楊波 吳明堂 周林林

摘 要： 為了有效控制地下工程中圍巖失穩(wěn)現(xiàn)象的發(fā)生，在描述軟巖非線性蠕變行為的基礎(chǔ)上，借鑒元件模型的建模方式，將分?jǐn)?shù)階軟體元件替代傳統(tǒng)西原模型Kelvin體中的黏滯體，得到基于分?jǐn)?shù)階微積分的定常蠕變本構(gòu)模型。引入非線性黏滯系數(shù)表達(dá)式來改進(jìn)模型黏彈性部分，通過損傷力學(xué)理論描述巖石黏塑性應(yīng)變，得到一個新的非線性四元件蠕變本構(gòu)模型。通過所建模型辨識凍結(jié)軟巖、片巖和泥巖的蠕變試驗數(shù)據(jù)，采用Levenberg-Marqud算法求解模型參數(shù)，對比分析試驗數(shù)據(jù)和辨識曲線。結(jié)果表明，所建模型對于研究軟巖非線性蠕變行為是可行的，具有較好的適用性。

在分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)上通過損傷力學(xué)理論描述巖石黏塑性應(yīng)變，得到的非線性四元件蠕變本構(gòu)模型可為進(jìn)一步研究軟巖非線性蠕變行為提供參考。

關(guān)鍵詞： 巖土力學(xué);軟巖;分?jǐn)?shù)階微積分;損傷;西原模型;非定常

中圖分類號： TU452? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：? A

doi：? 10.7535/hbgykj.2020yx06003

Improved Nishihara model of nonlinear creep

behavior of soft rock

YANG Bo 1， WU Mingtang 1， ZHOU Linlin 2

（1.Zhejiang Huadong Construction Engineering Company Limited，Hangzhou， Zhejiang? 310000，? China;2. College of Civil Engineering， Liaoning Project Technology University， Fuxin， Liaoning? 123000， China）

Abstract：

In order to effectively control the occurrence of surrounding rock instability in underground engineering， on the

basis of describing the

nonlinear creep behavior of soft rock and learning from the modeling method of component model， the steady creep constitutive model based on fractional order calculus was obtained by replacing the viscous body in Kelvin body of traditional Nishihara model with the fractional order soft element. The viscoelastic part of the model was improved by introducing the expression of nonlinear viscosity coefficient，and a new nonlinear four-element creep constitutive model was obtained by? describing? the viscoplastic strain of rock based on damage mechanics theory. Through the identification of creep test data of? frozen? soft rock， schist and mudstone， Levenberg-Marqud algorithm was used to solve the model parameters， and the test data and identification curves were compared and analyzed. The results show that the model is feasible and has good applicability for the study of nonlinear creep behavior of soft rock.

On the basis of fractional calculus，

the viscoplastic stain of rock is described by the theory of damage mechanics， and the nonlinear four-element creep constitutive relation is obtained， which? provides a? reference? for further research on the nonlinear creep behavior of soft rock.

Keywords：

geotechnical mechanics; soft rock; fractional order calculus; damage; Nishihara model; unsteady

蠕變是指材料在恒定外力的作用下，變形隨著時間的增長而緩慢累積的現(xiàn)象。巖石蠕變影響著巖體工程的長期穩(wěn)定性，尤其是軟巖，其蠕變行為相比硬脆巖更為明顯。巖石蠕變是地下工程中圍巖失穩(wěn)的關(guān)鍵因素之一，建立能較為全面反映巖石蠕變機(jī)制的本構(gòu)模型是當(dāng)前巖石力學(xué)中的核心內(nèi)容? [1] 。

現(xiàn)已有大量的巖石蠕變本構(gòu)模型，但多為線性模型。蔣海飛等? [2] 根據(jù)線性參數(shù)隨時間變化的數(shù)據(jù)分布特點，提出一個修正的廣義Kelvin模型，該模型具有良好的擬合效果，但無法解釋巖石蠕變的內(nèi)在性質(zhì);蔣昱州等? [3] 基于Perzyna黏塑理論，考慮應(yīng)變屈服臨界，引入統(tǒng)計損傷因子，構(gòu)建了能反映非線性加速蠕變的蠕變本構(gòu)模型，但存在參數(shù)眾多的問題;許多等? [4] 引入分?jǐn)?shù)階微積分，同時結(jié)合損傷理論，得到巖石分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型，但未分析模型的適用性;劉陳林等? [5] 在Bingham模型的基礎(chǔ)上，將非線性函數(shù)和彈塑性損傷體聯(lián)接在傳統(tǒng)模型中，得到新的蠕變損傷模型，但對于巖石加速蠕變階段的辨識效果未得到明顯提升。筆者在傳統(tǒng)西原模型的基礎(chǔ)上，引入分?jǐn)?shù)階微積分軟體元件，得到基于分?jǐn)?shù)階微積分的定常蠕變本構(gòu)模型，通過損傷力學(xué)理論描述巖石黏塑性應(yīng)變，得到一個新的非線性四元件蠕變本構(gòu)模型，該模型結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)較少，具有良好的擬合效果。

1 分?jǐn)?shù)階微積分元體

1.1 Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分

以時間的角度而言，傳統(tǒng)整數(shù)階微積分是對函數(shù)求取整數(shù)階導(dǎo)數(shù)或者積分，一般反映某個物理或力學(xué)過程某個時刻（瞬間）的變化或某種性質(zhì)，而分?jǐn)?shù)階微積分屬于微積分的一個分支，其核心在于其階數(shù)為有理分?jǐn)?shù)、無理數(shù)甚至復(fù)數(shù)。分?jǐn)?shù)階微積分非線性特性顯著，在描述黏彈性及多孔材料的“記憶性”和非線性動力系統(tǒng)的“遺傳性”方面具有一定優(yōu)越性? [6] 。

考慮到分?jǐn)?shù)階微積分在描述非線性物理或力學(xué)行為的優(yōu)勢，且物理意義較明確，方程形式簡練，所以在軟巖蠕變力學(xué)行為的模擬中引用分?jǐn)?shù)階微積分。不同的時域?qū)е铝瞬煌謹(jǐn)?shù)階微積分定義的產(chǎn)生，常用的分?jǐn)?shù)階微積分有Grunwald-Letnikov型、Riemann-Liouville型和Caputo 型? [6] 。其中 Riemann-Liouville 型最簡練，應(yīng)用最廣泛，函數(shù)? f（t） 的α階積分定義為

1.2 由分?jǐn)?shù)階微積分構(gòu)建的軟體元件

傳統(tǒng)流變元件模型是由彈性體、牛頓體和塑性體通過不同聯(lián)接組合方式而得。牛頓體代表理想流體，其本構(gòu) 方程為σ=η[AKε·]，從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，將其轉(zhuǎn)化為

（5）

軟巖是一種非均質(zhì)非線性的地質(zhì)材料，而分?jǐn)?shù)階軟體元件可理解為介于理想固體、流體之間的材料介質(zhì)，文獻(xiàn)＼[7＼]定義了該軟體元件，如圖1所示。

其本構(gòu)為

（6）

式中： ηα為該軟體元件中的類黏滯系數(shù)， MPa·h;? t為 時間， h; σ ve 為軟體元件的應(yīng)力， MPa; ε ve 為軟體元件的應(yīng)變 ，%。

當(dāng)應(yīng)力σ= cons? t 時，通過Riemann-Liouville型理論，對式（6）進(jìn)行分?jǐn)?shù)階積分可得：

（7）

式（7）即 為基于Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分的軟體元件。

當(dāng) σ =0.5 MPa， ηα =1 500 MPa·h時，根據(jù)式（7）繪制不同 α取值的蠕變曲線，如圖2所示。

由圖2可知，當(dāng) α值從0增大至1的過程中，蠕變曲線逐漸偏離橫軸，曲線的切線斜率逐漸增高。當(dāng)α在區(qū)間[0，1）內(nèi)逐漸增大時，曲線的切線斜率遞增，分?jǐn)?shù)階軟體元件的蠕變曲線表現(xiàn)出非線性特征;當(dāng)α=1時，蠕變曲線為純線性曲線，表征出完全的線性關(guān)系，此時軟體元件變成牛頓黏壺。該分?jǐn)?shù)階軟體元件根據(jù)α值的不同，表現(xiàn)出介于理想固體和理想流體之間的性質(zhì)。

2 基于分?jǐn)?shù)階微積分的改進(jìn)西原模型

2.1 傳統(tǒng)西原模型

傳統(tǒng)西原模型由一個彈性體、Kelvin體和黏塑性體串聯(lián)而成，其模型結(jié)構(gòu)為H-H|N-N|S，如圖3所示。

西原模型的一維蠕變本構(gòu)方程為

（8）

式中：? E H為彈性體的彈性模量; E K和 η K分 別為Kelvin體的彈性模量和黏滯系數(shù); σ為初始應(yīng)力;σ S為長期強(qiáng)度; η S為黏塑性體的黏滯系數(shù)。文獻(xiàn)[7]總結(jié)了西原模型在描述較低應(yīng)力水平下模型變形發(fā)展較快的缺陷，這導(dǎo)致蠕變歷時較短，難以較好辨識軟巖的蠕變力學(xué)行為，需改進(jìn)西原模型。

2.2 改進(jìn)西原模型

軟體元件在受力后，產(chǎn)生應(yīng)變的速度慢于牛頓體。實際上，蠕變曲線也不會產(chǎn)生突變或陡變，模型變形發(fā)展處于一個正常水準(zhǔn)，故本文將分?jǐn)?shù)階軟體元件替代西原模型中Kelvin體的牛頓元件，得到基于分?jǐn)?shù)階微積分改進(jìn)的軟巖西原模型，如圖4 所示。

根據(jù)模型結(jié)構(gòu)和分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)，基于Riemann-Liouville型微積分算子理論，對式（8）進(jìn)行積分得到基于分?jǐn)?shù)階微積分的西原模型，其蠕變本構(gòu)方程可寫為

（9）

式中： α 為Kelvin體中分?jǐn)?shù)階黏滯體的階數(shù);上標(biāo)圓點為對時 間t的一階導(dǎo)數(shù)。

式（8）和式（9）中流變參數(shù)皆為常參數(shù)，而實際巖體工程中，巖石蠕變現(xiàn)象中流變參數(shù)不斷衰減，然而分?jǐn)?shù)階微積分軟體元件的類黏滯系數(shù)是常量，因此需改進(jìn)以常參數(shù)為主的蠕變本構(gòu)方程。為了體現(xiàn)軟巖的非線性特征，通常對黏滯系數(shù)進(jìn)行非定?；?，將其改進(jìn)為與時間或應(yīng)力相關(guān)的形式。宋飛等? [8] 提出一種可描述巖石非線性特征的黏滯系數(shù)非定常方程：

η（σ）=η0 e? ? ?-（λσ+c） ，? （10）

式中η0，λ，c為與蠕變特性相關(guān)的黏滯參數(shù)。

式（10）為黏滯系數(shù)與應(yīng)力有關(guān)的表達(dá)式，對其進(jìn)行簡化以增強(qiáng)實用性，由此將式（10）簡化為

η（σ）=η0 e? ? ?-λσ ，? （11）

當(dāng)η0= 1 000 MPa·h， λ=0.1，根據(jù)式（11）繪制不同σ取值下的η（σ）變化曲線，如圖5所示。

文獻(xiàn)[9]中描述了黏滯系數(shù)的衰減規(guī)律，圖5中的衰減規(guī)律與文獻(xiàn)[9]中的較為一致，證明了式（11）的可行性。將式（11）代入式（9），替換 η K即可使本文模型的黏彈性部分得到非定常化改進(jìn)。

2.3 損傷變量的定義及模型建立

巖石應(yīng)力水平超過長期強(qiáng)度時，巖石受到的損傷開始累積? [3，9] ，故引入損傷理論來改進(jìn)模型的黏塑性部分，能量損傷的定義如下，

D（σ，t）=1-[SX（]E（σ，t）[]E0[SX）]，? ? ? （12）

式中：E0為初始彈性模量;E（σ，t）為蠕變過程中任意時刻的彈性模量。巖石材料蠕變破壞后，巖石失去承載能力，結(jié)合文獻(xiàn)＼[10＼]的研究，對E（σ，t）定義如下：

E（σ，t）=E0? exp [-<σ-σ S >t/b]，? （13）

式中： b為材料參數(shù);<σ-σ S>為開關(guān)函數(shù)，即為

<σ-σ S>=-[JB（{]0，? σ<σ S，

σ-σ S，? σ≥σ S，? ?（14）

將式（13）代入式（12）得：

D（σ，t）=1- exp [-<σ-σ S >t/b]，? （15）

由式（15）可知，當(dāng)t=0時，D=0，對應(yīng)巖石材料的無損狀態(tài);當(dāng)σ<σ S時，應(yīng)力未超過長期強(qiáng)度，此時 D=0;當(dāng)σ≥σ S時，應(yīng)力超過長期強(qiáng)度，損傷開始累積 ，t趨于無窮時無限接近1。D（σ，t）的變化示意圖如圖6所示。

根據(jù)Kachanov損傷理論? [5] ，定義有效應(yīng)力為

[AKσ～]=[SX（]σ[]1-D（σ，t）[SX）]，? （16）

式中[AKσ～]為有效應(yīng)力。

將式（15）代入式（16）即可得：

[AKσ～]=σ exp [-<σ-σ S >t/b]。? （17）

式（9）為本文改進(jìn)后的定常蠕變模型的本構(gòu)方程，由于在黏塑性部分進(jìn)行損傷演化時考慮了有效應(yīng)力，所以將式（9）變?yōu)?/p>

（18）

對式（18）進(jìn)行積分可得：

（19）

將損傷演化方程式（17）代入式（19）可得：

（20）

式（20）為本文經(jīng)過損傷演化的本構(gòu)方程，最后再將式（11）代入式（20）替換 ηα可得：

（21）

式（21）即為本文所建基于分?jǐn)?shù)階微積分改進(jìn)的軟巖西原模型，該模型為參數(shù)非定常蠕變本構(gòu)模型。

3 模型驗證及參數(shù)求解

為驗證所建模型描述軟巖蠕變力學(xué)行為的可行性和適用性，引用文獻(xiàn)＼[11—13＼]中凍結(jié)軟巖、片巖和泥巖的蠕變試驗數(shù)據(jù)，利用軟件Origin對蠕變力學(xué)行為進(jìn)行辨識，試驗值與理論值的對比曲線如圖7所示。模型參數(shù)的求解采用Levenberg-Marqud算法? [14-15] ，模型參數(shù)如表1 所示。

由圖7和表1可看出，本文所建模型對軟巖蠕變行為具有較強(qiáng)的辨識能力，平均 R? 2=0.990 6，針對3種軟巖的衰減、穩(wěn)定蠕變階段的模擬值所建模型略高于傳統(tǒng)西原模型，與試驗值吻合更好。3種軟巖的蠕變曲線尤其是加速蠕變階段，形態(tài)各異，所建模型具有較好的擬合效果。

4 結(jié) 語

傳統(tǒng)西原模型為定常模型，其中定常Kelvin體描述黏彈性應(yīng)變，定常黏塑性體描述黏塑性應(yīng)變，本文在傳統(tǒng)西原模型的基礎(chǔ)上，通過分?jǐn)?shù)階微積分和非線性黏滯系數(shù)表達(dá)式改進(jìn)Kelvin體，引入損傷力學(xué)理論改進(jìn)黏塑性體，使得傳統(tǒng)模型中定常Kelvin體和定常黏塑性體改進(jìn)為非定常形式，由此將傳統(tǒng)定常模型改進(jìn)為具備非線性特性的非定常模型，突破了傳統(tǒng)西原模型的限制，通過模擬非線性特征顯著的加速蠕變行為，得到如下結(jié)論。

1）在傳統(tǒng)西原模型的基礎(chǔ)上，借鑒了元件模型的建模思路，引入分?jǐn)?shù)階微積分理論，從而得到介于理想固體和流體之間性質(zhì)的可描述分?jǐn)?shù)階軟體元件。該元件具有明顯的非線性特點，能較好地反映巖石蠕變的非線性特征。通過將分?jǐn)?shù)階軟體元件替代傳統(tǒng)西原模型Kelvin體中的黏滯體，得到基于分?jǐn)?shù)階微積分的定常蠕變本構(gòu)模型。

2）基于流變參數(shù)非定常的思路，對定常蠕變本構(gòu)模型進(jìn)行非定常化。引入非線性黏滯系數(shù)表達(dá)式來改進(jìn)模型黏彈性部分，通過損傷力學(xué)理論反映模型黏塑性部分的損傷發(fā)展，從而得到基于分?jǐn)?shù)階微積分的軟巖西原模型。

3）通過應(yīng)用所建模型對相關(guān)文獻(xiàn)中凍結(jié)軟巖、片巖和泥巖的蠕變數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，對比分析試驗曲線和理論曲線，反映出所建模型優(yōu)良的擬合效果，證明本文模型反映軟巖蠕變力學(xué)行為的可行性和適 用性。

本文所建模型對于不同軟巖的蠕變力學(xué)行為模擬具有較好的效果，擬合精度較高，今后研究中還需考慮模型在有限元條件下進(jìn)行開發(fā)，并應(yīng)用于實際工程。

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