范林偉 楊雅軍

【摘 ? 要】數(shù)學手賬以其圖文并茂的呈現(xiàn)方式、豐富多元的主題類型以及固本強基、啟迪思維的教學價值而備受師生和家長的喜愛。對數(shù)學手賬的意蘊、特點、類型以及相應的教學策略做一些有益的探索，有利于教師在實踐中取得更好的成效。

【關鍵詞】數(shù)學手賬;學習方式;數(shù)學表征;教學策略

一、數(shù)學手賬的學理意蘊

“手賬”原指經(jīng)常帶在身邊，用來記載心想、要做、怕忘的各種事情的小型筆記本?！皵?shù)學手賬”則是記錄數(shù)學學習的載體。它在保留其原有的記錄、計劃功能之外，更加注重讓學生運用多元的數(shù)學表征方式來記錄在發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題時所經(jīng)歷的數(shù)學思考過程、獲得的結果和探究體會。

數(shù)學手賬由一系列賬頁組成，每張賬頁主要包含“我的問題、我的實踐、我的思考”三大基本板塊，力求全面呈現(xiàn)某個數(shù)學問題及其相應的探究過程。通常，數(shù)學手賬具有如下特點。

（一）數(shù)學思考痕跡化

學生會把從確定問題、實施計劃、調(diào)整反思到提煉經(jīng)驗等思考過程和思維軌跡全程記錄下來。這種自然流露作為學生對學習過程的梳理與總結，能充分體現(xiàn)他們主動求知、積極探究、渴望知識和樂于創(chuàng)造的良好學習狀態(tài)。

（二）數(shù)學思維可視化

為了將自己的所感、所想、所做全面地記錄下來，學生在描述問題解決的過程時會運用多元的表征方式來表達自己的思維過程。這有效地促使學生將感性、初步的認識提煉為理性的數(shù)學經(jīng)驗和數(shù)學知識。

（三）數(shù)學方法多樣化

學生在解決問題時會從實物或模型、數(shù)或形等角度來全面思考并嘗試運用不同的數(shù)學方法來解答，進而不斷豐富與強化自身對數(shù)學學習方法和學習方式的理解與運用。其間，他們還會使用個性化的表達方式將自己的思考表達出來。如學生在創(chuàng)作數(shù)學手賬時會以問題為載體直接表達探究過程，也會以故事為載體間接表達探究過程，還會以知識樹、思維導圖、小課題研究的形式來展示自己的探究過程。

教學中，我們將數(shù)學手賬劃分為問學手賬、固學手賬和延學手賬三類，分別在學生預習、回顧、整理、拓展等階段使用，從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題、調(diào)整和反思以及創(chuàng)新實踐等能力，使他們善于學習、樂于學習，從而愛上這種不一樣的數(shù)學學習方式。

二、數(shù)學手賬的教學策略

數(shù)學手賬不僅能夠“曬”出學生的思維困惑，“曬”出他們的思維方式，還能“曬”出他們的數(shù)學創(chuàng)造。教學中，教師可以根據(jù)教學的需要合理選擇手賬類型進行布置，這樣既能引導學生學會用數(shù)學思維分析問題，又能提升學生的數(shù)學理解水平，還能借此診斷自己的教學效果。

（一）問學手賬讓學生學得有方向

愛因斯坦曾指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要?！睂W生在預習、在課堂上遇到問題時，可以及時地將它們記錄下來，然后借助問學手賬做深入的探究。這不僅能為學生的數(shù)學學習導航，而且還能使他們在提問的過程中學會提出問題的策略，掌握提出問題的方法。

如學習四年級“加法交換律和結合律”時，由于內(nèi)容相對簡單，教師就安排獨立預學的方式，組織學生通過問學手賬來記錄自主學習的過程。有位學生清楚地將自己預習教材、舉例驗證、歸納總結的過程繪制下來，還借助“朝三暮四”的故事加以描述（見圖1）。整頁手賬內(nèi)容全面、主題突出，有序地展示了預習的過程和學習的成果。

又如學習四年級“三角形的分類”時，有學生產(chǎn)生了如何分辨三角形的種類的問題。該學生帶著預習時產(chǎn)生的問題進入課堂，然后根據(jù)課堂的探究過程，將知識回顧、探索發(fā)現(xiàn)、研究結論和自身體會描繪下來（見圖2）。從賬頁可以看出，學生在問題的導向下，不僅知道了三角形按角分類的方法，還認識了直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的特征，發(fā)現(xiàn)了這三者之間的共同點（每個三角形最少有兩個銳角），而且還得出了“判斷一個三角形關鍵看它三個角中最大的角是什么角”的方法。

（二）固學手賬讓學生學得有質(zhì)量

古語云，溫故而知新。在日常的知識回顧、優(yōu)化提升或單元整理時，教師可以組織學生創(chuàng)作固學手賬，以此來整理和歸納新知與技能，促使學生在數(shù)學問題的解決中熟悉解決問題的策略與方法，學會舉一反三，提高數(shù)學運用與數(shù)學理解能力，起到固本強基、拓展思維的作用。

如學習三年級“24時計時法”時，教師為了鞏固學生對12時計時法與24時計時法之間換算的認知，促進學生對計算經(jīng)過時間的方法的理解，組織學生繪制了固學手賬。從學生作品（見圖3）中可以發(fā)現(xiàn)，該生在解決問題時既借助了直觀的時間尺模型來幫助思考，又使用了兩種不同的方法來解決問題。這種“你知道嗎”的表現(xiàn)方式生動地展示了學生對計時方法的理解與感悟以及熟練運用知識解決問題的自信心。

再如學習四年級“觀察物體（二）”時，有學生為了讓自己清晰地回憶數(shù)圖形的方法，將操作演示的思考方法淋漓盡致地記錄成數(shù)學手賬（見圖4）。

從賬頁中可知，該學生為了數(shù)出這個組合體中小正方體的個數(shù)，將隱藏在內(nèi)部的實際構造繪制出來，從而確定了所用正方體的具體數(shù)量。在這一過程中學生不僅解決了問題，學會了有序思考此類問題的思維方式，而且有效地提高了自身觀察、操作、想象、分析與推理的意識和能力。

又如學習三年級“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”后，有學生產(chǎn)生了要研究“11的速算”的想法。其間，他通過列舉以及對豎式結構的分析，發(fā)現(xiàn)了它們的共同點，明確了“與11相乘”的規(guī)律（見圖5）。最后，他還真切地提出“數(shù)學是一門有趣的學科，我們要善于發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，大膽猜測，通過實踐來驗證猜測，一定能解決問題”。這樣的探究不但強化了學生靈活運用“猜測—舉例—驗證”的思想方法，還使他們品嘗了成功的喜悅，感受到數(shù)學的無窮魅力。

（三）延學手賬讓學生學得有趣味

為了激發(fā)學生的探究興趣，拓寬學生的學習視野，發(fā)展他們的數(shù)學眼光和用數(shù)學解決問題的意識，教師還可將數(shù)學手賬延伸到課堂之外，全面拓寬學生數(shù)學學習的廣度和深度。

如一年級學生學習“找規(guī)律”以后，教師可引導學生通過舉例、驗證的方式對“開關問題”進行探究，進而得到結論，并且最終發(fā)現(xiàn)有關奇偶數(shù)計算的規(guī)律。一學生借助列表法有序地將自己是如何進行歸納推理的過程描繪了出來（見圖6）。從“調(diào)皮的單數(shù)、雙數(shù)”這一主題，我們也可以看出該學生在解決這個問題的過程中心中肯定充滿了期待和探究的興趣以及得出結論時的那種喜悅感。

又如學習四年級“三角形內(nèi)角和”之后，有學生自發(fā)探究了“圖形內(nèi)角和的秘密”。該學生在三角形內(nèi)角和的基礎上利用分割法依次研究了四邊形、五邊形和六邊形的內(nèi)角和，最后通過數(shù)學推理明確了n邊形的內(nèi)角和的求解方法為“180×（n-2）”。他完整地將“我的問題、我的實踐、我的反思”記錄成了一頁手賬（見圖7）。他坦言：“數(shù)學中解決問題的方法可能有很多，但我們要尋找更快捷、更簡便的方法。”可見，他不僅感受到了數(shù)學公式的簡潔美，還體會到了數(shù)學學習的真正樂趣，也享受到了解決問題帶來的成功感和自信心。

總之，根據(jù)教學的需要合理選擇數(shù)學手賬的類型，能有效地促進學生內(nèi)化知識，掌握技能，使他們學得有方向、有質(zhì)量、有趣味、有活力。

（浙江師范大學附屬嘉善實驗學校 ? 314100浙江省嘉善縣實驗小學 ? 314100）