唐建國(guó)，葉桂余

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 惠州 516007）

一元函數(shù)的凸性是研究函數(shù)曲線形狀的重要工具.數(shù)學(xué)分析教材給出了一元凸函數(shù)不帶連續(xù)條件的定義、一些等價(jià)條件和凸函數(shù)的判定方法，但對(duì)于凸函數(shù)的連續(xù)性問題，現(xiàn)行教材在定義和性質(zhì)中均未涉及[1-2].部分學(xué)者研究一元凸函數(shù)的連續(xù)性問題，如：證明了一元凸函數(shù)的有界性和連續(xù)性[3-5]；探討了閉區(qū)間上凸函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的連續(xù)性問題[6]；給出一元凸函數(shù)的一個(gè)與上半連續(xù)性相結(jié)合的等價(jià)定義[7]；討論了一元凸函數(shù)的連續(xù)性和有界性，定義了擴(kuò)充單調(diào)的概念，以此為基礎(chǔ)給出了開區(qū)間內(nèi)和閉區(qū)間內(nèi)凸函數(shù)的擴(kuò)充單調(diào)性質(zhì)[8]；從一元凸函數(shù)的定義出發(fā)，討論了凸函數(shù)與連續(xù)的關(guān)系[9]；分析比較了一元凸函數(shù)的弦線法定義和切線法定義，給出了一元凸函數(shù)的折線法定義，討論了凸函數(shù)的連續(xù)性等分析性質(zhì)[10]；證明了一元凸函數(shù)概念的一些等價(jià)形式，歸納了凸函數(shù)的連續(xù)性及可微性結(jié)論，得到了規(guī)劃論中有用的極值命題[11].

隨著凸函數(shù)在線性規(guī)劃等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，學(xué)者們開始研究多元凸函數(shù)的連續(xù)性問題.如：研究了三元凸函數(shù)的連續(xù)性問題，給出了三元凸函數(shù)連續(xù)性的證明，在證明區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)連續(xù)時(shí)假定了該點(diǎn)的函數(shù)值為零[12]；給出了開凸集上凸函數(shù)連續(xù)性的一個(gè)簡(jiǎn)單證法，所采用的思想與文獻(xiàn)[12]接近[13]；利用卡氏積和集合的方法證明了n維歐氏空間上的有限凸函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)[14].

本文將研究n維歐氏空間中開凸集上n元凸函數(shù)連續(xù)性的證明：將文[12]證明三元凸函數(shù)連續(xù)性的內(nèi)點(diǎn)表示方法用于證明n元凸函數(shù)的連續(xù)性,且無需假定連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)值為零；將文[15]利用左右導(dǎo)數(shù)的存在性證明一元凸函數(shù)的連續(xù)性，推廣為利用方向?qū)?shù)的存在性證明n元凸函數(shù)的連續(xù)性. 這兩種方法分別稱為內(nèi)點(diǎn)表示證明法和方向?qū)?shù)證明法.

1 內(nèi)點(diǎn)表示證明法

將文[12]中三元凸函數(shù)的定義推廣為n元凸函數(shù)的定義.

定義1[12]設(shè)D是n維歐氏空間Rn的開凸集，f(x1,x2,…,xn)是D上的n元函數(shù)，如果對(duì)于任意兩點(diǎn)P1,P2∈D及任意實(shí)數(shù)λ ∈[0,1]，恒有

則稱f(x1,x2,…,xn)是Rn中開凸集D上的下凸函數(shù)，簡(jiǎn)稱凸函數(shù).

類似于文[12]中的引理1，可將其在三維歐氏空間的結(jié)果推廣到n維歐氏空間.

引理1[12]設(shè)C是n維歐氏空間?n中以P1,P2,…,P2n為頂點(diǎn)的n維長(zhǎng)方體，則

將文[12]中三元凸函數(shù)的連續(xù)性推廣為n元凸函數(shù)的連續(xù)性，并用內(nèi)點(diǎn)表示證明法.

定理1[12]設(shè)f(x1,x2,…,xn)是n維歐氏空間Rn的開凸集D上的凸函數(shù)，則它是D上的連續(xù)函數(shù).

證明一(內(nèi)點(diǎn)表示證明法) 任取一點(diǎn)P0∈D，因D是?n的開凸集，所以存在以P0為中心邊長(zhǎng)為d的n維正方體C，使其完全含于D的內(nèi)部.設(shè)C的2n個(gè)頂點(diǎn)分別為P1,P2,…,P2n，根據(jù)引理1，對(duì)于任給的P ∈C，存在λi≥0，且，使得P=.由于f(P)是凸函數(shù)，所以

其中K =1+max1≤i≤2n{f(Pi)}. 由P0∈C ?f(P0)≤K-1 ＜K，從而有L:=K-f(P0)＞0為正的常數(shù).

下證f(P)在點(diǎn)P0連續(xù)，即只需要證對(duì)于任給的正數(shù)ε ＞0，存在點(diǎn)P0的一個(gè)鄰域U，使得當(dāng)P ∈U時(shí)，成立|f(P)-f(P0)|＜ε即可.對(duì)于任給的正數(shù)ε ＞0，取以P0為中心邊長(zhǎng)為(dε)/L的n維正方體作為P0的鄰域U.任取P ∈U，可以得到如下線性表示：

由于f(P)是開凸集D上的凸函數(shù)，所以

由此可得

即|f(P)-f(P0)|＜ε，故凸函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在開凸集D內(nèi)任意一點(diǎn)P0連續(xù)，從而f(x1,x2,…,xn)在開凸集D上連續(xù).

2 方向?qū)?shù)證明法

文[15]利用一元凸函數(shù)左右導(dǎo)數(shù)的存在性證明了一元凸函數(shù)的連續(xù)性，我們希望將這一證明方法應(yīng)用于n維歐氏空間中開凸集上n元凸函數(shù)連續(xù)性的證明.但在推廣過程中遇到了一個(gè)問題，就是由于維數(shù)的增加左右導(dǎo)數(shù)在高維中已不再適用.我們提出了解決這個(gè)問題的方法，用比左右導(dǎo)數(shù)更一般的方向?qū)?shù)來替代一元函數(shù)的左右導(dǎo)數(shù).

引理2n元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在開凸集D上為凸函數(shù)的充分必要條件是：對(duì)于D內(nèi)任意共線且互異的3 點(diǎn)P1,P2,P3，當(dāng)P2位于P1與P3之間時(shí)，總有

證明(必要性) 設(shè)f(P)是開凸集D內(nèi)的凸函數(shù).根據(jù)P1,P2,P3共線互異且P2位于P1與P3之間，所以存在λ ∈(0,1)，使得P2=λP1+(1-λ)P3，且

從而有

根據(jù)凸函數(shù)定義，有f(P2)=f(λP1+(1-λ)P3)≤λf(P1)+(1-λ)f(P3). 由此可得

在式(2)左右兩邊的式子分子分母分別乘以正數(shù)|P2-P1|和|P3-P2|, 可得

在上式中利用式(1)可得

(充分性) 設(shè)P1,P2,P3共線互異且P2位于P1與P3之間，總有

任取P1,P3∈D，記P2=λP1+(1-λ)P3，λ ∈(0,1)，則P1,P2,P3共線互異且P2位于P1與P3之間，因此式(3)成立.根據(jù)必要性的證明過程，由P2=λP1+(1-λ)P3可推得

則由式(3)和式(4)可式得

上式約分后，得到 λ[f(P2)-f(P1)]≤(1-λ)[f(P3)-f(P2)]. 整理后可得

將P2=λP1+(1-λ)P3代入上式可得

故n元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在開凸集D上為凸函數(shù).

引理3設(shè)n元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)是開凸集D內(nèi)的凸函數(shù).對(duì)于任給的P0∈D，過點(diǎn)P0作一直線l，設(shè)P0的一端為直線l的正向l+，P0的另一端為直線l的負(fù)向l-.則以下2 個(gè)極限存在

且fl-’ (P0)≥-fl+’ (P0)或fl+’ (P0)≥-fl-’ (P0).

證明設(shè)l是過點(diǎn)P0的一條給定的直線，P-2,P-1,P0,P1,P2在直線l上且位于開凸集D內(nèi)的互不相同的5 點(diǎn)，P-1位于P-2與P0之間，P0位于P-1與P1之間，P1位于P0與P2之間.因此|P2-P0|=|P2-P1|+|P1-P0|. 本文規(guī)定為l的正向（記為l+），為l的負(fù)向（記為l-）.由引理2 可得

由式(5)中第3 個(gè)不等式得

利用|P2-P0|=|P2-P1|+|P1-P0|可得

上式移項(xiàng)合并后可得

這說明在直線l的正向l+上,當(dāng)點(diǎn)P沿l正向l+趨向于P0時(shí)，即當(dāng)P(l+)→P0時(shí),比值[f(P)-f(P0)]/|P-P0|單調(diào)遞減,且有下界[f(P0)-f(P-1)]/|P0-P-1|，所以必有極限,記

由式(5)和式(6)可得

同乘以(-1)得

類似于前面的證明，可得

這說明在直線l的負(fù)向l-上，當(dāng)點(diǎn)P沿l負(fù)向l-趨向于P0時(shí)，即當(dāng)P(l-)→P0時(shí),[f(P)-f(P0)]/|P-P0|單調(diào)遞減,且有下界-fl+’ (P0)，所以必有極限,記

且fl-’ (P0)≥-fl+’ (P0)或fl+’ (P0)≥-fl-’ (P0).

下面給出定理1 的第2 種證明方法：

定理1 的證明二(方向?qū)?shù)證明法) 設(shè)f(x1,x2,…,xn)是n維歐氏空間Rn的開凸集D上的凸函數(shù)，我們證明它是D上的連續(xù)函數(shù).只需證明，對(duì)任給的P0∈D，f(x1,x2,…,xn)在點(diǎn)P0連續(xù)即可.即只需要證對(duì)于任給的正數(shù)ε ＞0，存在點(diǎn)P0的一個(gè)鄰域U，使得當(dāng)P ∈U時(shí)，成立|f(P)-f(P0)|＜ε即可.

連接點(diǎn)P0與P得到線段，在線段上取一點(diǎn)P1(P1≠P0,P)，記線段所在直線為l.我們規(guī)定為直線l的正向l+，為直線l的負(fù)向l-.根據(jù)引理3 及其證明過程可知

另一方面，有

從而有

聯(lián)合式(8)和式(9)可得

由此可得

即|f(P)-f(P0)|＜ε. 故n元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在點(diǎn)P0連續(xù)，從而在開凸集D上連續(xù).