山東 李 斌 耿曉紅

2020年新高考數(shù)學試題在命制的過程中重視難度和思維的層次性，給廣大學生提供更廣闊的思考空間，更多的思考角度，以及基于自己認知水平的發(fā)現(xiàn)和探索解題方法的不同平臺.例如第20題具有多種解法，體現(xiàn)了解題方法的多樣性，給不同層次的考生提供了多種分析問題和解決問題的途徑.

一、試題再現(xiàn)

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·20)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.

(Ⅰ)證明：l⊥平面PDC；

(Ⅱ)已知PD=AD=1,Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

【分析】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及的知識點有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.第一問就難倒不少學生，找不到交線l在哪里，不能將l⊥平面PDC轉(zhuǎn)化成其他直線垂直于平面PDC，當然也就無從證明,得分率較低.第二問失分點一是點Q的坐標不會設，找不到合理的變量，無法表示線面角的正弦值；失分點二是建立函數(shù)關(guān)系后，不會合理求最值，下面我們一起來看看該題在不同視角下的解法探究.

二、解法探究

1.第一問之探究視角

視角一：利用線面平行性質(zhì)定理找l的平行線

解法一：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD.∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，又PD∩DC=D,∴AD⊥平面PDC.

∵AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD∥平面PBC.

∵平面PAD∩平面PBC=l,AD?平面PAD,∴l(xiāng)∥AD.∴l(xiāng)⊥平面PDC.

【評析】該解法為常規(guī)證明，構(gòu)造線面平行的條件，證明l∥AD.

視角二：利用面面平行性質(zhì)定理找l的平行線

解法二：思路1：過A作AG∥BP，∵AD∥BC，∴平面ADG∥平面BCP，∵平面PAD分別交平面ADG和平面PBC于AD和l，∴l(xiāng)∥AD.

∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD.∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，又PD∩DC=D,∴AD⊥平面PDC.∴l(xiāng)⊥平面PDC.

思路2：分別取AB，DC，PD，PA的中點E，F(xiàn)，G，H，易證得平面EFGH∥平面PBC.平面PAD分別交平面EFGH和平面PBC于GH和l，∴l(xiāng)∥GH.∵GH∥AD,∴AD∥l.

∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD.∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，又PD∩DC=D,∴AD⊥平面PDC.∴l(xiāng)⊥平面PDC.

【評析】構(gòu)造兩個平行平面，與第三個平面PAD相交，得到AD∥l，利用的是面面平行性質(zhì)定理.

視角三：補空間幾何體找交線l

解法三：思路1：∵四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD,

∴DP，DA，DC兩兩垂直，以DP，DA，DC為三條棱作長方體ABCD-EFGP.

∴EP∥AD∥BC，∴EP?平面PAD,EP?平面PBC，EP就是l.

因為在長方體中，所以l⊥平面PDC.

思路2：∵四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，

∴DP，DA，DC兩兩垂直，作AE∥DP，PE∥AD，AE∩EP=E，以PE，DA，BC為棱作直三棱柱ABE-DCP.

∴EP∥AD∥BC，∴EP?平面PAD,EP?平面PBC，EP就是l.

∵在直三棱柱中，∴l(xiāng)⊥平面PDC.

【評析】交線l在原圖中沒有顯現(xiàn)出來，我們可以通過構(gòu)造長方體或直三棱柱，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征,將交線在幾何體中表現(xiàn)出來，進而更容易判斷.

視角四：利用線線平行作交線l

解法四：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD.∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，又PD∩DC=D,∴AD⊥平面PDC.

思路1：過P作PE∥AD，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴PE就是l.∴l(xiāng)⊥平面PDC.

思路2：過A作AE∥DP，且AE=DP，則四邊形ADPE是平行四邊形，∴AD∥EP.∵AD∥BC，∴EP∥BC，∴PE就是l.∴l(xiāng)⊥平面PDC.

思路3：過A作AE⊥平面ABCD且AE=DP，∵PD⊥底面ABCD，∴AE∥DP，則四邊形ADPE是平行四邊形，∴AD∥EP.∵AD∥BC，∴EP∥BC，∴PE就是l.∴l(xiāng)⊥平面PDC.

【評析】通過視角四，或構(gòu)造平行四邊形證明線線平行，也是幾何證明中的常見方法.

視角五：利用線面垂直的關(guān)系找與l垂直的相交直線

解法五：∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC，

又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PCD.

過D作DN⊥PC，垂足為N，DN?平面PDC,∴BC⊥DN，

PC∩BC=C,PC,BC?平面PBC,∴DN⊥平面PBC,∵l?平面PBC，∴DN⊥l.

∵PD⊥底面ABCD，DC?平面ABCD，∴PD⊥DC.

∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC.

∵AD∩PD=D,AD,PD?平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∵l?平面PAD,∴DC⊥l.

∵DC∩DN=D,DC,DN?平面PDC,∴l(xiāng)⊥平面PDC.

【評析】直接在平面PDC內(nèi)找兩條與l垂直的相交直線，利用線面垂直的判定定理證明.

視角六：利用面面垂直關(guān)系找交線l

解法六：∵PD⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD.

∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，

又PD∩DC=D,∴AD⊥平面PDC,∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PDC.

∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC，

又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC,∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDC.

∵平面PBC∩平面PAD=l.∴l(xiāng)⊥平面PDC.

【評析】若垂直于同一平面的兩個平面相交，則交線也垂直于該平面.因為平面PBC∩平面PAD=l，只需證明平面PAD⊥平面PDC，平面PBC⊥平面PDC即可.

視角七：利用坐標法證明線面垂直

解法七：分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

平面PAD的一個法向量是n2=(0,1,0),

【評析】根據(jù)視角七，求出平面PBC和平面PAD的法向量，再求交線l的方向向量，與平面PAD的法向量平行即可.

2.第二問之探究視角

問題1：如何找到PB與平面QCD所成角？

視角一：幾何法

解法一：設PQ=a，連接QC，QD,QC∩PB=O，作PH⊥QD,垂足為H，連接OH.∵CD⊥平面PAD,∴CD⊥PH，∵CD∩QD=D,CD,QD?平面QCD，∴PH⊥平面QCD，所以∠POH就是直線PB與平面QCD所成角，

【評析】利用線面角的定義，找到PB在平面QCD內(nèi)的射影OH，即可找到線面角∠POH，解直角三角形POH就行.

視角二：坐標法

【評析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求角的正弦值，是最為常見的解題方法.

問題2：如何求PB與平面QCD所成角的正弦值的最值？

視角一：重要不等式法

視角二：基本不等式法

當且僅當a=1時等號成立.

視角三：換元法

設1+a=t，

視角四：導數(shù)法

當00，y是增函數(shù)，當a>1時，y′<0，y是減函數(shù)，

視角五：判別式法

∴(3y2-1)a2-2a+3y2-1=0有實數(shù)解，

【評析】近幾年，立體幾何中動態(tài)問題一度成為熱點內(nèi)容，其中和函數(shù)模型有關(guān)的最值問題大多為二次函數(shù)、分式函數(shù)、三次多項式函數(shù)的最值，所以熟練掌握一些常見函數(shù)模型的最值問題的求解方法是十分必要的.

三、教學思考

1.立體幾何問題在形成空間觀念、培養(yǎng)空間想象能力和鞏固邏輯思維能力方面有著獨特的作用，在幾何體中找到圖形的特征，找到幾何元素間的關(guān)系，建立未知量與已知量間的關(guān)系進行證明.

2.對于一道數(shù)學題，由于著眼點和角度的不同，會有許多不同的解題方法，對已解決的典型題目，應指導學生再回首從多角度、多方位去思考，尋求更簡捷巧妙的解法，反思解題的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系，挖掘數(shù)學思想與方法，提升數(shù)學核心素養(yǎng)和解題能力.