廣東 劉 偉

2020年教育部考試中心編寫的《中國高考評價體系說明》指出，情境：高考評價體系的考查載體.這里的“情境”指的是高考評價體系中的“問題情境”，即以真實的問題為背景，以問題或任務(wù)為中心構(gòu)成的活動場域.學(xué)生通過“問題情境”能夠識別數(shù)學(xué)問題或任務(wù)，建立適切的數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題，開展“情境活動”.高考數(shù)學(xué)通過巧設(shè)“情境”，考核學(xué)生的“四翼”，即基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性以及創(chuàng)新性，以期達到落實“四基”“四能”的要求.現(xiàn)以高考數(shù)學(xué)試題為例，辨析情境作為高考評價體系的考查載體在高考數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用.

一、設(shè)置基礎(chǔ)層面的問題情境，落實基礎(chǔ)性的考查

在此類問題情境中，以學(xué)生熟悉的情境呈現(xiàn)，該情境涉及單一的數(shù)學(xué)知識點或某種基本能力，通過對基礎(chǔ)層面的問題情境概括，強調(diào)基本概念、原理、思想方法的重要性，體現(xiàn)高考試題的“基礎(chǔ)性”.

【例1】(2020·全國卷Ⅰ文·5)某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖：

由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是

( )

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

答案：D.

本題通過散點圖考查學(xué)生對高中階段幾個常用初等函數(shù)圖象的掌握情況，對散點進行分析可知該圖滿足對數(shù)函數(shù)的圖象特征，考查單一知識點.

【例2】(2020·全國卷Ⅱ文·3)如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i

( )

A.5 B.8

C.10 D.15

答案：C.

根據(jù)原位大三和弦滿足k-j=3,j-i=4，原位小三和弦滿足k-j=4,j-i=3.從i=1開始，利用列舉法即可解出．本題僅考查列舉法的應(yīng)用，以及對新定義的理解和應(yīng)用，突出對基本數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用能力的考查，強調(diào)基礎(chǔ)性.

設(shè)置基礎(chǔ)層面的問題情境，考查單一知識或技能.讓學(xué)生在熟悉的情境活動中重視學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容，確保基礎(chǔ)扎實.

二、設(shè)置綜合層面的問題情境，實施綜合性的考查

綜合層面的“問題情境”涉及多個知識點或多個基本能力，由一個“情境”發(fā)散性地生長出多個關(guān)聯(lián)的知識點或基本能力.注重學(xué)科知識體系的完整性，關(guān)注同一學(xué)科不同知識之間、不同學(xué)科相同知識之間的聯(lián)系，引導(dǎo)整合所學(xué)知識并培養(yǎng)學(xué)生的實踐思維，實施綜合性考查.

(Ⅰ)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(Ⅱ)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(Ⅲ)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

答案：(Ⅰ)該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為12 000.

(Ⅱ)相關(guān)系數(shù)r≈0.94.

(Ⅲ)分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣.理由略.

從問題情境出發(fā)涉及兩到三個知識點，各個知識點間的關(guān)聯(lián)性較弱，屬于多個單一知識的考查范疇.結(jié)合考查需要，選擇生產(chǎn)生活中的真實案例，對比學(xué)生的實際認知水平，進行合理的簡化或處理來設(shè)計綜合性層面的問題情境，由此實現(xiàn)在多模塊或多學(xué)科知識的背景下，有效考查學(xué)生綜合運用知識和能力的水平，從而體現(xiàn)高考試題的“綜合性”.

三、設(shè)置生活實踐問題情境或?qū)W習(xí)探究問題情境，執(zhí)行應(yīng)用性的考查

生活實踐問題情境是與日常生活以及生產(chǎn)實踐密切相關(guān)的情境，考查學(xué)生運用所學(xué)知識解釋生活中的現(xiàn)象、解決生產(chǎn)實踐中的問題的能力.解決此類問題需將問題情境與學(xué)科知識方法建立聯(lián)系，應(yīng)用學(xué)科工具解決問題.學(xué)習(xí)探究問題情境是指情境源于真實的研究過程或?qū)嶋H的探索過程，涵蓋學(xué)習(xí)探索與科學(xué)探究過程中所涉及的問題.學(xué)生在解決這類情境中的問題時，必須啟動已有知識開展智力活動，同時在解決問題的過程中運用創(chuàng)新的思維方式.

【例4】(2019·全國卷Ⅰ理·21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5，β=0.8．

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

答案：(Ⅰ)

X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

.

(Ⅱ)(ⅰ)證明略.

該題以動物實驗為出題背景，測試藥效，符合真實的研究過程或?qū)嶋H的探索過程.題目閱讀量大，信息提取和整合需較強的抽象概括能力和信息加工能力.第一問針對“約定”求解X的分布列，要求學(xué)生能有效地拆分所給信息，捕捉“合乎”題設(shè)要求的信息，聯(lián)系所學(xué)模型——事件的相互獨立性，結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)思想，通過分類討論得出所求分布列.第二問的第1小問，結(jié)合第一問求得a,b,c,得到關(guān)于pi-1，pi，pi+1遞推等式，聯(lián)系提問，得出答案；第2小問由結(jié)論提示及累加法的應(yīng)用，得到p8，p1等式，求得p4，落實運算求解能力的考查.p4值解釋，考查不同知識點之間的銜接性.通過分析，綜合或創(chuàng)造性地運用統(tǒng)計知識，理解數(shù)據(jù)蘊含的信息，用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言來闡述結(jié)論.由“概率”到“數(shù)列”再到“統(tǒng)計”，實現(xiàn)“應(yīng)用性”的考查.

在社會發(fā)展進步的背景下，選取工業(yè)生產(chǎn)、產(chǎn)品制造、技術(shù)論證及政策討論等實際問題，通過提供適切的材料，結(jié)合多個數(shù)學(xué)知識點，使知識點之間形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，圍繞“問題情境”開展“情境活動”增強試題的現(xiàn)實性和探究性，引導(dǎo)學(xué)生進行深度思考和判斷，提出解決問題的方案.考查學(xué)生學(xué)以致用、應(yīng)對生活實踐問題情境的學(xué)科素養(yǎng)，體現(xiàn)高考試題的“應(yīng)用性”.

四、設(shè)置開放性的生活實踐問題或?qū)W習(xí)探索問題情境，推行創(chuàng)新性的考查

通過提供不同形式的生活實踐材料或?qū)W習(xí)探索材料組成多個“問題情境”，每個“情境”又輻射出不同知識點.開放性問題情境旨在考查學(xué)生獨立思考、對問題或觀點提出不同看法并進行論證的能力，培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、敢于批判的思維能力，能創(chuàng)新性地運用知識去發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、研發(fā)新理論、開發(fā)新技術(shù)，為制定新政策、開拓新領(lǐng)域提供支撐的能力.

【例5】(2019·北京卷理·17節(jié)選)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

支付金額(元)支付方式 (0,1 000](1 000,2 000]大于2 000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人

(Ⅰ)(Ⅱ)略；

(Ⅲ)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由．

答案示例1:可以認為有變化.

理由如下:P(ξ)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認為本月的支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認為有變化.

答案示例2：無法確定有無變化.

理由如下：事件ξ是隨機事件，P(ξ)比較小，一般不容易發(fā)生，但還有可能發(fā)生，所以無法確定有無變化.

答案示例3：沒有變化.

理由如下：學(xué)校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學(xué)生根據(jù)實際情況每個月的消費應(yīng)該相對固定，雖發(fā)生了“小概率事件”，但人數(shù)相對不變.

這種結(jié)論“多樣性”的創(chuàng)新題，考查創(chuàng)新能力.三個答案大相徑庭，需要對具體問題提出不同見解，并說明理由.學(xué)生既可根據(jù)“小概率事件”來確定“正確”結(jié)論，又能結(jié)合現(xiàn)實情境(學(xué)校環(huán)境)來完成解答，不管是哪種均需較強的批判性思維和推理論證能力.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解法一：

選擇條件①的解析：

選擇條件②的解析：

選擇條件③的解析：

這種“結(jié)構(gòu)不良型”試題是對新高考“創(chuàng)新性問題”的探索.根據(jù)題目給出的兩個論斷，可以得到兩個不同的度量即距離的度量(邊)、角度的度量關(guān)系.結(jié)合題目給出的若干個條件，逐一驗證.

( )

A.若n=1，則H(X)=0

B.若n=2，則H(X)隨著p1的增大而增大

D.若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，則H(X)≤H(Y)

答案：AC.

對于A選項，求得H(X)，由此判斷出A選項的正確性，凸顯基礎(chǔ)性；對于B選項，利用特殊值法進行排除，考查應(yīng)用性；對于C選項，計算出H(X)，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項的正確性，屬于綜合性的考查；對于D選項，計算出H(X),H(Y)，利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項的正誤，強調(diào)所學(xué)知識的創(chuàng)新性應(yīng)用.本題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思考和解決問題的能力，涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運用，落實創(chuàng)新性的考查.

必備知識的考查變化三明確提出考查方式有所變化，減少對靜態(tài)知識的直接考查，而將考查重點放在能力和素養(yǎng)的培養(yǎng)過程中必須具備的可遷移的知識上.由此可見，多選題、邏輯思維題、數(shù)據(jù)分析題、舉例題、開放題等多種題型會逐漸出現(xiàn)在學(xué)生的視野，為“創(chuàng)新題”成為新高考的“常駐民”做好前期準備.

現(xiàn)階段“創(chuàng)新題”較多停留在純數(shù)學(xué)題命題形式變化上，隨著新高考的推行,創(chuàng)新性試題命制勢必會結(jié)合我國社會亟待解決的緊迫問題、科學(xué)技術(shù)前沿理論、工程技術(shù)領(lǐng)域的重大項目等進行編擬，使試題具備時代氣息和中國特色.貫徹高考對創(chuàng)新意識的要求.