林銀河，徐根海，楊?yuàn)檴?/p>

（1.麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水323000；2.浙江理工大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310018）

0 引言

根據(jù)定義，生命跨度T（ε）是指解的最大存在時(shí)間。當(dāng)T（ε）=+∞時(shí)，表明解整體存在。Li和Chen[1]建立了如下形式的生命跨度下界估計(jì)：

其中C是一個(gè)與n，p有關(guān)的正常數(shù)，但與ε無關(guān)，不同的地方取值不一樣。

現(xiàn)在研究以下n維半線性熱傳導(dǎo)方程的Cauehy問題：

和

其中ε表示描述初值小性的參數(shù)。上述兩個(gè)問題的方程都是反映擴(kuò)散的方程，通常用于種群動(dòng)力學(xué)和幾何學(xué)中。這兩個(gè)問題的主要區(qū)別在于非線性項(xiàng)，問題（2）中的非線性具有非負(fù)性，這有利于得出下界估計(jì)，而問題（3）的非線性不具有非負(fù)性。與上述兩問題相關(guān)的更一般的非線性熱傳導(dǎo)方程模型為

其中u（t，x）表示化學(xué)反應(yīng)中的溫度，（f正）表示熱源，可參考Hu[2]關(guān)于模型（2）的詳細(xì)介紹。對(duì)Cauchy問題（2）的研究源于Fujita[3]于1966年的開創(chuàng)性工作。他證明了問題（2）存在臨界指標(biāo)p=pF（n）=（Fujita臨界指標(biāo)）：即當(dāng)時(shí)，對(duì)于任何非負(fù)且非平凡的初值，解將在有限的時(shí)間內(nèi)破裂：而當(dāng)p時(shí)，則存在小初值整體解。隨后，文［4-7］研究了臨界指標(biāo)情況，并證明了該情形解也將在有限時(shí)間內(nèi)破裂。另外，Hu在文［2］的第5章中用反證法證明了當(dāng)1

有一個(gè)有趣的現(xiàn)象是以下小初值半線性耗散波動(dòng)方程的柯西問題：

與（2）具有相同的臨界指標(biāo)，參見［8-14］及其中的參考文獻(xiàn)。

1 熱核的半群性質(zhì)

引理1 熱核E（t，x）的傅里葉變換為

證明 由傅里葉變換的定義可知

于是（8）得證?；诖?，可以證明 E（t，x）的半群性質(zhì)，即：

其中★表示卷積。

證明 由（8）式可知E（t，x）的傅里葉變換為

由此可得

對(duì)上式再作傅里葉逆變換便可得（10）式。

2 主要結(jié)論的證明

首先考慮定理1的證明。根據(jù)Diuhamel原理，問題（2）的解可以表示為

在這里我們使用了E（t，x）的半群性質(zhì)。

令

和

則由 Ho¨lder不等式，可得

令

則有

代入（17）式，得

其中C0表示一個(gè)與ε無關(guān)的正常數(shù)。

注意到當(dāng) 0≤τ≤t時(shí)，有 2（t+1）≥2t+1-τ≥t+1，則由 Ho¨lder不等式可以估計(jì)非線性項(xiàng) N（t）：

其中C1表示一個(gè)與ε無關(guān)的正常數(shù)。

結(jié)合（13）（19）（20）和（21），可得

令

則有

和

由此可得H（t），亦即F（t）的生命跨度上界估計(jì)：

積分上式，可得

即

整理后，可得

其中

進(jìn)一步，可得

于是當(dāng)

即當(dāng)

時(shí)，有

從而

這樣就證明了生命跨度上界估計(jì)為

從而完成了定理1的證明。

以下考慮定理2的證明。事實(shí)上，只需要證明解的非負(fù)性，則問題（3）就能轉(zhuǎn)化為問題（2），從而就可以用上面的方法得到同樣的生命跨度上界估計(jì)。下面證明問題（3）的解是非負(fù)的。首先考慮如下Cauchy問題：

由熱傳導(dǎo)方程基本解的正性（見（13））和初值的假設(shè)，可知

再由熱傳導(dǎo)方程解的唯一性，可知

這樣就證明了Cauchy問題（3）解的非負(fù)性，從而問題（3）中的非線性項(xiàng)，故只需重復(fù)定理1的證明步驟即可證明定理2。