吳太歡，林麒，何升杰，柳汀，高忠信，王曉光

廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院， 廈門 361102

顫振問(wèn)題是氣動(dòng)彈性研究領(lǐng)域的重要分支。利用動(dòng)力學(xué)縮比模型在風(fēng)洞中開展顫振試驗(yàn)，能夠較為準(zhǔn)確地模擬飛行器的顫振現(xiàn)象[1-3]。風(fēng)洞顫振試驗(yàn)一直以來(lái)是分析和驗(yàn)證飛行器顫振特性的重要手段。風(fēng)洞顫振試驗(yàn)分為部件顫振試驗(yàn)和全機(jī)模型顫振試驗(yàn)。只做部件顫振試驗(yàn)，無(wú)法獲得全機(jī)顫振的特性，不能完全滿足現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)與研發(fā)的需求，因此，進(jìn)行全機(jī)模型顫振試驗(yàn)是非常有必要的[4]。全機(jī)模型風(fēng)洞顫振試驗(yàn)除了對(duì)模型本身的設(shè)計(jì)和加工要求苛刻之外，對(duì)于模型支撐系統(tǒng)也提出了特殊的要求。如何設(shè)計(jì)出功能強(qiáng)大，滿足各類飛行器全機(jī)模型風(fēng)洞顫振試驗(yàn)需求的支撐系統(tǒng)是當(dāng)前風(fēng)洞試驗(yàn)研究領(lǐng)域的重要課題[5-6]。NASA蘭利風(fēng)洞試驗(yàn)中心早在20世紀(jì)五六十年代就開始開展全機(jī)模型顫振試驗(yàn)，研發(fā)了多套性能優(yōu)異的模型系統(tǒng)，其中包括雙索懸掛系統(tǒng)[7-8]。中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心2004年在2.4 m亞跨超風(fēng)洞中引進(jìn)俄羅斯的懸浮系統(tǒng)FSS(Float Suspension System)技術(shù)，并將其工程化，應(yīng)用于全模顫振試驗(yàn)，促進(jìn)了國(guó)內(nèi)風(fēng)洞顫振試驗(yàn)研究的發(fā)展與進(jìn)步。但是懸浮系統(tǒng)運(yùn)用于靜不穩(wěn)定的飛行器時(shí)，試驗(yàn)效果不理想，無(wú)法完全滿足當(dāng)下的風(fēng)洞顫振試驗(yàn)需求[5-6,9]。面對(duì)風(fēng)洞全模顫振試驗(yàn)的迫切需求，有必要研制一套或多套功能強(qiáng)大、通用性好的顫振試驗(yàn)系統(tǒng)。而雙索懸掛系統(tǒng)作為一種通用性強(qiáng)、試驗(yàn)性能優(yōu)異的全機(jī)模型顫振試驗(yàn)支撐系統(tǒng)，能夠做到適用于靜不穩(wěn)定飛行器，具有較好的應(yīng)用前景[1]。

為在風(fēng)洞中模擬飛行器真實(shí)飛行過(guò)程中的顫振現(xiàn)象，要求模型支撐系統(tǒng)對(duì)全機(jī)模型釋放5個(gè)自由度，僅約束風(fēng)洞來(lái)流方向的自由度，且支撐的剛體模態(tài)頻率盡可能低至模型固有頻率的1/10～1/3，做到對(duì)模型本身的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)干擾小、對(duì)模型的氣動(dòng)力干擾小[2,8,10-11]。

劉基海等采用理論計(jì)算和試驗(yàn)相互驗(yàn)證的方法研究了彈簧支撐的支撐剛度對(duì)飛翼模型固有模態(tài)和體自由度顫振特性的影響規(guī)律[12]；王大鵬和蔡駿文分析了橡皮繩懸掛系統(tǒng)的不同懸掛剛度、不同懸掛位置對(duì)細(xì)長(zhǎng)體飛行器模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果的影響[13]。研究雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率變化規(guī)律及其影響因素，能夠?yàn)殡p索懸掛系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

本文基于繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論建立了雙索懸掛系統(tǒng)靜力學(xué)模型，引入加權(quán)矩陣，推導(dǎo)了雙索懸掛系統(tǒng)靜剛度模型；建立了雙索懸掛系統(tǒng)模型無(wú)阻尼振蕩方程，分析了雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率隨繩索預(yù)緊力的變化規(guī)律；搭建了雙索懸掛系統(tǒng)地面樣機(jī)，開展系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率測(cè)試試驗(yàn)，研究雙索懸掛系統(tǒng)繩索預(yù)緊力和繩系結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的影響規(guī)律。

1 繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)分析

全模顫振風(fēng)洞試驗(yàn)要求模型的支撐只對(duì)來(lái)流方向加以約束，其他5個(gè)自由度盡可能地釋放開，做到模型在吹風(fēng)試驗(yàn)中盡可能地處于與真實(shí)飛行時(shí)相同的自由狀態(tài)，以實(shí)現(xiàn)顫振試驗(yàn)的動(dòng)力學(xué)相似。

根據(jù)上述要求，本文設(shè)計(jì)和研究的全模顫振雙索懸掛系統(tǒng)主要由豎直繩索、水平繩索、繩索收放裝置以及輔助繩索和相應(yīng)的控制部件等組成，如圖1所示。

圖1 雙索懸掛系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch of two cables suspension system

穿過(guò)模型機(jī)身后部水平滑輪的水平繩索的左右兩支形成一定張角，一端連接到風(fēng)洞左壁上的繩索收放裝置，另外一端過(guò)后機(jī)身滑輪連接到風(fēng)洞右壁上的繩索收放裝置；穿過(guò)模型機(jī)身前部豎直滑輪的豎直繩索位于飛行器機(jī)體軸所在的豎直面內(nèi)，上下兩支形成一定張角，上端固連在風(fēng)洞上壁板，下端過(guò)飛機(jī)模型前滑輪連接到下壁板上的繩索收放裝置；通過(guò)繩索收放裝置控制繩索張緊力和繩索長(zhǎng)度，雙索懸掛系統(tǒng)能夠?qū)w行器模型穩(wěn)定地支撐在風(fēng)洞試驗(yàn)段。全模顫振雙索懸掛系統(tǒng)是一種欠約束的繩索并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)。本節(jié)根據(jù)繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)理論，建立雙索懸掛系統(tǒng)飛行器模型的靜力學(xué)模型。

1.1 幾何關(guān)系

為描述全模顫振雙索懸掛支撐系統(tǒng)中飛行器模型的運(yùn)動(dòng)與支撐機(jī)構(gòu)的關(guān)系，建立靜、動(dòng)2個(gè)坐標(biāo)系，如圖2所示。圖中粗直桿為模擬機(jī)身，機(jī)身上的兩短桿分別為前后滑輪支架。

建立在模型上的坐標(biāo)系為動(dòng)坐標(biāo)系(即機(jī)體坐標(biāo)系)Obxbybzb，坐標(biāo)原點(diǎn)Ob與飛機(jī)模型(即末端執(zhí)行器)的質(zhì)心P0重合，Obxb軸位于飛機(jī)模型的對(duì)稱面內(nèi)并與機(jī)體主軸重合，正方向指向機(jī)頭；Obzb軸也位于飛機(jī)模型對(duì)稱面內(nèi)，垂直于Obxb軸并指機(jī)身下方；Obyb垂直于飛機(jī)模型的對(duì)稱面，指向飛機(jī)模型的右舷方向，其方向遵循右手定則。

圖2 繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)示意圖Fig.2 Sketch of cable driven parallel mechanism kinematics

靜坐標(biāo)系建立在機(jī)架上，相對(duì)地面固定，也稱為地面坐標(biāo)系。在機(jī)架上取任意一點(diǎn)作為地面坐標(biāo)系OgXgYgZg的原點(diǎn)Og，OgZg軸豎直向下指向地心，OgXgYg平面垂直于OgZg軸；OgXg垂直于OgZg軸指向風(fēng)洞試驗(yàn)來(lái)流方向；OgYg軸垂直于OgXg軸，方向遵循右手定則。矢量XP是機(jī)體坐標(biāo)系原點(diǎn)Ob在地面坐標(biāo)系中的位置矢量。

為分析方便，又不失一般性，假設(shè)各繩索均與飛機(jī)模型固連。Li是第i根繩索連接末端執(zhí)行器鉸點(diǎn)Pi與機(jī)架上固定鉸點(diǎn)Bi之間的矢量。

Li=Bi-(XP+Rri) ?i=1,2,…,n

(1)

式中：n由牽引繩的數(shù)量決定;R是機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換矩陣，具體表示為

其中：φ、θ、φ分別表示飛機(jī)模型在地面坐標(biāo)系中繞OgXg軸、OgYg軸和OgZg軸旋轉(zhuǎn)的滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角。

繩索矢量方程(1)的2范數(shù)即為第i根繩索的長(zhǎng)度：

(2)

對(duì)方程(1)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得到[14]

(3)

(4)

式中：JA表示繩系并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣；X是末端執(zhí)行器的位姿參數(shù)[14-15]。

1.2 靜力平衡關(guān)系

圖3為繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力平衡示意圖，末端執(zhí)行器受繩索拉力Ti作用，同時(shí)受外力fe、外力矩τe以及末端執(zhí)行器重力mg作用，處于靜平衡狀態(tài)。根據(jù)Newton-Euler法能夠得到末端執(zhí)行器的靜平衡方程為

(5)

(6)

圖3 繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)示意圖Fig.3 Sketch of cable driven parallel mechanism static

末端執(zhí)行器的剛度定義為在單位外力作用下末端執(zhí)行器的位姿變化，數(shù)值上等于使系統(tǒng)產(chǎn)生單位位姿變化所需要的外力值[14-16]。因此，對(duì)方程(6)求末端執(zhí)行器的位姿偏導(dǎo)數(shù)，得到繩系并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度矩陣：

(7)

忽略繩索的質(zhì)量，將繩索假設(shè)為無(wú)質(zhì)量無(wú)阻尼的彈簧；同時(shí)，假設(shè)末端執(zhí)行器為剛體，忽略末端執(zhí)行器的變形，系統(tǒng)剛度矩陣可以展開為

(8)

其中：diag(k1,k2,…,kn)表示繩系剛度對(duì)角陣，ki為第i根繩索的剛度，因此：

(9)

將剛度矩陣表示為

K=KT+KK

(10)

式中：K為系統(tǒng)總剛度；KT為與繩索拉力和繩系結(jié)構(gòu)相關(guān)的剛度矩陣；KK為與繩索剛度相關(guān)的剛度矩陣[15]。具體形式為

λj>0, s.t det(K-λjI)=0

式中：λj為剛度矩陣第j階特征值，?j=1,2,3,…;m

2 雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)

2.1 雙索懸掛系統(tǒng)地面樣機(jī)

基于雙索懸掛系統(tǒng)基本構(gòu)型，在實(shí)驗(yàn)室搭建地面縮比樣機(jī)，如圖4所示。采用60 mm×60 mm 的鋁合金型材搭建地面樣機(jī)機(jī)架，模擬風(fēng)洞試驗(yàn)段。

參考常見(jiàn)的民機(jī)外形設(shè)計(jì)加工了第1代飛機(jī)模型(見(jiàn)圖5)，模型質(zhì)量為1.61 kg。因?yàn)橹蛔鲈硇匝芯?，不用于風(fēng)洞吹風(fēng)，故機(jī)頭簡(jiǎn)化加工成半球狀。在ANSYS中分析得到飛機(jī)模型的固有頻率，見(jiàn)表1。

圖4 雙索懸掛系統(tǒng)地面樣機(jī)Fig.4 Ground prototypr of two cables suspension system

表1 第1代飛機(jī)模型的固有頻率Table 1 Natural frequencies of the first aircraft model

文中凡與滑輪有關(guān)的距離，均相對(duì)于滑輪的軸心而言。圖5(a)中，ζ1為機(jī)身前滑輪與模型質(zhì)心之間的距離，ζ2為機(jī)身后滑輪與模型質(zhì)心之間的距離；在模型的前部和后部分別設(shè)計(jì)了用于安裝滑輪的支架，圖5(b)為滑輪支架。

雙索懸掛系統(tǒng)的繩索選材為直徑0.8 mm的8股Kavlar線，其彈性模量為42.8 GPa。豎直繩索和水平繩索分別穿過(guò)機(jī)身前部和后部的滑輪，懸掛起飛行器模型。各繩在滑輪后分開的兩支分別經(jīng)機(jī)架上下部和左右側(cè)的轉(zhuǎn)向滑輪連接到拉力傳感器上。拉力傳感器安裝在電機(jī)驅(qū)動(dòng)的滾珠絲杠的滑塊上，用于測(cè)量繩索張力，滾珠絲杠在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下帶動(dòng)滑塊做直線運(yùn)動(dòng)，從而調(diào)控繩索拉力和繩長(zhǎng)。

圖5 簡(jiǎn)化的民機(jī)模型及機(jī)身滑輪支架Fig.5 Simplified model of civil aircraft and support system of pulleys

2.2 系統(tǒng)靜剛度

為研究雙索懸掛系統(tǒng)的剛體模態(tài)頻率，需要先分析系統(tǒng)的靜剛度，為此將雙索懸掛系統(tǒng)簡(jiǎn)化為空間四索并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖6所示。同時(shí)假設(shè)豎直繩索與水平繩索都分成兩支，分別與飛行器模型(末端執(zhí)行器)固連，且處于靜力平衡狀態(tài)。這個(gè)假設(shè)提高了系統(tǒng)的靜剛度，分析所得雙索懸掛系統(tǒng)的剛體模態(tài)頻率會(huì)比實(shí)際情況偏高些。

圖6中:P1、P2分別為豎直繩索與前機(jī)身的鉸接點(diǎn)(實(shí)際是與機(jī)身前部滑輪的接觸點(diǎn))，P3、P4分別為水平繩索與后機(jī)身的鉸接點(diǎn)(實(shí)際是與機(jī)身后部滑輪的接觸點(diǎn))，P0為模型質(zhì)心；B1、B2分別為豎直繩索與機(jī)架上下的鉸接點(diǎn)，B3、B4為水平繩索與機(jī)架兩側(cè)的鉸接點(diǎn)。

以上豎直繩索和水平繩索與模型及機(jī)架的鉸接點(diǎn)坐標(biāo)列于表2中。其中,Pi點(diǎn)坐標(biāo)取各機(jī)身滑輪軸心坐標(biāo)值；繩索長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于安裝在地面樣機(jī)上的模型機(jī)身內(nèi)的滑輪直徑和機(jī)架上的滑輪直徑,因此，上述簡(jiǎn)化方法對(duì)計(jì)算分析的結(jié)果影響不大。

由1.2節(jié)中得到的繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力平衡方程式(5)也適用于雙索懸掛系統(tǒng)。根據(jù)雙索懸掛系統(tǒng)繩系的特點(diǎn)，式(5)中的n取4。

雙索懸掛系統(tǒng)的繩索穿過(guò)機(jī)身滑輪將飛行器模型懸掛起來(lái)，繩索與飛行器模型之間是一種接觸式約束，而非固連式約束，為了在數(shù)學(xué)上等效滑輪的作用，參考滑輪動(dòng)力學(xué)理論引入剛度矩陣KT的加權(quán)矩陣ET和剛度矩陣KK的加權(quán)矩陣EK,于是，得到雙索懸掛系統(tǒng)剛度矩陣的經(jīng)驗(yàn)公式[19-21]：

圖6 空間四索并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.6 Sketch of space four wires parallel mechanism

表2 雙索系統(tǒng)繩索與機(jī)構(gòu)連接點(diǎn)的坐標(biāo)

K=ETKT+EKKK

(11)

繩索過(guò)滑輪懸掛飛機(jī)模型，預(yù)緊力的變化勢(shì)必影響懸掛系統(tǒng)的剛度，又由于繩索實(shí)際是繞過(guò)滑輪而并非固連在滑輪支架上，其變形對(duì)懸掛系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的影響被機(jī)身滑輪抵消，但其對(duì)系統(tǒng)平動(dòng)剛度影響依然存在，這些因素的影響程度事先無(wú)法準(zhǔn)確判定。因此，對(duì)兩個(gè)加權(quán)矩陣先以假設(shè)初值代入(如式(12)、式(13)所示)，并以ET0和EK0表示，后續(xù)再參考試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行修正，以獲得較準(zhǔn)確的剛度模型。

(12)

(13)

另外與繩拉力相關(guān)的剛度矩陣KT和與繩索剛度相關(guān)的剛度矩陣KK表示為

(14)

(15)

雙索懸掛系統(tǒng)的地面樣機(jī)飛行器模型質(zhì)心在地軸系中的坐標(biāo)值為P0=(0,0,-0.416)，設(shè)ζ1=ζ2=70 mm，利用MATLAB編程仿真。首先根據(jù)系統(tǒng)靜力平衡方程計(jì)算繩索預(yù)緊拉力，得到T={65.6 N,65.6 N,57.4 N,57.4 N}，前兩個(gè)元素即為豎直繩預(yù)緊力，后兩個(gè)元素為水平索的預(yù)緊力；然后將所有參數(shù)代入式(14)、式(15)和式(11) 中，計(jì)算得到與繩索預(yù)緊拉力相關(guān)的剛度矩陣KT、與繩索剛度相關(guān)的剛度矩陣KK以及系統(tǒng)總剛度K和系統(tǒng)總剛度矩陣主對(duì)角線組成的剛度對(duì)角陣為

KT=

(16)

上述6個(gè)值分別表示模型沿OgXg軸、OgYg軸、OgZg軸的平動(dòng)剛度和繞OgXg軸、OgYg軸、OgZg軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度[14]。顯然，OgXg方向的剛度最大，比沿OgYg、OgZg方向的平動(dòng)剛度大1個(gè)數(shù)量級(jí)，比繞OgXg軸、OgYg軸、OgZg軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度大3個(gè)數(shù)量級(jí)。

式(16)中各自由度上的剛度大小反應(yīng)了支撐系統(tǒng)對(duì)模型的約束情況，即該懸掛系統(tǒng)在模型的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度上約束最小，而橫向與沉浮方向的約束次之，驗(yàn)證了雙索懸掛系統(tǒng)符合全模顫振試驗(yàn)支撐釋放除來(lái)流方向(即OgXg方向)以外的5個(gè)自由度的設(shè)計(jì)要求。這表明，圖1的全模顫振雙索懸掛支撐在理論上是合理的。

2.3 系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率理論分析

在建立系統(tǒng)靜力學(xué)模型時(shí)，已經(jīng)假設(shè)繩索質(zhì)量忽略不計(jì)，且始終處于受拉狀態(tài)，同時(shí)假設(shè)飛行器模型是一個(gè)剛體。基于這些假設(shè)，進(jìn)一步建立雙索懸掛系統(tǒng)無(wú)阻尼彈簧-振子振動(dòng)模型：

(17)

(18)

式中：ηq為系統(tǒng)剛度矩陣第q階特征值，進(jìn)一步得到系統(tǒng)第q階模態(tài)的固有頻率fq：

(19)

式中：Kqq為系統(tǒng)剛度矩陣K第q行q列元素值；Mqq為飛行器模型慣性矩陣M第q行q列元素值。

如上所述，全模顫振雙索懸掛系統(tǒng)應(yīng)能夠釋放模型俯仰、偏航、滾轉(zhuǎn)、升沉及側(cè)滑等5個(gè)方向自由度。飛行器模型在雙索懸掛系統(tǒng)支撐下進(jìn)行顫振試驗(yàn)，系統(tǒng)剛體模態(tài)的固有頻率大小是決定試驗(yàn)成功與否的重要因素之一[22]。

系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率是衡量雙索懸掛系統(tǒng)整體性能的指標(biāo)之一。假設(shè)雙索懸掛系統(tǒng)繩索預(yù)緊力從15 N逐漸增大到200 N左右，根據(jù)式(11)～式(15)以及式(19)，計(jì)算在雙索懸掛系統(tǒng)支撐下模型各階剛體模態(tài)的固有頻率。

實(shí)驗(yàn)室里對(duì)地面樣機(jī)的測(cè)試結(jié)果表明，當(dāng)模型處于靜力平衡狀態(tài)時(shí)，雙索懸掛系統(tǒng)的豎直繩索預(yù)緊拉力和水平繩索預(yù)緊拉力在數(shù)值上差異較小，因此不失一般性地，在下面的分析中用豎直繩索和水平繩索的預(yù)緊拉力平均值描述懸掛系統(tǒng)的繩索預(yù)緊拉力，整體性地研究繩索預(yù)緊拉力對(duì)系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的影響。

圖7給出了理論計(jì)算得到的系統(tǒng)各剛體模態(tài)頻率受繩索預(yù)緊力影響的規(guī)律。表3則給出了具體數(shù)值。當(dāng)繩索預(yù)緊拉力為60 N左右時(shí)，計(jì)算所得系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的分布與系統(tǒng)靜剛度分析的結(jié)果式(16)在規(guī)律性上是一致的。

圖7 固有頻率隨繩索預(yù)緊力變化曲線(理論)Fig.7 Natural frequencies vary with ropes tension (theoretical)

表3 固有頻率隨繩索預(yù)緊力變化Table 3 Natural frequency variations with ropes tension

由圖7可知，系統(tǒng)剛體模態(tài)的固有頻率隨繩索預(yù)緊力增大而增大，但隨繩索預(yù)緊力增長(zhǎng)的速率不同，轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)的固有頻率受繩索預(yù)緊力的影響比平動(dòng)模態(tài)大得多。

在圖7中，系統(tǒng)各剛體模態(tài)頻率都保持在相對(duì)較低的頻率范圍內(nèi)(<13 Hz)。其中，最大的剛體模態(tài)頻率約為模型固有頻率(一階固有頻率為38.561 Hz)的1/3，最小的剛體模態(tài)頻率約為模型固有頻率的1/10，符合全模顫振試驗(yàn)對(duì)模型支撐的要求。

轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)方面，在一定繩索預(yù)緊力范圍內(nèi)，滾轉(zhuǎn)模態(tài)的固有頻率最大且隨繩索預(yù)緊力增長(zhǎng)的速率最快，俯仰模態(tài)的固有頻率最低且隨繩索預(yù)緊力增長(zhǎng)最慢。平動(dòng)模態(tài)方面，固有頻率隨繩索預(yù)緊力增大略微有增長(zhǎng)，但是數(shù)值變化很小，且側(cè)滑模態(tài)的固有頻率略小于升沉模態(tài)的固有頻率。

雙索懸掛系統(tǒng)在OgXg方向的平動(dòng)固有頻率保持在20 Hz以上(圖、表中未給出)，遠(yuǎn)高于其他自由度的固有頻率，體現(xiàn)了系統(tǒng)能夠約束模型在來(lái)流方向的自由度，釋放其他5個(gè)方向自由度的特點(diǎn)。

3 系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率測(cè)試

下面通過(guò)地面樣機(jī)模態(tài)頻率測(cè)試試驗(yàn)，一方面考察雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的變化規(guī)律以驗(yàn)證理論分析的結(jié)果，另一方面通過(guò)試驗(yàn)探究繩系結(jié)構(gòu)對(duì)雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的影響，深入了解雙索懸掛系統(tǒng)的力學(xué)特性，為理論剛度模型的修正提供可靠的數(shù)據(jù)。

3.1 測(cè)試方法

在地面樣機(jī)上采用錘擊法進(jìn)行模態(tài)頻率測(cè)試試驗(yàn)[23]。調(diào)整機(jī)身前、后滑輪與模型質(zhì)心之間的距離為ζ1=ζ2=70 mm、機(jī)身前后滑輪總距離為ζ=ζ1+ζ2=140 mm。兩個(gè)加速度計(jì)A、B分別固定于模型機(jī)身的前后部位(見(jiàn)圖8)。4個(gè)拉力傳感器分別兩兩串接于豎直繩索和水平繩索處于滑輪兩側(cè)的兩支。其中，傳感器1、2分別串接于豎直繩索的兩支，而傳感器3、4分別串接于水平繩索的兩支。

圖8 模態(tài)頻率測(cè)試試驗(yàn)Fig.8 Modal frequency test experiment

進(jìn)行錘擊試驗(yàn)時(shí)，在對(duì)豎直繩索和水平繩索施加一定預(yù)緊拉力的情況下，用力錘沿某一自由度方向敲擊模型，激勵(lì)模型自由振蕩；繩索拉力因此發(fā)生變化，用串聯(lián)在豎直繩索和水平繩索兩端的拉力傳感器測(cè)量繩索拉力響應(yīng)信號(hào)；同時(shí)用粘附在模型上的加速度計(jì)測(cè)量模型的加速度響應(yīng)信號(hào)。采集上述測(cè)量數(shù)據(jù)，再將繩索拉力響應(yīng)和加速度響應(yīng)信號(hào)分別進(jìn)行傅里葉變換，可以得到該自由度方向的幅頻特性。

按照上述方法，在不同繩索預(yù)緊力條件下，重復(fù)試驗(yàn)采樣，獲得足夠的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可獲得相應(yīng)試驗(yàn)條件下雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率變化規(guī)律。

3.2 測(cè)試結(jié)果

下面給出通過(guò)試驗(yàn)得到的雙索懸掛系統(tǒng)對(duì)錘擊激勵(lì)的響應(yīng)，以及繩索預(yù)緊力對(duì)系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的影響。

圖9為當(dāng)豎直繩索預(yù)緊力為47.2 N、水平繩索預(yù)緊力為42.3 N時(shí)，模型受俯仰方向的錘擊激勵(lì)做自由振蕩過(guò)程中采集到的繩索拉力響應(yīng)和加速度響應(yīng)信號(hào)。從圖9 (a)中可見(jiàn)，機(jī)身前后兩個(gè)加速度計(jì)的響應(yīng)信號(hào)相位相反，且機(jī)身后部加速度響應(yīng)幅值大于前部。在圖9(b)中，水平繩索拉力的響應(yīng)幅值略大于豎直繩索拉力。

分別對(duì)上述響應(yīng)信號(hào)做傅里葉變換，可得到各自的頻域特性曲線，如圖10所示，頻率響應(yīng)曲線的一階模態(tài)模型對(duì)應(yīng)激勵(lì)方向上剛體模態(tài)的固有頻率。

圖10(a)為加速度幅頻曲線，機(jī)身前部響應(yīng)幅值小于機(jī)身后部響應(yīng)幅值，但是對(duì)應(yīng)的峰值頻率相同；圖10(b)為繩索拉力幅頻曲線，繩索串接的4個(gè)拉力傳感器的響應(yīng)信號(hào)中各階頻率一致性很好，且繩索拉力響應(yīng)幾個(gè)峰值頻率都與圖10 (a) 相同。這表明繩索拉力響應(yīng)信號(hào)和加速度響應(yīng)信號(hào)都能夠較為準(zhǔn)確地反應(yīng)雙索懸掛系統(tǒng)的剛體模態(tài)頻率。

圖9 繩索拉力響應(yīng)和加速度響應(yīng)Fig.9 Rope tension responses and acceleration responses

圖10 加速度響應(yīng)和繩索拉力響應(yīng)頻譜Fig.10 Acceleration responses and ropes tension responses spectra

改變繩索的預(yù)緊力，從15 N逐漸增長(zhǎng)到200 N左右，測(cè)試每一組繩索預(yù)緊力下系統(tǒng)各剛體模態(tài)頻率的大小，結(jié)果如圖11所示。

圖11的模態(tài)頻率測(cè)試結(jié)果表明系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率隨繩索預(yù)緊力的增大而升大，但都保持在較低的頻率范圍內(nèi)(均不大于10 Hz)。各階剛體模態(tài)的固有頻率隨繩索預(yù)緊力增加的速率各異。轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)的固有頻率受繩索預(yù)緊力的影響比平動(dòng)模態(tài)大得多。在轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)方面，在試驗(yàn)的繩索預(yù)緊力范圍內(nèi)，滾轉(zhuǎn)模態(tài)的固有頻率最大且增長(zhǎng)最快，俯仰模態(tài)的固有頻率最小且增長(zhǎng)最慢；平動(dòng)模態(tài)的固有頻率隨繩索預(yù)緊力增大略微有增長(zhǎng)，但是量值很小，且橫側(cè)向模態(tài)的固有頻率略小于升沉模態(tài)的固有頻率。

在圖7和圖11中，雙索懸掛系統(tǒng)在繩索預(yù)緊力小的情況下，升沉和橫側(cè)向的剛體模態(tài)頻率都較高(5～9 Hz)，其根本原因在于繩系對(duì)模型的約束方式。雙索中的豎直繩索對(duì)模型的沉浮方向施加了約束，而水平繩索對(duì)模型的橫側(cè)向方向施加了約束。受約束越大的方向，剛度越大，剛體頻率也越高。另一方面，在算例式(16)中，雙索懸掛系統(tǒng)的平動(dòng)剛度比轉(zhuǎn)動(dòng)剛度大兩個(gè)數(shù)量級(jí)，剛度越大的方向，對(duì)應(yīng)的剛體模態(tài)頻率也會(huì)越高。

雖然機(jī)身內(nèi)設(shè)置了滑輪，有助于釋放平動(dòng)自由度，但是作用效果有限。當(dāng)繩索預(yù)緊力較小時(shí)，對(duì)地面樣機(jī)上的模型，用手施加激勵(lì)，在3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度方向，模型都很容易發(fā)生來(lái)回轉(zhuǎn)動(dòng)，說(shuō)明剛度較低，對(duì)應(yīng)的剛體頻率也低；而在升沉和橫側(cè)向兩個(gè)方向，剛度較大，需要施加較大的激勵(lì)，才能使模型有較大的位移幅度。這表明這兩個(gè)平動(dòng)自由度方向的剛體模態(tài)頻率較高。

圖11 固有頻率隨繩索預(yù)緊力變化曲線(試驗(yàn))Fig.11 Natural frequency with ropes tension (experimental)

3.3 仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

對(duì)比圖7的理論仿真結(jié)果和圖11的試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果可知,雙索懸掛系統(tǒng)各階剛體模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率隨繩索預(yù)緊力變化的規(guī)律是相同的，均隨繩索預(yù)緊力增大而升高，且分布規(guī)律和增長(zhǎng)趨勢(shì)相同。但是，理論仿真結(jié)果和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果在數(shù)值上存在一定差異，其相對(duì)誤差ef可表示為

(20)

圖12為各階剛體模態(tài)的固有頻率理論值和試驗(yàn)值之間的誤差曲線。顯然，如2.2節(jié)中的預(yù)測(cè)，理論仿真結(jié)果普遍大于試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果。當(dāng)繩索預(yù)緊拉力足夠大時(shí)(在本文中，T>80 N)各剛體模態(tài)頻率的理論分析值與試驗(yàn)值的相對(duì)誤差基本不變，繩索預(yù)緊拉力的影響主要是在其值較小時(shí)。

分析理論仿真結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果之間誤差值ef的大小和分布關(guān)系，對(duì)加權(quán)矩陣進(jìn)行修正：

得到新的系統(tǒng)剛度矩陣計(jì)算式為

K=ET1KT+EK1KK

(21)

圖12 理論結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差率曲線Fig.12 Error rate curves between theoretical and experimental results

在此基礎(chǔ)上重新進(jìn)行理論仿真,得到系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率與試驗(yàn)值之間的誤差降低到5%以內(nèi)。因此，本文的理論建模方法是合理可行的。通過(guò)修正加權(quán)矩陣，仿真計(jì)算得到的系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率隨繩索預(yù)緊力增長(zhǎng)的趨勢(shì)與試驗(yàn)結(jié)果一致，且各階剛體模態(tài)固有頻率的大小關(guān)系和分布規(guī)律與試驗(yàn)結(jié)果高度吻合。上述方法具有一定指導(dǎo)意義，可以為后續(xù)理論模型的修正提供參考。

3.4 機(jī)身滑輪安裝參數(shù)的影響

前述主要研究繩索預(yù)緊拉力對(duì)雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的影響，下面討論繩系結(jié)構(gòu)的影響。這里，繩系結(jié)構(gòu)的變化主要反映在機(jī)身滑輪位置的不同設(shè)置上。

2.1節(jié)中定義ζ1、ζ2為機(jī)身前后滑輪與模型質(zhì)心之間的距離，兩滑輪總間距為ζ=ζ1+ζ2。本節(jié)再定義機(jī)身前后滑輪到模型質(zhì)心距離的比值為δ=ζ1/ζ2。δ和ζ、ζ1、ζ2均為雙索懸掛系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，研究它們對(duì)系統(tǒng)的各階轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)固有頻率的影響具有重要意義。

令機(jī)身前后滑輪關(guān)于模型質(zhì)心對(duì)稱布置，即δ=1，且機(jī)身前后滑輪間距ζ分別為134 mm、154 mm、174 mm，改變繩索預(yù)緊力，從15 N逐漸增長(zhǎng)到200 N左右，測(cè)試每一組繩索預(yù)緊力下系統(tǒng)各剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率的大小。試驗(yàn)結(jié)果如圖13 所示。

由圖13可知，3種滑輪間距下各轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)的固有頻率隨繩索預(yù)緊力變化速率基本均無(wú)差異。繩索預(yù)緊力在100 N以內(nèi)，懸掛系統(tǒng)的各剛體模態(tài)頻率基本能夠維持在8 Hz以下(結(jié)合圖11)。上述結(jié)果表明：當(dāng)滑輪軸心距比例系數(shù)δ=1，即機(jī)身前后滑輪相對(duì)于質(zhì)心對(duì)稱布置，與質(zhì)心的距離ζ1、ζ2相同時(shí)，系統(tǒng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率隨繩索預(yù)緊力變化趨勢(shì)與機(jī)身前后滑輪的間距ζ無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)這時(shí)繩索預(yù)緊力對(duì)系統(tǒng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率幾乎沒(méi)有影響。

令機(jī)身前、后兩滑輪間距為ζ=134 mm，滑輪距比例系數(shù)δ=0.54,1,1.89，即機(jī)身前后滑輪關(guān)于模型質(zhì)心成不對(duì)稱布置，再進(jìn)行上述試驗(yàn)測(cè)試。

試驗(yàn)結(jié)果如圖14所示。雙索懸掛系統(tǒng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率仍隨繩索預(yù)緊力增大而增大，但各轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)的固有頻率變化不同。

圖13 固有頻率隨繩索預(yù)緊力變化曲線(δ=1)Fig.13 Natural frequency curves with rope tension of cable (δ=1)

圖14 固有頻率隨繩索預(yù)緊力變化曲線(ζ=134 mm)Fig.14 Natural frequency curves with rope tension of cable (ζ=134 mm)

在圖14(a)中，俯仰模態(tài)的固有頻率受δ的變化影響最大。當(dāng)δ>1時(shí)，俯仰模態(tài)頻率較δ=1時(shí)??；當(dāng)δ<1時(shí)，俯仰模態(tài)頻率較δ=1時(shí)大。這表明，當(dāng)前機(jī)身滑輪距離質(zhì)心較后機(jī)身距離質(zhì)心遠(yuǎn)時(shí)，俯仰模態(tài)頻率減小，反之亦然。由圖14(b)可知，偏航模態(tài)固有頻率的變化趨勢(shì)是相反的。由此可以判定：機(jī)身前后滑輪到模型質(zhì)心距離的比值δ是影響模型俯仰、偏航模態(tài)的固有頻率的重要因素之一。但是在圖14(c)中，滾轉(zhuǎn)模態(tài)頻率對(duì)δ的變化分散性很小，幾乎不受δ的影響，或者說(shuō)，滾轉(zhuǎn)模態(tài)頻率與機(jī)身前后滑輪的位置基本無(wú)關(guān)，僅與繩索預(yù)緊力有關(guān)，但是繩索預(yù)緊力對(duì)滾轉(zhuǎn)模態(tài)頻率的影響比對(duì)其他兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)的頻率大。

在本文的試驗(yàn)條件下，系統(tǒng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率隨繩索預(yù)緊力的增加而上升；當(dāng)繩索預(yù)緊力小到一定水平(大約20 N)時(shí)，系統(tǒng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率的水平較低，可降到2～3 Hz左右，前后滑輪軸心距ζ對(duì)系統(tǒng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率的影響不顯著。

繩索預(yù)緊力T、機(jī)身前后滑輪到模型質(zhì)心距離的比值δ是系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的重要影響因素。在后續(xù)的雙索懸掛系統(tǒng)理論研究中，若將這些結(jié)構(gòu)參數(shù)無(wú)量綱化，則有望提出一些可行的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

4 結(jié) 論

1) 系統(tǒng)各剛體模態(tài)頻率與繩索預(yù)緊力呈正相關(guān)關(guān)系；3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)固有頻率中，滾轉(zhuǎn)模態(tài)的固有頻率最高且受影響最大，俯仰模態(tài)的最低且受影響較??；平動(dòng)模態(tài)的固有頻率受繩索預(yù)緊力影響較小，升沉模態(tài)的固有頻率稍大于側(cè)滑模態(tài)的。

2) 雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的高低與其系統(tǒng)總剛度直接相關(guān)，總剛度大的自由度方向剛體模態(tài)頻率也高，反之亦然。這一結(jié)果證明本文的研究方法是正確的。

3) 機(jī)身滑輪位置變化導(dǎo)致的繩系結(jié)構(gòu)不同對(duì)滾轉(zhuǎn)模態(tài)固有頻率幾乎沒(méi)有影響，滑輪位置關(guān)于模型質(zhì)心對(duì)稱時(shí)，繩系結(jié)構(gòu)的變化對(duì)俯仰模態(tài)、偏航模態(tài)的固有頻率也幾乎沒(méi)有影響，但是滑輪位置關(guān)于模型質(zhì)心不對(duì)稱時(shí)，對(duì)俯仰模態(tài)、偏航模態(tài)的固有頻率有不同程度的影響。

4) 雙索懸掛系統(tǒng)能夠在一定范圍內(nèi)釋放模型除來(lái)流方向以外的5個(gè)自由度，且能使系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率足夠低。

本文從理論和試驗(yàn)兩方面驗(yàn)證了繩系結(jié)構(gòu)和繩索預(yù)緊力對(duì)全模顫振雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率存在影響，可以通過(guò)改變繩系結(jié)構(gòu)和繩索預(yù)緊力來(lái)調(diào)整系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率；所得結(jié)論可為雙索懸掛系統(tǒng)的理論研究及其結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。