北京 胡鳳娟

2014年9月，國(guó)務(wù)院發(fā)布了《國(guó)務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》，在考試科目設(shè)置中指出“考生總成績(jī)由統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3個(gè)科目成績(jī)和高中學(xué)業(yè)水平考試3個(gè)科目成績(jī)組成.保持統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語科目不變、分值不變，不分文理科，外語科目提供兩次考試機(jī)會(huì)”.這里“不分文理科”影響最大的科目是數(shù)學(xué)，因?yàn)樵诂F(xiàn)行考試的所有科目中，只有數(shù)學(xué)是文理分科的，那么施行文理不分科，既要讓文科學(xué)生能夠獲得一定的分?jǐn)?shù)，也要能夠選拔出數(shù)學(xué)優(yōu)秀的學(xué)生，這勢(shì)必要求數(shù)學(xué)學(xué)科在題型、試卷結(jié)構(gòu)等方面做出一定的改革.

2018年1月，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》出版，課程內(nèi)容不再按文理分科設(shè)置，內(nèi)容要求上整體比原文科有所增加，比原理科有所降低；同時(shí)，課程標(biāo)準(zhǔn)凝練了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，研制了“學(xué)業(yè)質(zhì)量”，對(duì)每個(gè)知識(shí)提出了“學(xué)業(yè)要求”.這些變化使高考可以依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行命題.

2019年6月，國(guó)務(wù)院發(fā)布《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》，明確指出“深化考試命題改革.學(xué)業(yè)水平選擇性考試與高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試命題要以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)和高校人才選拔要求為依據(jù)，實(shí)施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱.優(yōu)化考試內(nèi)容，突出立德樹人導(dǎo)向，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.創(chuàng)新試題形式，加強(qiáng)情境設(shè)計(jì)，注重聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際，增加綜合性、開放性、應(yīng)用性、探究性試題”.這里最明確的要求是不再制定考試大綱，高考命題要以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)和高校人才選拔要求為依據(jù).

2020年1月，教育部考試中心發(fā)布了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，中國(guó)高考評(píng)價(jià)包括高考的核心功能、考查內(nèi)容和考查要求，明確了“一核”“四層”“四翼”的概念及其在素質(zhì)教育發(fā)展中的內(nèi)涵.“一核”為考查目的，即“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”，是對(duì)素質(zhì)教育中高考核心功能的概括，回答“為什么考”的問題；“四層”為考查內(nèi)容，即“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”，是素質(zhì)教育目標(biāo)在高考中的提煉，回答“考什么”的問題；“四翼”為考查要求，即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”，是素質(zhì)教育的評(píng)價(jià)維度在高考中的體現(xiàn)，回答“怎么考”的問題.這是中國(guó)高考?xì)v史上的一件大事，從此高考考試大綱告別了歷史舞臺(tái).

同時(shí)，2020年高考是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》頒布之后的第一年，是《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》頒布后的第一年，是北京、天津、山東和海南作為第二批高考改革試點(diǎn)省市采用文理不分科高考模式的第一年.因此，2020年是高考進(jìn)入一個(gè)新階段的元年.分析2020年的高考試題有助于老師們更好地把握高考，更好地進(jìn)行教學(xué).

總體來講，2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)試題立足實(shí)際，穩(wěn)中求新，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)時(shí)代特征和育人導(dǎo)向，力圖落實(shí)高考評(píng)價(jià)體系的要求，為積極推進(jìn)高考綜合改革和高考考試內(nèi)容改革以及發(fā)揮高考對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的引領(lǐng)作用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上，2020年高考數(shù)學(xué)有所變化和創(chuàng)新.

一、題型變化，增強(qiáng)考試的區(qū)分功能

不分文理科的高考改革要求對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科提出了艱巨的任務(wù)和嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).相當(dāng)于用一份卷子區(qū)分出數(shù)學(xué)水平范圍更大的學(xué)生，要求數(shù)學(xué)試卷在題型上有所改革，增強(qiáng)考試的區(qū)分功能.

2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)和2020年新高考Ⅱ卷(供海南省使用)將原來的12道單選題改為8道單選題和4道多選題，選擇題的總分不變、每道題的分值不變.因?yàn)轭}型的變化，將其中的4道題改為多選題，并按“全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分”的要求給分，使得學(xué)生的可能的得分?jǐn)?shù)值增加了一倍，即原來學(xué)生的得分只能有以下13種可能：0、5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60，現(xiàn)在學(xué)生可能得到的分值數(shù)量大大增加，使得學(xué)生的得分結(jié)果呈現(xiàn)更多的可能性，可以增強(qiáng)考試的區(qū)分功能.

實(shí)際上，類似多選題，選擇多個(gè)正確選項(xiàng)的填空題在以往是常見的，因此大家不必焦慮.我們看2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)的第一個(gè)多選題：

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·9)已知曲線C:mx2+ny2=1.

( )

A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

D.若m=0，n>0，則C是兩條直線

答案：ACD.

該題考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線基本概念和性質(zhì)的記憶，如橢圓、圓、雙曲線方程的特點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)位置、圓的半徑、雙曲線的漸近線方程.

二、情境創(chuàng)設(shè)，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值

《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》明確指出要“加強(qiáng)情境創(chuàng)設(shè)”.《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》第四部分是“情境：高考評(píng)價(jià)體系的載體”.可見情境在高考中的重要地位.高考評(píng)價(jià)體系中所謂的“情境”即“問題情境”，指的是真實(shí)的問題背景，是以問題或任務(wù)為中心構(gòu)成的活動(dòng)場(chǎng)景.“情境活動(dòng)”是指人們?cè)谇榫持兴M(jìn)行的解決問題或完成任務(wù)的活動(dòng).在目前的高考考查方式中，問題情境和情境活動(dòng)都是通過文字與符號(hào)的形式進(jìn)行的.

在2020年的高考數(shù)學(xué)試題中，可以看到將對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、素養(yǎng)的考查融入新的情境中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.如：

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·4)日晷是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為

( )

A.20° B.40°

C.50° D.90°

答案：C.

該題借助日晷考查了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)閱讀能力，涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)主要是線線、線面平行和垂直的性質(zhì).該題的難點(diǎn)是讀懂題意并用圖形表示出球、平面、直線之間的位置關(guān)系.讓學(xué)生感受中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)在計(jì)時(shí)方面的應(yīng)用.

(2020·全國(guó)卷Ⅱ文·3)如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i

( )

A.5 B.8

C.10 D.15

答案：C.

該題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，即理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的規(guī)則.同時(shí)，將對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查融入音樂中，體會(huì)數(shù)學(xué)與音樂的關(guān)系.

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·6)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

答案：B.

該題借助新冠肺炎疫情考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)閱讀能力，涉及的知識(shí)有一元一次方程、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和指數(shù)方程求解.該題的難點(diǎn)是理解“在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間”蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.

2020年高考數(shù)學(xué)理科試卷中有創(chuàng)新情境的題目還有很多，如全國(guó)卷Ⅱ中的第4題考查學(xué)生使用等差數(shù)列求圜丘的石板數(shù)，全國(guó)卷Ⅲ的第4題使用Logistic模型預(yù)測(cè)新冠疫情，全國(guó)卷Ⅰ的第5題種子發(fā)芽率與溫度之間的關(guān)系、第19題羽毛球比賽規(guī)則的問題等等.

創(chuàng)設(shè)新情境的試題近年來越來越多，越來越體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)閱讀能力的要求.

教學(xué)中，建議教師注意培養(yǎng)學(xué)生多思考、多觀察的習(xí)慣.首先，在生活中，觀察校園、教室、家到學(xué)校路上的建筑等等其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題，比如：教師桌椅的高度是否合適、食堂就餐窗口的設(shè)計(jì)與建議等等，從身邊的小問題出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”；其次，在閱讀時(shí)，這里的閱讀可以是新聞、雜志、小說等等，根據(jù)其中談到的情境進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，比如：疫情期間武漢原市長(zhǎng)在新聞發(fā)布會(huì)中報(bào)告物資儲(chǔ)備情況時(shí)反復(fù)修改數(shù)據(jù)，數(shù)感差導(dǎo)致即使有明顯錯(cuò)誤也感覺不到；再如7月13日，有媒體報(bào)道“4.1萬名黨員、干部、職工和學(xué)生，捐獻(xiàn)熱血5.1萬噸”，稍有常識(shí)的人也能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，要培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”.

三、立足基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)核心概念和方法

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》在“四翼”中要求高考要圍繞學(xué)科的主干內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想方法的考查.2020年高考數(shù)學(xué)試題較好地落實(shí)和體現(xiàn)了“四翼”要求，即基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.如：

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·5)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是

( )

A.62% B.56%

C.46% D.42%

答案：C.

該題考查學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件的運(yùn)算，是根據(jù)考查集合運(yùn)算的情境進(jìn)行改變的，即將“原來的多少位同學(xué)”換成了“百分之多少的學(xué)生”，通過學(xué)生參加不同項(xiàng)目的鍛煉情況的考查，既可以考查集合的運(yùn)算也可以考查隨機(jī)事件的運(yùn)算，這反映了隨機(jī)事件與集合的本質(zhì)關(guān)系，抓住了數(shù)學(xué)中的核心概念.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在t2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在t3時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中，在[0,t1]的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.

答案：①②③.

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心概念，但是在教學(xué)中往往不顧概念的來龍去脈，忽略知識(shí)之間的聯(lián)系.該題很好地體現(xiàn)了研究導(dǎo)數(shù)的意義和價(jià)值.

(2020·全國(guó)卷Ⅰ理·14)設(shè)a，b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=________.

該題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，涉及的知識(shí)是向量模的運(yùn)算和向量加減運(yùn)算法則.該題可以用不同的方法解決，如果用代數(shù)運(yùn)算的方法則需要明確運(yùn)算的方法，根據(jù)向量模的定義，需要求出向量a,b的數(shù)量積；如果仔細(xì)分析題目中的條件，分析要進(jìn)行運(yùn)算的對(duì)象，會(huì)發(fā)現(xiàn)：向量a,b是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形的兩條邊，問題進(jìn)而解決，非常直觀，需要借助向量加法和減法的運(yùn)算法則的幾何意義.該題很好地體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)中的基本方法.

四、創(chuàng)新試題，注重?cái)?shù)學(xué)素養(yǎng)的考查

新世紀(jì)以來各國(guó)都在討論培養(yǎng)什么樣的人的問題，即回答關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)是什么的問題.我國(guó)借助高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂之際，各個(gè)學(xué)科凝練了自己的學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.在2020年新課標(biāo)頒布之后的第一次高考中，高考數(shù)學(xué)試題較好地落實(shí)了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.如：

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

該題考查學(xué)生利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).該題屬于結(jié)構(gòu)不良問題，需要學(xué)生自己判斷、選擇條件，設(shè)置一個(gè)完整的數(shù)學(xué)問題并解答.在高考數(shù)學(xué)中，這是新題型，體現(xiàn)了《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》中要求的“增加綜合性、開放性、應(yīng)用性、探究性試題”.

實(shí)際上，不管選擇哪個(gè)條件，學(xué)生都應(yīng)該有堅(jiān)定的能做好的信心.但往往面臨選擇的時(shí)候，人們?nèi)菀转q豫、徘徊、耽誤時(shí)間.需要學(xué)生考場(chǎng)上進(jìn)行判斷、選擇，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求.

(2020·全國(guó)卷Ⅲ理·17)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.

(Ⅰ)計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；

(Ⅱ)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.

答案：(1)a2=5,a3=7,an=2n+1;(Ⅱ)Sn=(2n-1)·2n+1+2.

該題要學(xué)生首先猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，再加以證明，這個(gè)問法非常好.學(xué)生首先要有數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)，能根據(jù)計(jì)算出來的前三項(xiàng)，猜想一個(gè)通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明是對(duì)的.據(jù)說，北京大學(xué)有一年《數(shù)學(xué)分析》考試成績(jī)不如往常好，最后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致學(xué)生成績(jī)不夠好的一個(gè)原因是，有幾道題老師換了問法，不是直接證明某個(gè)命題，而是給出命題，問是否成立，成立則需要證明，不成立則需要舉反例.這是我們目前教學(xué)中、學(xué)習(xí)中比較欠缺的東西，在教學(xué)中，通常忽略過程，直接告訴學(xué)生結(jié)果，然后證明或證偽.因此，該題的問法非常好，值得提倡.這有助于引導(dǎo)教學(xué)中關(guān)注知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過程，有助于學(xué)生真正地理解知識(shí)之間的聯(lián)系.

五、日常教學(xué)建議

課標(biāo)在考試命題建議中寫到“考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性；注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧；融入數(shù)學(xué)文化.命題時(shí)，應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題，還應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，問題情境的設(shè)計(jì)應(yīng)自然、合理.在命制應(yīng)用問題、開放性問題和探究性問題時(shí)，要注意公平性和閱卷的可操作性.”可見，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》《中國(guó)考試評(píng)價(jià)體系》《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》在考查內(nèi)容、試題類型、情境設(shè)計(jì)幾個(gè)方面的要求都是一致的.在第一部分的分析中，我們已經(jīng)看到這些要求在高考數(shù)學(xué)卷中已經(jīng)得到了很好的落實(shí).

在今后的高考數(shù)學(xué)中將更多的關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).

如何更好地抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法呢？在本輪課標(biāo)實(shí)施中，教育部給出的抓手是“主題教學(xué)”，有時(shí)候會(huì)說“單元教學(xué)”“深度學(xué)習(xí)”，我們認(rèn)為本質(zhì)上都是一樣的.為什么要進(jìn)行主題教學(xué)呢？目前試卷編制過程中一個(gè)很重要的方面是要對(duì)高中所學(xué)的知識(shí)達(dá)到一定的覆蓋率，這就導(dǎo)致了知識(shí)之間的關(guān)系的斷裂，使得教學(xué)中更加強(qiáng)調(diào)具體知識(shí)點(diǎn)，并且常常陷在堆積如山的知識(shí)點(diǎn)中，很難看清楚知識(shí)之間的層次——誰第一重要、誰不那么重要，導(dǎo)致教學(xué)時(shí)往往抓不住重點(diǎn)，抓不住關(guān)鍵點(diǎn).因此，提出“主題教學(xué)”的目的是把相關(guān)的知識(shí)做一個(gè)整體的思考，搞清楚一個(gè)單元中、許多方法中到底誰是最重要的.因此，建議老師們?cè)诮虒W(xué)中進(jìn)行整體思考和設(shè)計(jì)，開展“主題教學(xué)”.當(dāng)然“主題教學(xué)”的開展需要一個(gè)團(tuán)隊(duì)的協(xié)作，需要不斷地積累經(jīng)驗(yàn).