廣東 雷雄軍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱為“課程標(biāo)準(zhǔn)”)提出通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)能夠發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅要以課本的新課為載體，也要以課后的習(xí)題作業(yè)為載體.這就要求數(shù)學(xué)教師不僅要精選題目，還要在題目的使用過程中能夠?qū)︻}目進(jìn)行靈活處理，激活題目，使得隱藏在題目背后的核心素養(yǎng)躍然紙上.本文筆者結(jié)合在一次精選試題時(shí)發(fā)現(xiàn)的一道難題(以下簡稱為“原題”)，在講解過程中通過靈活的教學(xué)處理對(duì)題目所滲透的核心素養(yǎng)進(jìn)行了深入的挖掘.

一、原題呈現(xiàn)

如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐O1-ABCDEF和O2-ABCDEF構(gòu)成，兩個(gè)棱錐的側(cè)棱長均相等.且棱錐底面外接圓的直徑為1 600 mm，底面中心為O，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈現(xiàn)水平狀態(tài)，下頂點(diǎn)O2與天花板的距離為1 300 mm，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長為y.

圖1

(1)設(shè)∠O1AO=θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；

(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí)，金屬條總長y最小.

此題對(duì)學(xué)生來說是一道難題，題目中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，但核心素養(yǎng)是蘊(yùn)藏在題目里面的，需要我們通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)去深入挖掘.在教學(xué)過程中，筆者對(duì)這道題的教學(xué)進(jìn)行了靈活處理，通過靈活處理將隱藏的核心素養(yǎng)逐一挖掘出來.此道題的講解雖然花了整整一節(jié)課，但是學(xué)生的收獲也是滿滿的.

二、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的滲透

課程標(biāo)準(zhǔn)給出數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.其過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、確定參數(shù)、建立模型、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.在平常我們復(fù)習(xí)做題過程中，問題基本上都是現(xiàn)成的，不需要學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和提出.因此在做題過程中很難培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題甚至選擇合適參數(shù)的能力.在上面的這個(gè)題目中，問題的背景是我們熟悉的現(xiàn)實(shí)情境——現(xiàn)實(shí)生活中魔豆吊燈.在這個(gè)熟悉的情境下，提出兩個(gè)問題：

問題一為數(shù)學(xué)問題：設(shè)∠O1AO=θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；

問題二為現(xiàn)實(shí)問題：請(qǐng)你設(shè)計(jì)θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí)，金屬條總長y最小.

認(rèn)真分析，這兩個(gè)問題的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)問題，即什么情況下，金屬條總長最小.第一問是為求解模型引入的參數(shù)相關(guān)問題.題目中問題如何提出的和參數(shù)如何確定的都已經(jīng)直接呈現(xiàn)了，學(xué)生缺失了思考的過程.筆者在講解這個(gè)題目過程中進(jìn)行了適當(dāng)?shù)奶幚?，讓缺失的過程重新拾回.在給出題目后，沒有直接給出題目中的兩幅圖，只給出了左邊的實(shí)物圖.

接下來，筆者提出第一個(gè)開放性問題：結(jié)合圖象和題目中的條件，同學(xué)們可以提出什么問題？問題當(dāng)然可以是數(shù)學(xué)問題，現(xiàn)實(shí)問題，也可以是科學(xué)問題.同桌之間互相討論一下.在這個(gè)過程中，學(xué)生結(jié)合已經(jīng)掌握的知識(shí)技能及生活經(jīng)驗(yàn)，提出了一些問題.如金屬條的承重問題，燈的功率問題，燈如何放置會(huì)更加美觀，當(dāng)然更多的是什么情況下金屬條才能最短問題.在這一過程中可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，提高學(xué)生提出問題和分析問題的能力.這個(gè)過程恰恰是數(shù)學(xué)建模中的第一個(gè)過程，也是題目中無法呈現(xiàn)的.在同學(xué)們討論結(jié)束后，筆者根據(jù)同學(xué)們提出的問題通過逐步分析確立要研究的數(shù)學(xué)問題：什么情況下，金屬條總長最小.在確定問題后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考，要研究一個(gè)事物的變化，我們必須要引入?yún)?shù)，通過參數(shù)的求解才能確定事物的變化.接著筆者提出第二個(gè)開放性問題，原題中應(yīng)該引入哪個(gè)量作為參數(shù)才能解決我們提出的問題.在這個(gè)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際生活情境中，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系.提高了從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

三、直觀想象素養(yǎng)的滲透

課程標(biāo)準(zhǔn)給出直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ).主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

原題中直接呈現(xiàn)了實(shí)物圖的直觀圖形(圖2)，筆者認(rèn)為這樣做不能很好地增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí).因此，筆者在講解過程中，在第一步結(jié)合實(shí)物圖(圖1)提出問題的基礎(chǔ)上，沒有直接給出原題中的幾何圖形(圖2).而是讓學(xué)生自己動(dòng)手結(jié)合實(shí)物圖畫空間幾何圖形，并且把題目中的數(shù)量關(guān)系在幾何圖形中呈現(xiàn)出來，如下圖.

學(xué)生通過抽象實(shí)物的幾何直觀圖形，建立圖形與實(shí)物的聯(lián)系，體會(huì)圖形與圖形，圖形與數(shù)量的關(guān)系.抽象出幾何圖形后，利用幾何圖形構(gòu)建提出問題的直觀模型，通過圖形建立形與數(shù)的聯(lián)系，進(jìn)而理解問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).金屬條總長即是幾何直觀圖中12O1A+6AB+O1P的值.結(jié)合幾何的直觀圖形，筆者提出了開放性問題：引入什么量作為參數(shù)，能夠構(gòu)建原題的模型.學(xué)生比較多的是引入正六邊形的側(cè)棱長作為參數(shù)，設(shè)側(cè)棱長為x，金屬條總長

從而y=12O1A+6AB+O1P

由圖形可知O1P=1 300-1 600tanθ>0，

1)獨(dú)特的單線接口方式，DS18B20在與微處理器連接時(shí)僅需要一條口線即可實(shí)現(xiàn)微處理器與DS18B20的雙向通訊；

至此，我們就解決了問題一.這個(gè)過程，我們主要是引入?yún)?shù)建立模型.教師要著重突出通過幾何圖形直觀地描述和表達(dá)我們前面提出的問題，并且通過幾何圖形啟迪學(xué)生解決問題的思路，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，提升學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng).

四、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的滲透

課程標(biāo)準(zhǔn)中給出數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.

借助幾何圖形我們將現(xiàn)實(shí)問題建立成數(shù)學(xué)模型得出金屬條總長關(guān)于∠O1AO=θ(rad)的函數(shù)關(guān)系式：

這個(gè)就是原題的運(yùn)算對(duì)象，接下來是探索運(yùn)算思路.求解函數(shù)最值方法有很多，最常用的有單調(diào)性法、基本不等式法和導(dǎo)數(shù)法等.通過對(duì)函數(shù)式子結(jié)構(gòu)特征分析，發(fā)現(xiàn)很難使用單調(diào)性和基本不等式.因此，選擇用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)解決.過程如下：

當(dāng)θ∈(0,θ0)時(shí)，y′<0；當(dāng)θ∈(θ0,φ)時(shí)，y′>0；

函數(shù)y=f(θ)的單調(diào)性與θ的關(guān)系列表如下：

θ(0,θ0)θ0(θ0,φ)f'(θ)-0+f(θ)↘極小值↗

在整個(gè)運(yùn)算過程中，學(xué)生除了掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算知識(shí)以外，還形成了求解最值的通性通法，并且根據(jù)問題的特征形成合適的運(yùn)算思路.通過最終問題的解決，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，通過運(yùn)算促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).