聶瑩瑩，謝 剛，郭彥宏，董渠江

（1. 西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，成都 610031；2. 中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司 通信信號(hào)研究設(shè)計(jì)院，成都 610031）

城市軌道交通在為居民提供便捷乘車服務(wù)的同時(shí)也產(chǎn)生了巨大的能源消耗[1]。據(jù)統(tǒng)計(jì)，牽引能耗為列車運(yùn)行的主要消耗[2]。荀徑對(duì)列車節(jié)能操縱優(yōu)化求解方法進(jìn)行了綜述[3]；許立、耿晨歌采用遺傳算法對(duì)列車運(yùn)行速度曲線生成進(jìn)行研究，但評(píng)價(jià)模型過于苛刻[4-5]；丁圣采用非支配排序遺傳算法研究列車多目標(biāo)操縱優(yōu)化，運(yùn)算復(fù)雜度較高[6]；劉煒采用時(shí)間逼近搜索算法建立節(jié)能優(yōu)化模型，但未考慮舒適度要求[7]。本文根據(jù)惰行控制理論[8]，建立分段漸進(jìn)式的評(píng)價(jià)模型，并將舒適度要求納入約束條件，采用改進(jìn)的差分進(jìn)化（DE，Differential Evolution）算法研究列車節(jié)能優(yōu)化速度曲線的生成，以減少列車牽引能耗。

1 問題分析與模型構(gòu)建

1.1 問題分析

城軌列車節(jié)能問題本質(zhì)上是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，包含列車準(zhǔn)時(shí)到達(dá)、定點(diǎn)停車和牽引能耗最小的目標(biāo)。多目標(biāo)問題求解可將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)，或是直接采用多目標(biāo)優(yōu)化方法。采用Pareto 非支配排序方法可對(duì)多目標(biāo)問題進(jìn)行求解[9]，但實(shí)驗(yàn)研究表明，僅數(shù)代之后，種群中的個(gè)體都進(jìn)化為Pareto 非支配個(gè)體，此時(shí)再將Pareto 非支配個(gè)體作為最優(yōu)解的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)將失去意義[10]。因此本文采用建立各目標(biāo)的評(píng)價(jià)模型，再通過權(quán)重分配合成單目標(biāo)的方法。

1.2 力學(xué)模型與能耗計(jì)算

本文采用多質(zhì)點(diǎn)列車模型，遵循如下假設(shè)條件：

（1）列車為質(zhì)量分布均勻的剛體,是由足夠多數(shù)量的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)鏈；

（2）不考慮車鉤間作用力對(duì)列車的影響；

（3）牽引和制動(dòng)級(jí)位各5 級(jí)。

在列車運(yùn)行過程中，作用在列車上的運(yùn)行方向的力分為3 類：牽引力、運(yùn)行阻力和制動(dòng)力。

以列車沿斜坡向上運(yùn)行為例，如圖1 所示，其中F、B、W分別為列車受到的牽引力、制動(dòng)力、阻力，F(xiàn)與運(yùn)動(dòng)方向一致，B、W 與運(yùn)動(dòng)方向相反；N 為支持力；G 為重力。則列車沿運(yùn)動(dòng)方向所受合力Fh為：

圖1 列車受力分析

列車牽引力、制動(dòng)力主要與列車型號(hào)、列車運(yùn)行速度有關(guān)。當(dāng)列車處于牽引狀態(tài)時(shí)，B為0；處于惰行狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)和B均為0；處于制動(dòng)狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)為0。

列車運(yùn)行阻力一般由基本阻力和線路附加阻力組成?；咀枇饺缦拢?/p>

其中，w0為單位基本阻力；a、b、c為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，v為列車速度。

線路附加阻力主要包括坡道附加阻力和曲線附加阻力。當(dāng)單列車廂處于不同的坡道上時(shí)，其坡道附加阻力ws為：

其中，車廂一長(zhǎng)為L(zhǎng)s部分處在千分坡度數(shù)為y1的坡道上，車廂另一長(zhǎng)為L(zhǎng)-Ls部分處在千分坡度數(shù)為y2的坡道上；G為該車廂重量。如果單列車廂位于同一坡道，則只需計(jì)算該公式的前半部分即可。

同理，單列車廂位于不同的曲線半徑，其曲線附加阻力wr為：

其中，車廂一長(zhǎng)為L(zhǎng)r部分處在半徑為R1的彎曲線路上，車廂另一長(zhǎng)為L(zhǎng)-Lr部分處在半徑為R2的彎曲線路上。

將各個(gè)車廂所受阻力相加，即為列車受到的總阻力W。

其中，i為車廂號(hào)，i=1，···，n，n為車廂數(shù)；A為列車加速度；r為列車旋轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)，M為列車質(zhì)量；以時(shí)間步長(zhǎng)0.1 s，得到列車在各時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的參數(shù)計(jì)算公式。f_force(v，ws)、f_brake(v，ws)分別為牽引力、制動(dòng)力計(jì)算函數(shù)，與列車速度v和工況狀態(tài)ws 有關(guān)。

牽引能耗是列車運(yùn)行過程中牽引力做的功，計(jì)算公式如下：

其中，n為根據(jù)牽引力的改變而劃分的區(qū)段數(shù)；Fi、ΔSi分別為第i段的牽引力和牽引力作用的距離；i=1，···，n；E為列車牽引力在站間所做的功，即牽引能耗。

1.3 列車運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換原則

根據(jù)惰行控制方式，列車運(yùn)行由牽引、惰行和制動(dòng)3 種工況組成，工況轉(zhuǎn)換需要滿足轉(zhuǎn)換規(guī)則才能進(jìn)行，如表1 所示。

2 改進(jìn)DE 算法

DE 算法是Rainer Storn 等人于1995 年提出的一種采用實(shí)數(shù)編碼模擬生物進(jìn)化的算法，具有高效的全局搜索效果和收斂性能[10]。但在求解多目標(biāo)最優(yōu)化問題時(shí)，有易過早收斂、陷入局部最優(yōu)等問題。本文對(duì)現(xiàn)有的DE 算法進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化的特點(diǎn)提出了新的交叉策略，提升基于DE 進(jìn)化策略的收斂性能和全局搜索能力。

改進(jìn)算法對(duì)種群進(jìn)行約束條件下的初始化，經(jīng)變異和改進(jìn)的交叉策略，再通過評(píng)價(jià)模型得到個(gè)體適應(yīng)值，選出高適應(yīng)個(gè)體組成下一代種群，使種群進(jìn)化反復(fù)循環(huán)，直到滿足終止準(zhǔn)則，則算法結(jié)束，如圖2 所示。

表1 工況轉(zhuǎn)換規(guī)則

圖2 改進(jìn)DE 算法流程

2.1 個(gè)體基因設(shè)計(jì)與初始化種群

本文采用位置與工況狀態(tài)值組合的實(shí)數(shù)編碼對(duì)個(gè)體基因進(jìn)行設(shè)計(jì)，位置向量組和工況狀態(tài)組均包含D 個(gè)點(diǎn)，起始點(diǎn)位置為0，工況狀態(tài)為牽引工況，末點(diǎn)位置為目標(biāo)停車點(diǎn)Se、工況狀態(tài)為制動(dòng)工況。種群的個(gè)體基因組合GE 為：

其中，gi表示第i個(gè)點(diǎn)的個(gè)體基因，i=1，···，D，由位置si和工況狀態(tài)值wsi組合而成。

根據(jù)1.2 小節(jié)的假設(shè)條件，牽引和制動(dòng)級(jí)位各5 級(jí)，如表2 所示。其中工況值1 ～ 5 分別代表制動(dòng)輸出19%、39%、59%、79%、99%，6 ～ 10 分別代表牽引輸出19%、39%、59%、79%、99%。

表2 工況狀態(tài)值

在種群初始化過程中，生成的個(gè)體需要約束，以篩選初始種群，其流程如圖3 所示。

圖3 種群初始化流程

2.2 約束條件分析

本文以區(qū)間限速、最大加速度、最大減速度、運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換原則和牽引制動(dòng)特性做為約束條件，將舒適度也納入其中[11]，約束條件為：

其中，Jve、Jse、JE和Jte分別是末速度、末位置、牽引能耗和運(yùn)行時(shí)間評(píng)價(jià)值；q、p、y分別是末速度、能耗和末位置評(píng)價(jià)值所占適應(yīng)度函數(shù)的權(quán)重，1-q-p-y為運(yùn)行時(shí)間評(píng)價(jià)值的權(quán)重，min 為所有個(gè)體中的最小值；wsRequire 為工況評(píng)價(jià)值，為true 表滿足工況轉(zhuǎn)換原則；workstate 為列車運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換序列；workStatePrncp 是工況轉(zhuǎn)換原則判斷函數(shù)；Co為舒適度評(píng)價(jià)值，其值小于4 時(shí)，舒適度滿足要求；vt、at、dt、Ft、Bt分別為t時(shí)刻列車運(yùn)行速度、加速度、減速度及受到的牽引力、制動(dòng)力；Ft,max、Bt,max為t時(shí)刻可輸出的最大牽引力、最大制動(dòng)力；Vt,max為線路在時(shí)刻t的最大允許速度；Amax、Dmax為最大允許加速度、最大允許減速度。

2.3 目標(biāo)評(píng)價(jià)模型與終止準(zhǔn)則

為了保證個(gè)體較好的適應(yīng)性和全局收斂性，結(jié)合本文的節(jié)能優(yōu)化模型，基于Matlab 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，建立了分段漸進(jìn)式評(píng)價(jià)模型，如圖4～圖7 所示。評(píng)價(jià)模型在形式上保持一致，可有效抑制種群優(yōu)化趨勢(shì)向某個(gè)目標(biāo)傾斜，保證種群優(yōu)化的目標(biāo)多樣性。

圖4 末速度評(píng)價(jià)模型

圖5 牽引能耗評(píng)價(jià)模型

圖6 停車位置誤差評(píng)價(jià)模型

圖7 運(yùn)行時(shí)間誤差評(píng)價(jià)模型

末速度評(píng)價(jià)模型對(duì)個(gè)體的末速度在0 ～ 80 km/h之間進(jìn)行分段評(píng)價(jià)，其評(píng)價(jià)值范圍為0 ～ 10 000，末速度超出80 km/h 按最高記。牽引能耗評(píng)價(jià)模型、停車位置誤差和運(yùn)行時(shí)間誤差評(píng)價(jià)模型也類似。

種群終止準(zhǔn)則是種群停止進(jìn)化的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，如圖8 所示，在60 代以內(nèi)的收斂幅度較大，60 代以后，收斂幅度趨于平緩。故本文設(shè)置迭代次數(shù)為100，即可達(dá)到預(yù)期效果。

圖8 迭代次數(shù)與評(píng)價(jià)值

3 算法參數(shù)設(shè)計(jì)與中間參數(shù)生成

改進(jìn)DE 算法包含2 個(gè)重要參數(shù)：縮放因子和交叉概率。

3.1 縮放因子

縮放因子Fs是控制差分矢量對(duì)基向量影響大小的參數(shù)。本文對(duì)Fs的取值進(jìn)行了測(cè)試，F(xiàn)s為0.5 時(shí)，收斂效果好，如表3 所示。

表3 縮放因子對(duì)收斂的影響

3.2 交叉策略的改進(jìn)

為進(jìn)一步增強(qiáng)種群多樣性，DE 算法交叉目標(biāo)個(gè)體Xk(ts)與變異個(gè)體Vk(ts+1)，產(chǎn)生候選個(gè)體Uk(ts+1)，ts代表迭代的代數(shù)，k表示第k個(gè)個(gè)體。

采用DE 算法的交叉策略求解發(fā)現(xiàn)，下一代個(gè)體中變異個(gè)體較少，使算法的收斂效果較差。個(gè)體被淘汰的原因有：變異個(gè)體的基因值不符合個(gè)體基因向量組的要求，交叉概率使一部分個(gè)體淘汰。

為使變異個(gè)體有效，對(duì)變異策略進(jìn)行如下改進(jìn)：

（1）對(duì)變異的無效個(gè)體進(jìn)行有效化處理。

其中，vkj和vkD分別為變異個(gè)體Vk(ts+1)中的第j維分量和第D維分量，WSe為制動(dòng)工況值。

（2）增大交叉概率為1，使收斂效果最好。

3.3 中間數(shù)據(jù)生成

圖9 為個(gè)體末速度生成流程，其他數(shù)據(jù)生成也類似。

圖9 個(gè)體末速度生成流程

4 算例分析

本文采用文獻(xiàn)[7]中提供的上海地鐵的線路數(shù)據(jù)，如表4～表6 所示；實(shí)現(xiàn)帶線路區(qū)段限速的列車自動(dòng)運(yùn)行（ATO，Automatic Train Operation）曲線生成。列車型號(hào)為AC-03，車長(zhǎng)144 m，AW2 質(zhì)量327.6 T，牽引特性[8]如圖10 所示。

表4 線路坡度

表5 線路曲線

表6 線路限速

圖10 AC03 牽引制動(dòng)特性曲線

如圖11 可知，隨著迭代次數(shù)的增加，個(gè)體評(píng)價(jià)值不斷減小，個(gè)體適應(yīng)度不斷提高，表明算法的收斂效果良好。

圖11 100 代最優(yōu)個(gè)體評(píng)價(jià)值

圖12 最優(yōu)ATO 速度曲線

圖13 工況距離曲線

圖12 是算法生成的最優(yōu)ATO 速度曲線。圖13是工況距離曲線，列車在平坡段施加牽引力加速，然后進(jìn)行緩慢牽引，在上坡段惰行一段時(shí)間，最后施加制動(dòng)減速停車。在滿足區(qū)間運(yùn)行時(shí)分的前提下，盡可能地利用了線路優(yōu)勢(shì)，減少了牽引能耗。其牽引能耗為28.8 kW·h，較文獻(xiàn)7 節(jié)能38%。

5 結(jié)束語

本文采用多質(zhì)點(diǎn)模型分析列車運(yùn)動(dòng)情況，基于改進(jìn)的DE 算法，分析線路約束條件，建立評(píng)價(jià)模型，構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)，使種群向低能耗、末速度小的方向進(jìn)行優(yōu)化。以上海地鐵3 號(hào)線數(shù)據(jù)為例，經(jīng)仿真試驗(yàn)，牽引能耗28.8 kW·h，生成的ATO 速度曲線，在滿足定點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)停車的前提下，達(dá)到了節(jié)能的目標(biāo)，證明改進(jìn)DE 算法可用于解決列車節(jié)能優(yōu)化速度曲線問題。但該算法在限速較多的區(qū)段，速度曲線計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，仍需進(jìn)一步研究和改進(jìn)。