材料的疲勞問題

由于工程結(jié)構(gòu)在工作中受到的交變應(yīng)力往往具有不穩(wěn)定性，對不穩(wěn)定交變應(yīng)力作用下構(gòu)件的疲勞問題如何處理？現(xiàn)對該問題進(jìn)行介紹，并以汽車前軸隨機疲勞為例，對不穩(wěn)定交變應(yīng)力作用下構(gòu)件的疲勞特性估算進(jìn)行說明。

2.1 金屬材料在不穩(wěn)定交變應(yīng)力下疲勞特性分析方法

對于在不穩(wěn)定交變載荷作用下的構(gòu)件，由于有多個應(yīng)力幅值，無法直接用上一節(jié)介紹的σ–N曲線進(jìn)行壽命估算。對于這類問題，一般需要聯(lián)合采用多種方法進(jìn)行分析。首先通過雨流計數(shù)法，將不穩(wěn)定交變載荷變換成多組均值、幅值塊；然后根據(jù)Goodman 經(jīng)驗公式，對雨流計數(shù)結(jié)果進(jìn)行零均值應(yīng)力轉(zhuǎn)換；再利用σ–N曲線，得到轉(zhuǎn)換后各載荷塊對應(yīng)的疲勞壽命；最后利用Miner 線性疲勞累積損傷理論，得到構(gòu)件在變幅載荷作用下的損傷度，進(jìn)而估計構(gòu)件的使用壽命。下面對這些方法進(jìn)行簡要說明。

(1) 采用雨流計數(shù)法對不穩(wěn)定載荷譜進(jìn)行處理

結(jié)構(gòu)在工作中受到不規(guī)則載荷作用，會激起系統(tǒng)產(chǎn)生多個動態(tài)響應(yīng)。結(jié)構(gòu)中某一點的響應(yīng)函數(shù)統(tǒng)稱為應(yīng)變?時間歷程，可以是應(yīng)力、應(yīng)變或其他任何可以說明結(jié)構(gòu)應(yīng)力信息的量。由于應(yīng)力?時間歷程的不規(guī)則性，通常采用雨流計數(shù)法將其簡化成“典型載荷譜”。雨流計數(shù)法示意圖如圖2 所示，上半部分為應(yīng)變?時間歷程，下半部分為對應(yīng)的循環(huán)應(yīng)力?應(yīng)變曲線，由三個小循環(huán)B?C ?B′,E?F ?E′,G ?H ?G′和一個大循環(huán)A ?D ?A構(gòu)成，逐次將構(gòu)成較小遲滯回線的小循環(huán)提取出來重新加以組合。處理后圖2 簡化成圖3 的簡單載荷譜，包括四個不同幅值的載荷循環(huán)，它與原載荷譜引起的疲勞損傷是等效的。

圖2 雨流計數(shù)法示意圖

圖3 簡化后的載荷譜

(2) 處理成對稱循環(huán)的等效應(yīng)力幅

從圖3 中可以看出，簡化后的載荷譜一般均值不為零，可以采用恒壽命圖將其轉(zhuǎn)化為對稱循環(huán)下的等效應(yīng)力幅。常用的恒壽命圖模型——Goodman模型如圖4 所示。

圖4 Goodman 恒壽命圖

恒壽命模型認(rèn)為，應(yīng)力幅與平均應(yīng)力之間的不同配合可得出一恒定的疲勞壽命，圖4 中三條斜線各代表一種壽命，利用直線方程把實際應(yīng)力狀態(tài)(σm，σa)轉(zhuǎn)化為σm=0、應(yīng)力幅σn=σa/(1?σm/σb)的情況(其中，σb為抗拉強度極限)。再利用σ–N曲線進(jìn)行各載荷塊疲勞壽命Nfi的計算。

(3) Palmgren–Miner 累積損傷法則

經(jīng)雨流計數(shù)法處理后獲得的載荷譜一般具有多個幅值(見圖3)，也將對應(yīng)多個疲勞壽命?？梢圆捎肞almgren–Miner 累積損傷法則來預(yù)測載荷塊產(chǎn)生的總累積損傷

式中，D為總累積損傷度，ni為第i種載荷下的工作循環(huán)次數(shù)，Nfi為第i種載荷對應(yīng)的疲勞壽命。當(dāng)D=1 時達(dá)到臨界破壞狀態(tài)。

2.2 實例分析—— 汽車前軸隨機疲勞壽命分析

現(xiàn)以汽車前軸隨機疲勞為例對上述方法進(jìn)行說明。由于汽車前、后軸處于懸架下方，來自地面的隨機激勵得不到緩沖，因此更易產(chǎn)生隨機疲勞破壞，汽車前軸所在位置見圖5。

圖5 汽車前軸位置圖

首先對普通組合路面的載荷譜信號進(jìn)行采樣、標(biāo)定(取L0為10 000 km)[6]，通過雨流計數(shù)法得到多個載荷塊，對應(yīng)的應(yīng)變均值εmj、幅值εai和工作循環(huán)次數(shù)nij的分布直方圖見圖6。

圖6 應(yīng)變均值與幅值的分布直方圖

采用Goodman 疲勞經(jīng)驗公式進(jìn)行等壽命轉(zhuǎn)換，若汽車前軸材料為42CrMo，σb=1133.9 MPa，E=2.1×106MPa。由σ=Eε，得

將對應(yīng)數(shù)據(jù)代入式 (4)，可分別求得σ11=0.510 9 MPa，σ12= 0.511 4 MPa，···，σ88=1.886 8 MPa。

將獲得的結(jié)果代入σ–N曲線，得到前軸疲勞壽命Nfij。由σ11=0.510 9 MPa，可得Nf11=8 307 172次，類似可得：Nf12=83 071 140 次，Nf88=7 216 057次。

由nij和Nfij，可得該車前軸的損傷度Dij。如n11=15，Nf11=8 307 172，得D11=1.8×10?6。利用Miner 線性累積損傷理論，得汽車前軸總損傷度

由于L0= 10 000 km，該車前軸對應(yīng)壽命里程Lz=L0/D= 2 323 831 km。至此獲得汽車前軸的隨機疲勞壽命。

3 拓展知識2 —— 非金屬材料的疲勞問題

由于非金屬材料與金屬材料的本構(gòu)特性不同，非金屬材料在進(jìn)行疲勞分析時一般不能采用傳統(tǒng)的σ–N曲線，這給非金屬材料的疲勞分析帶來很大困難。

目前國內(nèi)外非金屬材料疲勞分析主要采用軟件計算或疲勞試驗獲得。由于軟件分析時往往以準(zhǔn)靜態(tài)進(jìn)行模擬，有很大局限性；而依賴負(fù)荷測試雖有優(yōu)勢，但不能用于產(chǎn)品設(shè)計階段。因此將理論計算和疲勞試驗相結(jié)合，從能量角度對非金屬材料的疲勞壽命進(jìn)行分析是較合理的方法[7-8]?，F(xiàn)以比較典型的非金屬材料—— 橡膠為例，說明汽車中橡膠襯套壽命估算方法。

圖7 橡膠襯套所在位置及實物模型

橡膠襯套作為彈性連接件，廣泛應(yīng)用于汽車車身與副車架、動力總成之間。圖7 為汽車中橡膠襯套所處的位置及其實物結(jié)構(gòu)圖。對于橡膠材料的疲勞分析，可以采用有限元計算和疲勞試驗相結(jié)合的方法，以應(yīng)變能密度作為疲勞損傷參數(shù)，從能量角度對橡膠元件的疲勞特性進(jìn)行分析。首先通過試驗獲得橡膠本構(gòu)模型

式中，U為應(yīng)變能密度，I1為主伸長比的第一不變量，Ci0為材料系數(shù)。Ci0可以通過試樣單軸拉伸試驗獲得(見圖8)。

利用獲得的材料本構(gòu)模型參數(shù)，在ANSYS 中建立橡膠襯套三維實體有限元模型。通過計算得到不同載荷P下橡膠的最大應(yīng)變能密度Umax，見圖9。然后通過疲勞試驗獲得橡膠襯套在對應(yīng)載荷P下的疲勞壽命Nf，見圖10。由此得到橡膠襯套在不同載荷工況P下的Umax與Nf之間的關(guān)系曲線，如圖11所示。利用冪函數(shù)模型得到橡膠疲勞壽命預(yù)測公式

式中，a，b為材料常數(shù)。對于實際工況下橡膠襯套疲勞壽命估算，只要獲得其在汽車不同行駛工況下的最大應(yīng)變能密度，代入式(6)，即可獲得其疲勞壽命的估算值。

圖9 橡膠襯套有限元模型和應(yīng)變能密度分布云圖

圖10 橡膠襯套疲勞試驗

圖11 橡膠最大應(yīng)變能密度?疲勞壽命關(guān)系曲線

4 總結(jié)

本文以材料力學(xué)課程中與工程緊密相關(guān)的疲勞問題為研究對象，將課本中介紹的金屬材料在穩(wěn)定交變載荷作用下的疲勞問題，拓展到不穩(wěn)定交變應(yīng)力下金屬材料的疲勞及非金屬材料在不同載荷作用下的疲勞問題，主要工作如下：

(1)課本中介紹的金屬材料在穩(wěn)定交變載荷作用下的疲勞問題，主要通過試驗獲得不同材料在對稱循環(huán)下的σ–N曲線。利用該曲線可以對工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞壽命估算，或基于無限壽命或有限壽命設(shè)計對構(gòu)件疲勞強度進(jìn)行校核。

(2)以汽車前軸隨機疲勞為例，引入不穩(wěn)定交變應(yīng)力下金屬材料疲勞壽命的估算方法。通過試驗提取關(guān)鍵節(jié)點的應(yīng)力時程曲線，根據(jù)雨流計數(shù)法將其等效為不同應(yīng)力幅的循環(huán)；同時根據(jù)Goodman 修正公式，對載荷譜進(jìn)行零均值應(yīng)力轉(zhuǎn)換，并利用Miner線性疲勞累積損傷理論得到構(gòu)件的疲勞破壞特性。

(3) 以汽車中彈性連接件—— 橡膠襯套為例，介紹非金屬材料疲勞壽命估算方法。采用有限元計算和疲勞試驗相結(jié)合的方法，以應(yīng)變能密度作為疲勞損傷參數(shù)，利用超彈性本構(gòu)模型，從能量角度對橡膠元件疲勞特性進(jìn)行分析，并利用冪函數(shù)模型得到橡膠最大應(yīng)變能密度與疲勞壽命之間的關(guān)系，獲得橡膠疲勞壽命估算公式。

在基礎(chǔ)力學(xué)各門課程課時比較緊張的情況下，利用在線課程將拓展知識放在書本知識的擴展部分進(jìn)行介紹，并在課堂上將其作為思考題，有意識地引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。通過這種形式將基礎(chǔ)力學(xué)與工程實踐緊密結(jié)合，對提高基礎(chǔ)力學(xué)的教學(xué)深度和廣度將起到重要的促進(jìn)作用。