黃詩賢

【摘要】對大多數(shù)學(xué)生來說，三維幾何是很難學(xué)的，若單純用幾何方法來解決立體幾何問題，他們常感到一籌莫展，無從下手。向量法為解決立體幾何問題提供了一種新的途徑，使幾何形狀與數(shù)協(xié)調(diào)統(tǒng)一，形成了一套相對固定的模式，具有較高的可操作性，深受學(xué)生的青睞。本文就立體幾何中的向量方法的解題策略提出一些意見。

【關(guān)鍵詞】向量法 ?解題策略 ?數(shù)學(xué)建模

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）43-0099-03

一、向量法證明平行或垂直關(guān)系

在空間圖形中，平行與垂直關(guān)系是很常見的關(guān)系，用向量方法證明，解法相對固定，容易入手。

充分挖掘圖形中的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)直線的方向向量、相關(guān)平面的法向量求出來并進(jìn)行向量運(yùn)算，依據(jù)計(jì)算結(jié)果，確認(rèn)相應(yīng)的關(guān)系，轉(zhuǎn)譯并作出判斷。

二、用向量法處理距離問題

立體幾何中涉及的距離問題較多，如兩點(diǎn)距離，點(diǎn)、線與面的距離，異面直線的距離。

用向量來處理此類問題，則思路簡單，解法清晰固定。

（3）線與面的距離，異面直線的距離，可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離。

三、用向量法求空間角

立體幾何中涉及的空間角有兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角，以及二面角。

解題策略：

二面角問題是高考熱點(diǎn)，如何求二面角？有兩種做法，第一種可以用幾何法作出二面角的平面角求解，對一部分題目而言，能較輕松做出二面角，并求出二面角。第二種方法是用向量法求解，但要注意運(yùn)算。解題時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

1.求法向量時(shí)，利用向量垂直時(shí)盡可能用平行坐標(biāo)軸（面）的向量，簡化運(yùn)算。

2.二面角是銳角還是鈍角的判斷，可借助幾何圖形直觀判斷，若在圖形中不易看出，可根據(jù)兩個半平面的法向量的方向判斷。

四、向量法解立體幾何中的探究性問題

立體幾何中的探究性問題立意新穎，形式多變，令人耳目一新，近年來在高考中時(shí)有出現(xiàn)，向量法在解決此類問題扮演著舉足輕重的角色，為分析和解決立體幾何中的探究性問題另辟蹊徑，提供了全新的視角。

1.立體幾何中的條件探索型問題

基本特征：結(jié)論明確，但需探索條件或增刪條件、或判斷條件正誤。此類問題的難點(diǎn)是如何“執(zhí)果索因”。需注意切勿把必要條件當(dāng)作充分條件，不考慮推理過程的可逆與否。

而方程③沒有實(shí)數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到P、B、C、D的距離都相等。

解題策略：

1.立體幾何中存在性問題的解題策略是：假設(shè)結(jié)論成立，并進(jìn)行邏輯推理，若推出與已知相符的結(jié)論，則說明假設(shè)成立，即存在。得出與已知矛盾的結(jié)論，說明假設(shè)不成立，即不存在。

2.立體幾何中的結(jié)論探索型問題的解題策略是：要把所求的問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的問題，如距離問題、角度問題、最大值與最小值問題，從條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密推理和計(jì)算，得到結(jié)論。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是知識和技能的傳授，更重要的是數(shù)學(xué)思想的熏陶以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對人的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一就是要有數(shù)學(xué)建模能力。向量法就是對立體幾何問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，提升學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹超，呂增峰.《例談用向量法解立體幾何教學(xué)的“誤區(qū)”》，《教學(xué)導(dǎo)航》2014年第6期.

[2]徐皓亮.《向量法解立體幾何問題的坐標(biāo)系的建立》，《高中數(shù)理化》2011年23期.