劉格含,王 鵬,吳小華,山 強,范芃佐(.北京工業(yè)大學(xué)環(huán)境與能源工程學(xué)院,北京 004;.北京石油化工學(xué)院機械工程學(xué)院,深水油氣管線關(guān)鍵技術(shù)與裝備北京市重點實驗室,北京 067)

近年來,我國農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量位居世界前列,農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)銷關(guān)系到國民經(jīng)濟發(fā)展全局。大多數(shù)果蔬、糧食和食用菌等農(nóng)產(chǎn)品通常含水率較高,易腐爛變質(zhì),采摘后的農(nóng)產(chǎn)品處理不當(dāng)會造成大量產(chǎn)后損失。干燥可以去除物料中大量水分,降低水分活度從而抑制微生物活動,是農(nóng)產(chǎn)品保藏的重要加工技術(shù)手段。傳統(tǒng)干燥方式以自然晾曬或烘、烤干為主,這些傳統(tǒng)干燥加工受氣候因素影響很大,如日光、環(huán)境溫度、濕度等,因此存在霉變、干燥周期長、灰塵與蟲蠅的污染等問題而難以保證干制質(zhì)量。為了提高干燥效率、降低能耗,在干燥過程中陸續(xù)采用生物質(zhì)、太陽能、熱泵等為主要熱源的烘干方式,并發(fā)展了熱風(fēng)干燥、微波干燥、真空干燥和紅外干燥等一系列先進干燥技術(shù)[1-4]。在這些干燥工藝中,熱風(fēng)干燥具有工藝簡單、成本低、干燥品質(zhì)好、使用范圍廣等特點,在農(nóng)產(chǎn)品干燥生產(chǎn)實踐作為最主要的干燥方式之一[5]。

熱風(fēng)干燥是通過對介質(zhì)(如空氣)的加熱,將熱量傳遞到物料,除去物料中水的過程。物料周圍環(huán)境溫度升高,物料表面的水分在蒸發(fā)、擴散作用下,流向熱空氣;物料內(nèi)部與表面產(chǎn)生水分梯度差,內(nèi)部的水分以氣態(tài)或液態(tài)的形式向表面擴散,物料水分持續(xù)減少;同時物料表面和內(nèi)部產(chǎn)生溫度梯度,熱量從表面向中心傳遞,最終達到保持物料整體處于適宜含水率的目的[6]。整個過程包含復(fù)雜的熱質(zhì)耦合傳遞作用,水分在干燥過程中以氣態(tài)或液態(tài)形式在物料表面與內(nèi)部的遷移過程決定干燥時長,而干燥環(huán)境與物料的溫度又影響水分傳遞過程。干燥時長與溫度是衡量干燥能耗的重要指標。對于種子、菌類、中藥材等高熱敏性、高活性成分而言,溫度也是決定干燥品質(zhì)的重要操作參數(shù)之一。除此之外,熱風(fēng)干燥過程中的風(fēng)速、物料結(jié)構(gòu)、表面積等也影響著物料干燥過程,導(dǎo)致物料干燥過程中傳熱傳遞規(guī)律更為復(fù)雜[7]。過程中物料內(nèi)部干燥機理極為復(fù)雜,而溫度與干燥環(huán)境相對濕度影響干燥速率與品質(zhì)。可以說,農(nóng)產(chǎn)品熱風(fēng)干燥過程中的熱質(zhì)傳遞過程直接影響干燥的品質(zhì)、能耗,對該過程的機理研究與準確預(yù)測可以為綠色節(jié)能的干燥工藝開發(fā)、設(shè)備研制等提供理論指導(dǎo),在農(nóng)業(yè)增效、提供有效供給和保證干燥工藝安全方面有重要意義[8]。

針對干燥過程熱質(zhì)耦合傳輸過程的研究,目前的研究手段大多采用實驗研究和數(shù)值模擬研究[9-11]。實驗研究一般通過采集干燥過程中的溫度、濕度、水分等數(shù)據(jù),針對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象進行假設(shè)驗證、分析總結(jié),這種研究方法的優(yōu)點是實驗數(shù)據(jù)真實有效,但對于大多數(shù)具有復(fù)雜容水結(jié)構(gòu)、物性非勻質(zhì)等特點的農(nóng)產(chǎn)品,干燥中物料內(nèi)部濕熱傳輸過程無法直接觀察,單靠實驗研究將難以查明熱質(zhì)耦合傳遞規(guī)律。數(shù)值模擬方法通過基于干燥機理的熱質(zhì)傳遞控制方程求解,得到干燥熱空氣和物料內(nèi)部的溫度、水分等的參數(shù),以此分析干燥過程,從而獲得干燥過程物料品質(zhì)變化機理。對于干燥周期長、工藝復(fù)雜、數(shù)據(jù)難采集等的干燥過程,數(shù)值模擬具有直觀性與快速計算的優(yōu)點。由于絕大部分農(nóng)產(chǎn)品內(nèi)部結(jié)構(gòu)本身具有復(fù)雜性,干燥傳輸過程的影響因素具有多樣性,傳熱傳質(zhì)規(guī)律復(fù)雜,數(shù)值模擬在探究干燥過程中的濕份傳輸規(guī)律、溫度分布等方面發(fā)展迅速,已然成為現(xiàn)代農(nóng)產(chǎn)品干燥研究的重要方式方法[12]。本文將對研究農(nóng)產(chǎn)品熱風(fēng)干燥熱質(zhì)傳輸過程的三種常用的數(shù)值模擬方法進行綜述，簡要回顧這些方法的發(fā)展歷程,重點介紹其基本理論及數(shù)學(xué)模型,闡述其在農(nóng)產(chǎn)品熱風(fēng)干燥研究中的應(yīng)用,總結(jié)各自優(yōu)缺點,并對這些方法的發(fā)展進行一定的展望,目的是在為農(nóng)產(chǎn)品熱風(fēng)干燥的深入研究提供一些參考借鑒價值。

1 基于干燥動力學(xué)模型的熱風(fēng)干燥傳熱傳質(zhì)研究

干燥動力學(xué)對農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)值模擬一般針對薄物料層建模,薄層干燥數(shù)學(xué)模型廣泛用來描述熱風(fēng)干燥中不同時刻水分比的變化,從而獲得干燥過程中的物料干燥特性變化或?qū)Ω稍锲鬟M行能耗分析等,廣泛用于農(nóng)產(chǎn)品加工、食品工業(yè)等領(lǐng)域的研究[13-17]。現(xiàn)已獲得的干燥動力學(xué)的薄層干燥方程有多種,一般按數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)是否基于相關(guān)理論及數(shù)學(xué)模型相關(guān)參數(shù)確定是否基于實驗過程,將薄層干燥數(shù)學(xué)模型分為理論方程、半理論半經(jīng)驗方程和經(jīng)驗方程[18]。以下給出一些典型干燥動力學(xué)模型的物料干燥應(yīng)用研究現(xiàn)狀。

1.1 理論方程

最常用于描述干燥過程的理論方程是基于菲克擴散定律推導(dǎo)得出,是一種在忽略干燥過程中物料體積變化、收縮應(yīng)力等作用下,探究物料內(nèi)部水分隨干燥時間變化的方程式。假設(shè)干燥過程中的濕份只以液態(tài)形式轉(zhuǎn)移,其推動力是濕份濃度梯度產(chǎn)生的擴散遷移。水分比(MR)的概念作為含水量的無量綱形式被引入,將其定義為在t時刻除去的游離水與初始時刻的游離水的比例:

式(1)

式中:Mt為t時刻干基含水量,%;M0為初始干基含水量,%;Meq為平衡干基含水量,%。

根據(jù)對水分比定義式積分結(jié)合液態(tài)擴散理論所得出模型,該模型一般稱為指數(shù)模型:

式(2)

理論模型是通過對干燥過程基本理論推導(dǎo)得出、用于表示干燥中物料內(nèi)部水分變化過程的數(shù)學(xué)模型,但實際的干燥過程較為復(fù)雜,單純的理論模型在干燥研究中應(yīng)用有限。

1.2 半理論半經(jīng)驗方程

干燥過程是一個復(fù)雜的熱質(zhì)耦合傳輸過程,僅采用菲克擴散理論來構(gòu)建干燥動力學(xué)方程明顯不能夠反應(yīng)出全部的影響因素,導(dǎo)致計算精度較低。為了克服這一不足,眾多學(xué)者在理論方程的基礎(chǔ)上,對數(shù)學(xué)模型進行修改,將復(fù)雜的、干擾因素眾多的干燥過程通過實驗數(shù)據(jù)進行簡化修正,一定程度地提高了計算精度。

Henderson和Pabis在指數(shù)模型基礎(chǔ)上,推導(dǎo)方程:

MR=a·exp(-kt)

式(3)

式中:a和k均是由實驗數(shù)據(jù)得出的經(jīng)驗參數(shù),其中k包含擴散系數(shù),t表示干燥時間。

該方程對于描述某些物料的中間干燥階段較為吻合,如藍莓干燥過程中出現(xiàn)的第二個降速干燥階段[19]。該模型也適用于描述蘋果的干燥過程的水分變化[20]。

將物料的幾何形狀、擴散系數(shù)和初始含水率等影響干燥過程的因子包含在該模型的系數(shù)中,提出兩項模型(two-term model):

MR=a1exp(-k1t)+a2exp(-k2t)

式(4)

式中:a1、a2、k1、k2均是由實驗數(shù)據(jù)得出的經(jīng)驗參數(shù)。

王漢羊等[21]通過山藥切片的干燥實驗驗證了兩項模型預(yù)測值與實驗結(jié)果擬合良好,說明該模型能夠描述及預(yù)測山藥干燥過程的水分變化規(guī)律。王攀[22]的實驗也證明該模型適用于描述干燥過程中水稻等谷物物料內(nèi)部水分變化過程。Omolola等[23]在對香蕉切片的干燥實驗中指出,可以由菲克定律闡明香蕉干燥過程的水分遷移機理,使用兩項模型描述干燥過程與該實驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合度較高。同樣,也能在一些中草藥的干燥中發(fā)現(xiàn)兩項模型是最適合描述此類物料干燥行為的干燥模型[24]。

對于一些含水率較高的物料,其干燥特性曲線的不同階段特征較為明顯。對于此類物料,單一模型可能并不適用于擬合整個干燥過程曲線,并考慮到由于干燥過程三個階段的干燥機理各不相同,認為一般只有在降速干燥期可以認為與模型擬合良好。通過數(shù)據(jù)擬合,利用線性回歸分析獲得系數(shù)可以描述干燥前期曲線,因此在兩項模型基礎(chǔ)上附加單獨項,通過三項特性曲線的擬合獲得新的干燥動力學(xué)曲線,得到三項模型(Diffusion Approach)方程:

MR=a1exp(-k1t)+a2exp(-k2t)+a3exp(-k3t)

式(5)

式中:a1、a2、a3、k1、k2、k3是由實驗數(shù)據(jù)得出的經(jīng)驗參數(shù)。該模型是模擬山藥、魔芋、獼猴桃等物料的干燥過程中水分變化的最佳模型[25-27]。

Page方程在對玉米的干燥實驗中,在Newton方程積分形式所獲得的方程基礎(chǔ)上指出濕份擴散率與濃度梯度成正比關(guān)系,也將干燥物料表面空氣流速影響考慮到模型中,提出薄層干燥方程:

MR=exp(-ktn)

式(6)

式中:k和n是與干燥物料相關(guān)的經(jīng)驗常數(shù)。

黃克昌等[28]在考慮澳洲堅果果仁水分、品質(zhì)等干燥特性的實驗中建立干燥動力學(xué)方程,并獲得Page模型與實驗結(jié)果擬合良好的結(jié)論。實驗也驗證了該方程適用于切片型農(nóng)產(chǎn)品的干燥研究[29-30],是干燥實驗中較為經(jīng)典模型之一。

Page方程通過最小二乘法處理得到修正方程,也稱為修正Page方程(Modified Page equation):

MR=exp[-(kt)n]

式(7)

式中:k和n是與干燥物料相關(guān)的經(jīng)驗常數(shù)。

杜偉鋒等[31]對中草藥通過實驗獲得干燥速率、含水率、水分比等干燥特性建立干燥模型,采用修正Page方程能較好的預(yù)測不同溫度、不同時刻的水分比。Ekeke等[32]采用芭蕉作為物料做切片薄層干燥實驗,證明Page方程和修正Page方程是適用于預(yù)測該物料干燥過程的模型。

方程(3)～(7)都是用來對干燥過程中的濕份擴散進行描述和控制,其中涉及到物料形狀、物性等因素,是半理論半經(jīng)驗方程。半理論半經(jīng)驗方程是以菲克擴散理論為基礎(chǔ),約束條件更貼近于實際,將復(fù)雜的、干擾因素眾多的影響因素當(dāng)量通過實驗數(shù)據(jù)對進行簡化修正,考慮到數(shù)學(xué)方程中,精度得到一定的提升,但方程參數(shù)的確定也需要大量的實驗數(shù)據(jù)與時間。

1.3 經(jīng)驗方程

除了上述兩種方程模型,還有一種根據(jù)實驗數(shù)據(jù)直接得到數(shù)學(xué)關(guān)系式模型,與干燥過程并無物理聯(lián)系,通常被認為是經(jīng)驗方程。其優(yōu)點是方程等式本身根據(jù)實驗數(shù)據(jù)觀察統(tǒng)計,由實際操作經(jīng)驗所建立干燥模型,不包含類似理論方程中的假設(shè),可將眾多的干燥影響因素當(dāng)量考慮到數(shù)學(xué)模型中,模型精度較高。指數(shù)形式的干燥動力學(xué)模型中的k的變化取決于風(fēng)溫,但并未闡明二者的內(nèi)在關(guān)系,所以研究者提出在薄層干燥實驗中以風(fēng)溫為變量,將整個干燥過程按時間段劃分,并分段統(tǒng)計,通過連續(xù)計算短時間內(nèi)增量的變化量推導(dǎo)出模型,獲得典型經(jīng)驗方程:

t=a·lnMR+b·(lnMR)2

式(8)

式中:a和b表示經(jīng)驗常數(shù)。

該模型克服了指數(shù)模型不能充分描述整個干燥過程的缺點,與玉米的薄層干燥實驗數(shù)據(jù)擬合良好,而且也能擬合溫度變化范圍較大情況的實驗數(shù)據(jù)。后續(xù)研究者進一步提出溫度適用范圍更寬的經(jīng)驗方程公式(9),在肉類和馬鈴薯片的干燥研究中也得到廣泛應(yīng)用[33-34]:

MR=1+a1t+a2t2

式(9)

式中:a1、a2表示經(jīng)驗常數(shù)。

干燥動力學(xué)方程形式多樣,理論方程可以簡單解釋干燥過程中的水分遷移基本機理,其參數(shù)具有物理意義,奠定了干燥過程傳熱傳質(zhì)基本原理,但簡化了一定量的實際干燥條件,如水分的遷移機理只考慮擴散作用,所以其應(yīng)用受到一定限制。經(jīng)驗方程只依靠于實驗數(shù)據(jù),將經(jīng)驗參數(shù)等效于所有干燥影響因素,對于某種物料或某個實驗過程,基于大量實驗數(shù)據(jù)整理后得出,精度較高,但由于經(jīng)驗方程需要實驗操作獲得的經(jīng)驗建立模型,也導(dǎo)致其應(yīng)用范圍有限。半理論半經(jīng)驗方程由菲克定律為基礎(chǔ)理論,同時借助實驗數(shù)據(jù)來將其他眾多因素當(dāng)量考慮到方程中,兼顧理論方程和經(jīng)驗方程兩者的優(yōu)點,模型更接近于物料干燥過程,精度較高,適用范圍較廣,在工程應(yīng)用中較為廣泛。但干燥動力學(xué)模型的研究方法自身帶有一定局限性,如隨實驗環(huán)境或?qū)嶒灧椒ǖ母淖?都要從大量實驗數(shù)據(jù)中獲得經(jīng)驗參數(shù),對干燥過程中物料內(nèi)在機理研究的熱質(zhì)傳遞規(guī)律探索并不明確。表1給出一些常用干燥動力學(xué)模型,由表1可以看出,每種模型都至少包含一個“干燥特性參數(shù)k”,對于這個參數(shù)的獲取,不僅受物料特性的影響,也受實驗過程的影響,且模型也并沒有考慮物料本身物性、結(jié)構(gòu)與干燥過程熱質(zhì)傳遞的關(guān)系,實際上這些因素都影響模型的準確性與適用性。

表1 常用薄層干燥數(shù)學(xué)模型Table 1 Mathematical models for thin-layer drying

2 基于宏觀多孔介質(zhì)連續(xù)模型的熱風(fēng)干燥傳熱傳質(zhì)研究

絕大部分如菌類、中藥材、糧食等農(nóng)產(chǎn)品,物料本身具有孔隙特征,或類似谷物等顆粒堆積形成的孔隙結(jié)構(gòu),都具有明顯的孔隙性。通常農(nóng)產(chǎn)品物料可以等效為多孔介質(zhì)。因此采用宏觀多孔介質(zhì)連續(xù)性方法建模也是研究農(nóng)產(chǎn)品干燥傳熱傳質(zhì)過程的常用方法之一。干燥過程中水分在多孔介質(zhì)內(nèi)部的遷移涉及液態(tài)擴散、毛細作用、蒸發(fā)冷凝等現(xiàn)象,針對以上多孔介質(zhì)中傳熱傳質(zhì)現(xiàn)象,發(fā)展了一系列基于宏觀多孔介質(zhì)干燥連續(xù)模型。具有代表性的有液態(tài)擴散理論、毛細管理論、蒸發(fā)冷凝理論等,以下對這些理論的數(shù)學(xué)模型簡要概述。

2.1 液態(tài)擴散理論的數(shù)學(xué)模型

以Lewis為代表的液態(tài)擴散理論的數(shù)學(xué)模型:

式(10)

式中:t為時間;C為含濕量;D為液相擴散系數(shù)。

如果需要找到一個適合的數(shù)學(xué)模型獲得物料內(nèi)部擴散作用與物料表面干燥過程外部的相互影響機制關(guān)系,該方程作為干燥過程中的質(zhì)量傳輸方程數(shù)學(xué)模型,可有效計算物料局部含濕量的變化過程,對于干燥過程的質(zhì)量傳遞預(yù)測有重要作用[35]。多孔介質(zhì)液體流動中存在壓差和濃度差情況也會導(dǎo)致擴散作用:

式(11)

式(12)

式中:Φ為滲透率;D為擴散系數(shù);?C/?x為濃度梯度。

劉志軍[36]對木材干燥過程研究中,類似微波干燥狀態(tài)下,在物料內(nèi)部溫度持續(xù)保持較均勻的狀態(tài)下,此時蒸汽壓差是濕份遷移的主要驅(qū)動力,采用該數(shù)學(xué)模型對濕份遷移進行描述。

2.2 毛細管理論的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)多孔介質(zhì)的孔隙中沒有足夠的液體,這時候就由氣體去填充剩余的孔隙空間的狀態(tài),此時多孔介質(zhì)中的液體流動則被稱為“毛細流動”。由于氣體受熱蒸發(fā)脫離液膜導(dǎo)致氣液界面兩側(cè)產(chǎn)生壓力差,壓力指向氣液凹面方向,造成管內(nèi)液體部分分壓力小于氣體部分壓力,從而推動液體流動,導(dǎo)致出現(xiàn)物料內(nèi)部濕份由低濃度處流向高濃度處的現(xiàn)象,這與擴散理論所得出的規(guī)律不一致。這種干燥過程中物料內(nèi)孔隙濕份的流動驅(qū)使力是由毛細力起主導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)上,毛細管理論可以表示為:

式(13)

式中:J為毛細通量;K為水導(dǎo)系數(shù);ψ為毛細勢。

毛細流動在農(nóng)產(chǎn)品干燥機理的研究中必不可少,因為液體流動近似為穩(wěn)態(tài),且流動忽略慣性力作用,常常采用達西定律來描述多孔介質(zhì)干燥過程中的液體流動:

式(14)

式中:k表示滲透率;μ表示動力粘度;P表示壓力。

但即使是實際干燥中毛細作用起主導(dǎo)作用,擴散、蒸發(fā)等依然會對干燥過程有著一定影響。在干燥研究中可以根據(jù)壓差計算物料內(nèi)部濕份遷移速率[36]。

2.3 蒸發(fā)冷凝理論的數(shù)學(xué)模型

由于農(nóng)產(chǎn)品作為多孔介質(zhì)研究一般是顆粒結(jié)構(gòu)或纖維結(jié)構(gòu),多孔介質(zhì)的固體基質(zhì)的溫度對濕份擴散作用起到一定影響。之前的研究大多忽略了熱效應(yīng),并沒有考慮氣液相變與溫度之間的相互作用。在考慮熱效應(yīng)后給出描述干燥過程的數(shù)學(xué)模型。給出質(zhì)量擴散方程:

式(15)

給出熱擴散方程:

式(16)

式中:M表示物料含水量;C為孔隙中的蒸汽濃度;D為恒溫狀態(tài)下的蒸汽擴散系數(shù);α為孔隙空間體積系數(shù)。

系數(shù)一般情況下是常數(shù),ρ是密度。蒸汽在熱效應(yīng)下流動性大于水,蒸汽在較低溫度處冷凝,此處孔隙中的水壓力增大,水與蒸汽流動方向相反。該數(shù)學(xué)模型一般常見于研究堆積谷物中相變的擴散過程和干燥熱質(zhì)耦合水分傳輸數(shù)值模擬中[37-38]。

2.4 Luikov理論的數(shù)學(xué)模型

Luikov對多孔介質(zhì)干燥過程中液體蒸發(fā)的傳熱和傳質(zhì)機理展開進一步研究,他認為熱傳遞、濕份傳遞、多孔介質(zhì)中內(nèi)部壓力是相互影響的,首先提出濕熱傳遞耦合模型理論。并給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式:

式(17)

式中:k均為耦合系數(shù),反映不同傳輸現(xiàn)象之間的影響關(guān)系,如k12表示物料溫度對物料內(nèi)部水分遷移運動的影響;M表示物料含水率;T表示溫度;P表示壓力。

Luikov理論在干燥濕熱傳遞耦合模型發(fā)展上做出了巨大貢獻,該理論認為若多孔介質(zhì)中的壓力梯度很小可以忽略,則多孔介質(zhì)中濕份的主要驅(qū)動力為濃度梯度和溫度梯度;若多孔介質(zhì)中蒸發(fā)劇烈,則壓力急劇上升,濕份傳遞的主要驅(qū)動力就成了壓力梯度,這樣的結(jié)果與達西定律一致。Luikov理論模型可以描述不同物料的干燥過程,在干燥研究中的建模有很高的通用性。Jayapragasam等[39]通過數(shù)值計算獲得Luikov解析解,并將所求解應(yīng)用于大麥籽干燥實驗的數(shù)值預(yù)測,將預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)對比以驗證方程解的有效性,最終驗證在壓力梯度作用下的熱質(zhì)傳遞模型Luikov方程解與實驗數(shù)據(jù)有較高一致性。但由于對于不同物質(zhì)、不同環(huán)境下的耦合系數(shù)都會發(fā)生變化,因此對于耦合系數(shù)的確定的通用性不強,限制了其應(yīng)用。

2.5 平均體積理論的數(shù)學(xué)模型

在宏觀尺度農(nóng)產(chǎn)品干燥研究中,基本上將多孔介質(zhì)看成均勻連續(xù)介質(zhì)體,通過物理定律以直觀的方式推導(dǎo)出干燥過程微分方程。連續(xù)性方法為分析多孔介質(zhì)內(nèi)在屬性和研究內(nèi)在傳遞規(guī)律提供一種有效手段。鑒于多孔介質(zhì)內(nèi)在結(jié)構(gòu)具有復(fù)雜性、存在多相共存的情況,從宏觀到微觀層面都很難對其獲得完整數(shù)學(xué)描述。因此Whitaker提出利用已知的連續(xù)介質(zhì)的輸運方程,分別從氣、液、固三相的各單相特性建立多孔介質(zhì)中熱量、質(zhì)量和動量同時傳遞的理論,利用微積分的物理意義將這些方程將按合適體積平均,獲得描述多孔介質(zhì)中熱質(zhì)傳遞方程,一般稱之為“平均體積理論”。該理論中心思想是:采用代表性控制單元體(Representative Volume Element,REV)中獲得變量的控制方程,然后基于REV體積上積分后求取平均變量值,用以獲得代表整個宏觀尺度上的數(shù)學(xué)特征值[40]:

式(18)

選取合適的包含固體基質(zhì)和孔隙區(qū)域劃入REV,REV應(yīng)具有足夠大的體積可以反映宏觀效應(yīng),尺度應(yīng)該遠小于整個計算域的宏觀尺度[41]。平均體積理論認為所選取的代表性單元的數(shù)學(xué)特征可以反映整個多孔介質(zhì)中的特征結(jié)構(gòu),依靠單元體中對濕份傳遞計算出的“有效傳輸系數(shù)”,這樣就不必依靠實驗獲得經(jīng)驗參數(shù)[42]。Whitaker將平均體積理論應(yīng)用到干燥過程中一般所用的方程如下:

連續(xù)性方程:

式(19)

式中:ε為孔隙率;是相平均速度矢量。

動量方程:

式(20)

多孔介質(zhì)中的流動與普通流動不同,流動規(guī)律不僅與流體性質(zhì)有關(guān),還與孔隙的滲透結(jié)構(gòu)有關(guān)。對于研究多孔介質(zhì)的流動除了N-S方程,還需要考慮多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)對流動的滲流作用,因此平均體積下達西定律表達式:

式(21)