陳英杰， 郭清超， 周夢(mèng)飛， 張 華

(燕山大學(xué)河北省土木工程綠色建造與智能運(yùn)維重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 秦皇島 066004； 燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院, 秦皇島 066004)

關(guān)于物體變形問(wèn)題的研究由來(lái)已久，而應(yīng)用變分原理研究物體的變形經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的時(shí)間，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，理想彈塑性材料的耦聯(lián)系統(tǒng)塑性成形過(guò)程可以視為實(shí)際系統(tǒng)的變形，對(duì)應(yīng)的反耦聯(lián)系統(tǒng)的變形可以作為實(shí)際系統(tǒng)的回彈變形。因此，可以應(yīng)用反耦聯(lián)系統(tǒng)求解出彈塑性梁對(duì)應(yīng)的回彈撓曲線方程。當(dāng)前工程中涉及梁的變形及回彈問(wèn)題還有很多是根據(jù)彈性理論或經(jīng)驗(yàn)公式解決的，存在一定的誤差，也在一定程度上造成材料浪費(fèi)，為了限制彈塑性梁的變形，需要建立能夠指導(dǎo)實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用的理論。彈塑性梁的振動(dòng)問(wèn)題[1-2]和彎曲問(wèn)題[3-4]一直被廣大學(xué)者所關(guān)注，由于材料本構(gòu)關(guān)系的原因，荷載作用下的梁會(huì)產(chǎn)生彎曲變形，從而截面會(huì)產(chǎn)生彈性區(qū)和塑性區(qū)，如何劃分彈塑性區(qū)和彈塑性梁的變形是研究熱點(diǎn)之一。受力構(gòu)件卸載后，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了反向變形，由于材料的回彈值很小，因此需要研究出有效、精確的方法解決回彈問(wèn)題。中國(guó)學(xué)者對(duì)回彈問(wèn)題開(kāi)展了大量研究。吳斌等[5]基于U形板熱沖壓構(gòu)件的殘余應(yīng)力與回彈影響之間的關(guān)系進(jìn)行了研究；羅之軍[6]建立了電子設(shè)備罩殼彈塑性材料有限元模型，對(duì)結(jié)構(gòu)的回彈現(xiàn)象進(jìn)行了研究；錢偉長(zhǎng)研究發(fā)現(xiàn)，由于材料本構(gòu)關(guān)系的原因，荷載作用下的梁會(huì)發(fā)生彎曲變形，從而會(huì)產(chǎn)生彈性區(qū)和塑性區(qū)，而彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界面并不能事先給定，需要找出劃分彈塑性區(qū)的分界線；前人采用邊界待定的變分法[8-10]解決了塑性力學(xué)中理想彈塑性材料變形體彈性區(qū)和塑性區(qū)的劃分問(wèn)題，以及理想彈塑性材料的梁在不同條件下的變形及回彈問(wèn)題，通過(guò)求解可以得到該類問(wèn)題的精確解。對(duì)彈塑性直梁彎曲變形和回彈變形的研究具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值。為了方便敘述，彎曲直梁變形均為有限變形。

1 彎曲直梁的反耦聯(lián)系統(tǒng)和反耦聯(lián)方程

首先引入彎曲直梁的反耦聯(lián)系統(tǒng)和反耦聯(lián)方程的概念，考慮材料、形狀和尺寸相同，位移邊界條件相同，但體力及邊界力相反的兩直梁系統(tǒng)。其中之一為成形直梁，該直梁在加載時(shí)發(fā)生彈塑性變形。另一直梁成為回彈直梁，該直梁在加載時(shí)只發(fā)生彈性變形。成形直梁和回彈直梁構(gòu)成彎曲直梁-反耦聯(lián)系統(tǒng)。成形直梁如圖1所示。

成形直梁的平衡方程、靜力邊界條件和位移邊界條件分別表示為

(1)

(2)

式中：M為成形直梁彎矩；Mx=0、Mx=l分別為成形直梁的梁左、右端彎矩；Wx=0、Wx=l分別為成形直梁的梁左、右端撓度。

(3)

回彈直梁和相應(yīng)的力學(xué)方程分別表示為

x為成形直梁從原點(diǎn)o到直梁上任意一點(diǎn)的距離；為梁左、右端彎矩；表示梁左、右端撓度；q為均布外荷載；l為跨度圖1 成形直梁Fig 1 Straight beam forming

(4)

(5)

(6)

式中：M′為回彈直梁彎矩；M′x=0、M′x=l分別為回彈直梁的梁左、右端彎矩；W′x=0、W′x=l分別為回彈直梁的梁左、右端撓度。

式(1)～式(3)分別與式(4)～式(6)合并，則得方程為

(7)

(8)

(9)

式中：式(7)為成形體與回彈體構(gòu)成的反耦聯(lián)系統(tǒng)的反耦聯(lián)平衡方程；式(8)為反耦聯(lián)靜力邊界條件；式(9)為反耦聯(lián)位移邊界條件。

2 彎曲直梁的回彈變分原理

2.1 彎曲直梁的回彈最小勢(shì)能原理

采用加權(quán)余量法對(duì)式(7)、式(8)進(jìn)行計(jì)算，則有：

(10)

對(duì)式進(jìn)行相應(yīng)的變分運(yùn)算。

(11)

則得

(12)

式中：Π′sp為回彈直梁的彈性勢(shì)能；A(K′)為回彈勢(shì)能密度；式中：δ為變分極值；w′為回彈直梁的容許撓度；Me為梁水平方向彎矩κe為彈塑性區(qū)與彈性區(qū)交界處的轉(zhuǎn)角；κ1為彈塑性區(qū)的轉(zhuǎn)角；ξ為梁跨內(nèi)彈塑性區(qū)長(zhǎng)度；E為楊氏模量；J為慣性矩；A(K′)為回彈勢(shì)能密度；K′為回彈直梁彎曲曲率。

對(duì)式(13)進(jìn)行變分運(yùn)算。

(13)

則得

(14)

根據(jù)變分法基本預(yù)備定理，則得歐拉方程為

(15)

(16)

(17)

2.2 彎曲直梁的回彈最小余能原理

應(yīng)用加權(quán)余量法，可得回彈總余能Π′sc為

(18)

因

(19)

即

(20)

式中：B(M′)為回彈余能密度；K為成形直梁彎曲曲率；w為成形直梁的容許撓度。

(21)

由于內(nèi)力是容許的，故應(yīng)滿足平衡方程和靜力邊界條件：

(22)

δM′x=0=δM′x=l=0

(23)

于是式(21)變?yōu)?/p>

(24)

據(jù)變分法基本預(yù)備定理，則得歐拉方程為

(25)

w′x=0-wx=0=0

(26)

w′x=l-wx=l=0

(27)

式中：wx=0、wx=l分別為成形直梁的梁左、右端容許撓度；w′x=0、w′x=l分別為回彈直梁的梁左、右端容許撓度。

3 彎曲直梁的廣義回彈變分原理

3.1 彎曲直梁的廣義回彈勢(shì)能原理

應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，可得廣義回彈勢(shì)能泛函數(shù)為

(w′-w)x=l(Q′+Q)x=l

(28)

式(28)中：Π′gsp為回彈直梁的廣義彈性勢(shì)能；Q、Q′分別為成形、回彈直梁剪力。

對(duì)式(28)取w′、K′和M′的變分駐值，則得:

(w′-w)x=lδQ′x=l+(Q′+Q)x=0δw′x=0-

(Q′+Q)x=lδw′x=l=

(w′-w)x=0δQ′x=0-(w′-w)x=lδQ′x=l+

(Q′+Q)x=0δw′x=0-(Q′+Q)x=lδw′x=l=0

(29)

(30)

式(29)右端后兩項(xiàng)和式(30)右端后兩項(xiàng)相抵消，則式(28)變?yōu)?/p>

(w′-w)x=0δQ′x=0-(w′-w)x=lδQ′x=l-

(31)

根據(jù)變分法基本預(yù)備定理，則歐拉方程為

(32)

(33)

(34)

(w′-w)x=0=0

(35)

(w′-w)x=l=0

(36)

(M′+M)x=0=0

(37)

(M′+M)x=l=0

(38)

3.2 彎曲直梁的廣義回彈余能原理

應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，則得廣義余能泛函數(shù)為

(39)

式(39)中：Π′gsc為回彈直梁的廣義彈性余能。

對(duì)式(39)M′、K′和w′取駐值變分，則得

(40)

則式(40)變?yōu)?/p>

(41)

根據(jù)變分法基本預(yù)備定理，則得歐拉方程為

(42)

(43)

(M′+M)x=0=0

(44)

(M′+M)x=l=0

(45)

(w′-w)x=0=0

(46)

(w′-w)x=l=0

(47)

4 集中荷載作用下彈塑性懸臂梁回彈變分原理的應(yīng)用

4.1 回彈變分最小勢(shì)能原理的應(yīng)用

應(yīng)用最小勢(shì)能原理計(jì)算想彈塑性材料懸臂梁的回彈變形。成形懸臂梁的任意截面彎矩為

M(x)=-P(l-x)

(48)

(49)

式中：P為成形直梁所受集中力。

于是有:

(50)

使回彈懸臂梁的容許位移為

(51)

于是有：

(52)

(53)

對(duì)式(53)中的Π′sp取A、B極值，得

(54)

將式(54)代入式(51)得回彈撓曲線方程為

(55)

4.2 回彈變分最小余能原理的應(yīng)用

應(yīng)用最小余能原理計(jì)算理想彈塑性材料懸臂梁的回彈變形。假設(shè)懸臂梁的任意截面彎矩為

M′(x)=-P′(Al-Bx)

(56)

(57)

式中：M′(x)為回彈直梁在梁上一點(diǎn)出彎矩；P′為回彈直梁所受集中力。

于是有：

(58)

懸臂梁的容許位移為

(59)

(60)

(61)

對(duì)Π′sc取A、B極值，得

(62)

將式(62)代入式(58)，得到回彈撓曲軸方程為

(63)

(64)

(65)

C1x+C2

(66)

式中：C1、C2為常量。

滿足的位移邊界條件：當(dāng)x=0時(shí)

(67)

最后得回彈撓曲線方程為

(68)

4.3 有限元模擬以及數(shù)值計(jì)算

4.4 結(jié)果分析

從圖2可知，通過(guò)本文方法計(jì)算的懸臂梁回彈值與ANSYS模擬計(jì)算得出的懸臂梁回彈值基本吻合，其中最大相對(duì)誤差在允許范圍內(nèi)。證明了應(yīng)用回彈變分原理計(jì)算彈塑性懸臂梁的回彈撓曲線方程是正確的。

表1 當(dāng)ηx=0(x)=0時(shí)本文方法與模擬的回彈數(shù)值Table 1 The proposed method and numerical simulation of spring back when ηx=0(x)=0

圖2 固定端截面彈性區(qū)高度不同時(shí)梁的回彈變形Fig.2 Springback deformation of beams with different height of elastic zone of fixed end section

5 集中荷載作用下彈塑性簡(jiǎn)支梁回彈變分原理應(yīng)用

5.1 回彈變分最小勢(shì)能原理的應(yīng)用

應(yīng)用最小勢(shì)能原理計(jì)算想彈塑性材料簡(jiǎn)支梁的回彈變形。簡(jiǎn)支梁的任意截面彎矩為

(69)

(70)

于是有：

(71)

假使簡(jiǎn)支梁的容許位移為

(72)

于是有：

(73)

(74)

對(duì)Π′sp取A、B極值，得

(75)

將式(75)代入(72)得到回彈撓曲線方程為

(76)

(77)

(78)

(79)

5.2 回彈變分最小余能原理的應(yīng)用

應(yīng)用最小余能原理計(jì)算理想彈塑性材料簡(jiǎn)支梁的回彈變形。假設(shè)簡(jiǎn)支梁的任意截面彎矩為

(80)

(81)

于是有：

(82)

梁的容許位移為

(83)

(84)

(85)

對(duì)Π′sc取A、B極值，得

(86)

最后得回彈撓曲軸方程為

(87)

(88)

(89)

(90)

為滿足位移邊界條件，當(dāng)x=0時(shí)

(91)

(92)

最后得回彈撓曲線方程為

(93)

5.3 有限元模擬以及數(shù)值計(jì)算

表2 當(dāng)ηx=0(x)=0時(shí)本文方法與模擬的回彈數(shù)值

圖3 跨中截面彈性區(qū)高度不同時(shí)梁的回彈變形Fig.3 Springback deformation of beams with different height in elastic zone of mid-span section

5.4 結(jié)果分析

從圖3可知，通過(guò)本文方法計(jì)算的懸臂梁回彈值與ANSYS模擬計(jì)算得出的懸臂梁回彈值基本吻合，其中最大相對(duì)誤差在允許范圍內(nèi)。從而證明，應(yīng)用本文研究的回彈變分原理計(jì)算彈塑性懸臂梁的回彈撓曲線方程是正確的。

6 結(jié)論

主要闡述了彈塑性彎曲直梁回彈變分原理在理想彈塑性懸臂梁和理想彈塑性簡(jiǎn)支梁中的應(yīng)用。建立了彈塑性彎曲直梁的耦聯(lián)系統(tǒng)和反耦聯(lián)系統(tǒng)，由反耦聯(lián)系統(tǒng)推導(dǎo)出反耦聯(lián)方程，并應(yīng)用加權(quán)余量法得到了回彈變分原理，并通過(guò)最小勢(shì)能原理和最小余能原理推導(dǎo)出彈塑性彎曲直梁變形后的回彈撓曲線方程。根據(jù)梁上的荷載條件，聯(lián)立不同的邊界條件進(jìn)行求解，最終得到回彈撓度值。然后應(yīng)用ANSYS進(jìn)行實(shí)體建模分析，得到具體計(jì)算結(jié)果。最后將兩種計(jì)算結(jié)果分別進(jìn)行對(duì)比，證明了所推導(dǎo)彈塑性彎曲直梁回彈變分原理的正確性，因此本文方法在工程應(yīng)用計(jì)算中具有一定的參考價(jià)值和科學(xué)理論意義。