梁霄，陳江濤，王瑞利，胡星志

1 山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590

2 中國空氣動力研究與發(fā)展中心，四川 綿陽 621000

3 北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094

0 引 言

艦船非接觸水下爆炸是一系列復(fù)雜的非線性多物理過程，迄今仍無法得到全系統(tǒng)、全時空的理解[1-4]。在研究水下爆炸時，主要運(yùn)用3 種方法：試驗、理論計算和數(shù)值仿真[1,3,5-6]。二戰(zhàn)后，西方海軍強(qiáng)國通過實船水下爆炸試驗[7-8]來直觀地觀測爆炸毀傷效果和評估船船抗沖擊性能，以此判斷擬定設(shè)備裝艦的可行性。然而，實船水下爆炸試驗也存在固有缺陷，例如成本高昂、過程不可控、對海洋生態(tài)環(huán)境造成破壞等。數(shù)值仿真的優(yōu)點(diǎn)是安全環(huán)保、成本低、過程可控，但建模和模擬（M&S）過程中卻包含了大量不確定性因素，使得決策者對M&S 方法的預(yù)測能力有所顧慮。

不確定度量化（uncertainty quantification，UQ）技術(shù)結(jié)合了試驗與數(shù)值這2 種方法的優(yōu)點(diǎn)，運(yùn)用此技術(shù)可提高數(shù)值模型的可信度和可靠性。近年來，UQ 研究作為一門新興學(xué)科，受到了歐美國家學(xué)者的高度關(guān)注，被廣泛應(yīng)用于核能[9-11]、安全[12-13]、航空航天[14-18]等重大工程領(lǐng)域。我國在實船水下爆炸試驗領(lǐng)域起步較晚，可獲得的樣本有限，供借鑒的國外公開資料也極度匱乏，使得我國艦船非接觸水下爆炸的UQ 方法研究具備了廣闊的應(yīng)用前景。然而，有關(guān)艦船非接觸水下爆炸的UQ 研究至今未見相關(guān)報道，其中部分原因是水下爆炸的M&S 過程復(fù)雜而獨(dú)特，且無法照搬已有的成熟方法。

首先，由于水下爆炸M&S 過程中不確定性因素繁多且類型不同，除了有物理量自身固有的波動性和測量技術(shù)誤差導(dǎo)致的無法消除的不確定度外，還有基于擬合數(shù)據(jù)的需要，在上述過程中使用了沒有物理意義的不確定度且無法通過試驗標(biāo)定的唯象參數(shù)； 其次，目前常用的UQ 方法成立的前提條件是隨機(jī)變量服從獨(dú)立同分布（independent identical distribution, IID），但水下爆炸中的隨機(jī)變量并不完全服從獨(dú)立同分布； 再次，部分不確定的物理量要求嚴(yán)格非負(fù)，使得概率統(tǒng)計中常見的高斯分布無法直接應(yīng)用，例如，若假設(shè)質(zhì)量服從正態(tài)分布，則理論上樣本取值會出現(xiàn)質(zhì)量為負(fù)的非物理情況； 最后，若假設(shè)參數(shù)服從均勻分布，則容易滿足參數(shù)的有界性要求，但均勻分布的概率密度函數(shù)的強(qiáng)間斷性使其很難轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布。因此，選取合理且符合統(tǒng)計結(jié)果的概率分布，對艦船非接觸水下爆炸的UQ研究至關(guān)重要。

對于UQ 方法的選擇，很自然地會想到蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）方法，但 MC 方法有著收斂速度慢的缺陷，而能有效代替MC 方法的是多項式混沌（polynomial chaos，PC）方法，它也是大規(guī)模工程計算中常用的方法[19-23]。然而，在艦船非接觸水下爆炸M&S 過程中有太多的不確定性因素，使得多元PC 方法容易陷入“維數(shù)災(zāi)難”。簡言之，若采用經(jīng)典的5 個求積點(diǎn)方法計算11 維隨機(jī)變量驅(qū)動的水下爆炸系統(tǒng)，則需要運(yùn)行程序511≈ 4.9×107次，5 階多項式則需要展開（PC 截斷長度[24]）(11+5)!/(11!5!)-1=4 367次 ，共需運(yùn)行程序約5×1011次，超出了目前的計算能力。而基于自適應(yīng)基函數(shù)的齊次Wiener混沌方法改進(jìn)了PC 方法，可緩解“維數(shù)災(zāi)難”問題，其核心思想是通過構(gòu)造隨機(jī)基函數(shù)的同構(gòu)酉變換（unitary transformation）得到新隨機(jī)基函數(shù)，待測物理量在新隨機(jī)基函數(shù)展開下的概率集中在低維子空間。

鑒于此，本文將重點(diǎn)研究使用基于自適應(yīng)基函數(shù)的齊次Wiener 混沌方法處理含高維不確定度的艦船非接觸水下爆炸問題。通過設(shè)計一個簡單的試驗裝置，給出系統(tǒng)輸出量的期望值、標(biāo)準(zhǔn)差、置信區(qū)間等統(tǒng)計信息，進(jìn)而分析、量化和評估不確定性因素對非接觸水下爆炸下艦船沖擊環(huán)境的影響，所得結(jié)果可提高數(shù)學(xué)模型的可靠性、可信度和預(yù)測能力，用以為船舶結(jié)構(gòu)設(shè)計和設(shè)備上艦安裝提供依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)物理模型

因為水下爆炸的壓力與時間及位置有關(guān)，且不容易通過實測獲得，所以需要通過如下經(jīng)驗公式來確定[1-2,25]。

美國海軍艦載設(shè)備的抗沖擊性能是艦船結(jié)構(gòu)設(shè)計及設(shè)備裝艦的依據(jù)。如圖1 所示，在艦船-水交界面（流固耦合處），入射波分解為2 個部分：一是穿透甲板的折射波；二是反射回水中的反射波。反射后的凈壓力是入射波和反射波的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果。

圖 1 試驗裝置受力分析Fig. 1 Force analysis of experimental setup

2 不確定度挖掘、量化和傳播

2.1 不確定度來源和量化

在非接觸水下爆炸與艦船相互作用的過程中，存在眾多不確定性因素，且可分為2 類：一類是不確定的物理量；另一類是不確定的唯象參數(shù)（也稱“擬合系數(shù)”）。表1 中， ξ1～ ξ6為可通過試驗標(biāo)定的不確定物理量； 表2 中， ξ7～ ξ14為無法通過試驗標(biāo)定的不確定唯象參數(shù)，。

表 1 艦船非接觸水下爆炸中的不確定度（物理量）Table 1 Uncertainty of ship subjected to non-contact underwater explosion（physical quantities）

表 2 艦船非接觸水下爆炸中的不確定度(唯象參數(shù))Table 2 Uncertainty of ship subjected to non-contact underwater explosion（empirical parameters）

2.2 Rosenblatt 變換

二次自適應(yīng)基函數(shù)齊次Wiener 混沌方法成立的前提是隨機(jī)變量必須是滿足獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，但由2.1 節(jié)可知，此條件并未得到滿足。本文使用Rosenblatt 變換[26]將相關(guān)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量組。具體步驟為：設(shè) {X1, X2, ..., Xn}為一列隨機(jī)變量（其中下標(biāo)n 為隨機(jī)變量的個數(shù)）。令

圖 2 隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)Fig. 2 Probability density function of random variables

2.3 帶有二次自適應(yīng)基函數(shù)的Wiener 混沌理論

3 不確定度量化結(jié)果分析

由圖6 還可見，隨著時間的變化， z(t)的變化范圍越來越窄，PDF 峰值增加，而偏度則交替出現(xiàn)。綜上所述，采用本文方法對長時間的動力行為進(jìn)行預(yù)測要比初始階段容易一些。

圖 3 彈簧系統(tǒng)位移z 的期望值Fig. 3 Expectation for displacement z in spring system

圖 4 彈簧系統(tǒng)位移z 的標(biāo)準(zhǔn)差Fig. 4 Standard deviation for displacement z in spring system

圖 5 彈簧系統(tǒng)位移z 的置信區(qū)間Fig. 5 Confidence interval for displacement z in spring system

圖 6 不同時刻彈簧系統(tǒng)位移z 的概率密度函數(shù)Fig. 6 PDF of displacement z in spring system at different times

4 結(jié) 論

本文通過設(shè)計合適的彈簧系統(tǒng)試驗裝置，應(yīng)用概率統(tǒng)計方法研究了中、低強(qiáng)度水下爆炸的不確定性因素對甲板上彈簧系統(tǒng)試驗裝置的影響。利用基于自適應(yīng)基函數(shù)的齊次Wiener 混沌方法，給出了試驗裝置位移的期望值、標(biāo)準(zhǔn)差、置信區(qū)間以及概率密度函數(shù)。得到如下主要結(jié)論：

1） 甲板受到水下爆炸沖擊波的沖擊后，一直處于振蕩狀態(tài)。彈簧系統(tǒng)試驗裝置的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差在達(dá)到極大值后逐漸趨于0，置信區(qū)間也逐漸變窄。標(biāo)準(zhǔn)差的振蕩相比期望值大很多，且標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到極值的時間落后于期望值。因此，當(dāng)艦船受到非接觸水下武器的攻擊時，爆炸沖擊初始階段的毀傷效果最大且不易預(yù)測，此時的艦船防護(hù)至關(guān)重要。

目前，土地面積測算的方法有解析法與圖解法兩種[7]。其中解析法利用高精度的界址點(diǎn)計算土地面積，是一種較精確的土地面積量算方法，即用界址點(diǎn)的坐標(biāo)按相應(yīng)公式計算土地面積。界址點(diǎn)的坐標(biāo)測量有導(dǎo)線測量、三角測量或GPS測量[8]。本文選用GPS測量進(jìn)行特征點(diǎn)的坐標(biāo)測定，然后通過CASS9.0軟件的表面積計算與實體面積計算功能進(jìn)行河道綠地面積的計算。

2） 基于自適應(yīng)基函數(shù)的齊次Wiener 混沌方法，通過構(gòu)造隨機(jī)基函數(shù)的同構(gòu)酉變換，選取合適的投影空間，利用系統(tǒng)響應(yīng)量在低維空間的結(jié)構(gòu)逼近全系統(tǒng)，可在一定程度上緩解“維數(shù)災(zāi)難”問題，提高計算效率，節(jié)約計算成本，在應(yīng)用上具有可行性。例如，使用標(biāo)準(zhǔn)多元多項式混沌方法，展開5 次多項式，截斷長度為(14+5)!/14!5!-1=46 512-1=46 511，若使用基于自適應(yīng)基函數(shù)的齊次Wiener混沌方法，截斷長度為(1+5)!/1!5!-1=5次，效率為 46 511/5 ≈104。

本文研究方法可用于指導(dǎo)船舶設(shè)計人員預(yù)測甲板上物體的振蕩范圍，判斷魚雷毀傷影響，為艦上人員采取防護(hù)措施提供建議，給出艦船加固標(biāo)準(zhǔn)，并判斷艦載設(shè)備裝艦的可行性。基于自適應(yīng)基函數(shù)的齊次Wiener 混沌方法還可推廣到其他船舶沖擊響應(yīng)研究中。

綜上所述，艦船非接觸水下爆炸的UQ 研究是一個系統(tǒng)工程，需要海洋、工程、數(shù)學(xué)、物理等各領(lǐng)域?qū)＜覅f(xié)同合作，本文僅給出了初步結(jié)果。下一步工作擬考慮以下問題：

1） 由于本文尚缺乏實驗數(shù)據(jù)與數(shù)值結(jié)果的比對，且尚未獲取真實的實驗數(shù)據(jù)，所以下一步擬與此領(lǐng)域的專家聯(lián)合研究水下爆炸試驗不確定度的傳播和量化，將實驗結(jié)果與數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比對，以確認(rèn)模型的參數(shù)。

2） 本文未考慮模型不確定度的影響。事實上，炸藥類型不同，峰值壓力和衰減常數(shù)甚至是擬合函數(shù)公式也會不同，即使是同一類型的炸藥，也可能會用不同的經(jīng)驗函數(shù)表示。因此，研究不同的經(jīng)驗函數(shù)對系統(tǒng)輸出結(jié)果的影響，即模型形式不確定度 (model form uncertainty)的量化，將始終是UQ 研究的一個重要課題。

致謝

感謝山東科技大學(xué)公派訪問學(xué)者項目對第一作者在美國南加州大學(xué)訪學(xué)期間的資助。感謝南加州大學(xué)Roger Ghanem 教授對本文選題提出的建議。