浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)仁愛中學(xué)(315200) 鄧 俊

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),即數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析. 作為核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)抽象,鮑建生教授曾在《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中若干問題》一文中指出,其有以下四個(gè)方面的表現(xiàn): 形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題與模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系. 由此可見形成數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中重要的抽象,它的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的重要環(huán)節(jié). 如何讓學(xué)生利用模型解決涉及動點(diǎn)的幾何最值問題,這類問題綜合性強(qiáng)、難度大,能全面考察學(xué)生對平面幾何問題的解決能力,各省市中考時(shí)常將其作為壓軸題. 解決這類問題最常用的一種方法是: 首先尋找動點(diǎn)的運(yùn)動路徑,在一類運(yùn)動路徑為圓的問題中難點(diǎn)往往在于如何發(fā)現(xiàn)圓,而有了圓以后問題也可以變得更為豐富. 既可以是線段的最值問題,也可以是角度,面積等常見幾何量的問題. 下面就初中階段常見的圓軌跡做歸納整理.

1 定點(diǎn)定長——圓軌跡

例1 如圖1, 等腰直角ΔABC中, ∠ABC= 90°,AB=CB=2,CD=求∠BAD的范圍.

圖1

圖2

分析: 因?yàn)镃D=所以點(diǎn)D在以C為圓心,為半徑的圓上(如圖2). 當(dāng)直線AD與⊙C相切時(shí),∠BAD取到最值. 又因?yàn)?CD=CA所以當(dāng)∠ADC= 90°時(shí),∠CAD=30°,所以15°≤∠BAD≤75°.

小結(jié): 到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡為圓,而題目中的呈現(xiàn)方式往往會給出定點(diǎn)和定長,隱去它的軌跡. 解答時(shí)將其軌跡畫出,可以使得解題變得更加直觀. 當(dāng)有了圓軌跡之后,問題也可以變得更加豐富,可以求線段AD的最值,也可以求ΔACD面積的最大值等等問題.

例2在矩形ABCD中,AD= 6,AB= 6+,E是AB邊上的一點(diǎn),且AE=AD,P是線段CD上一點(diǎn),連接PE,將矩形沿著PE折疊,點(diǎn)B、C分別落在G、F處,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C移動到點(diǎn)D時(shí),點(diǎn)G經(jīng)過的路徑長為_______.

例2 圖

圖3

圖4

圖5

分析: (如圖3)因?yàn)檎郫B的過程中GE=BE=所以點(diǎn)G在以E為圓心,為半徑的圓弧上. 點(diǎn)P在線段CD上從C移動到點(diǎn)D的過程中,當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)(如圖4) 點(diǎn)G在G′的位置, 由題意得:EB=,CB= 6,∠B= 90°得出∠CEB= 60°, 則∠GEA= 60°. 點(diǎn)P在點(diǎn)D時(shí)(如圖5) , ∠PEB= 120°, 則∠AEG= 90°, 所以整個(gè)弧的圓心角是150°, 那么點(diǎn)G經(jīng)過的路徑長為:

小結(jié): 本題是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡為圓弧而不是圓,主要是要找出圓弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)然后求出圓心角,這樣圓弧的路徑長就迎刃而解.

2 定弦張角——圓軌跡

例3如圖6, 在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn), 點(diǎn)A(-2,0), 點(diǎn)B(0,2), 點(diǎn)E, 點(diǎn)F分別為OA,OB的中點(diǎn).若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得正方形OE′D′F′,記旋轉(zhuǎn)角為α. 若直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值.

圖6

圖7

分析: 如圖6, 當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)時(shí), ΔBOF′可以由ΔAOE′繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到, 所以BF′⊥AE′, 即∠APB= 90°恒成立,AB=是定值, 所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動. 要求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最大值, 即求∠E′AO的最大值, 因?yàn)镋′的以O(shè)為圓心, 1 為半徑的圓上,當(dāng)AE′與⊙O相切時(shí),∠E′AO最大為30°,此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D′重合(如圖7),所以AP=點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

小結(jié): 此題可以看成相似等腰直角三角形(ΔAOB、ΔEOF)的繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題,那么點(diǎn)P為對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)P是兩三角形(ΔAOB、ΔE′OF′)外接圓的交點(diǎn). 此題也可以看成兩個(gè)全等三角形(ΔAOE′、ΔBOF′)旋轉(zhuǎn)90°的問題,那么點(diǎn)P為對應(yīng)邊所在直線的交點(diǎn),顯然對應(yīng)邊也互相垂直,所以對于線段AB的張角∠APB= 90°,點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上. 此題點(diǎn)P運(yùn)動軌跡圓弧所對的圓周角∠PAO有一定的范圍,所以點(diǎn)P的圓弧有一定的度數(shù)范圍. ∠PAO最大為30°,所以此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大.

例4如圖8,ΔABC、ΔEFG均是邊長為2 的等邊三角形,點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn),直線AG、FC相交于點(diǎn)M.當(dāng)ΔEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí),求線段BM長的最小值.

圖8

圖9

分析: 如圖9, 連結(jié)DA,DG, 在正ΔEFG旋轉(zhuǎn)的過程中, ΔDFC可以由ΔDGA繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°, 并縮小倍得到,所以CF⊥AG,即∠AMC= 90°恒成立,AC= 2 是定值,所以點(diǎn)M在以AC為直徑的圓上,那么問題就轉(zhuǎn)化為圓外點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值問題了, 易得BM的最小值為

小結(jié): 此題可以看成兩全等直角三角形(ΔADC、ΔGDF) 繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題, 點(diǎn)M為對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn),點(diǎn)M是兩個(gè)三角形(ΔADC、ΔGDF)外接圓的交點(diǎn). 此題也可以看成兩相似等腰三角形(ΔADG、ΔCDF)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°的問題,那么點(diǎn)M為對應(yīng)邊所在直線的交點(diǎn),顯然對應(yīng)邊也互相垂直,所以對于線段AC的張角∠AMC固定為90°,那么點(diǎn)M的軌跡為以AC為直徑的圓.

3 定圓變換——圓軌跡

例5在平面直角坐標(biāo)系內(nèi), 點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(4,0),(0,4),(-2,0),以C為圓心,CO為半徑畫圓,點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動. 如圖13,將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE,求線段BE的范圍. 如圖15,將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PF,求ΔABF面積的最大值.

圖10

圖11

圖12

圖13

分析: (1)將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE,所以點(diǎn)E的軌跡由點(diǎn)P的軌跡旋轉(zhuǎn)而來,點(diǎn)P的軌跡是圓,那么點(diǎn)E的軌跡也是圓. 點(diǎn)E的軌跡圓圓心也由點(diǎn)P的軌跡圓心繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而來,C(-2,0)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)C′(4,6),此時(shí)連結(jié)EC′,PC,因?yàn)椤螾AC= ∠EAC′,AC=AC′,AP=AE, 所以ΔPAC∽= ΔEAC′, 可得EC′=PC= 2, 所以點(diǎn)E的軌跡為以C′(4,6) 為圓心,2 為半徑的圓(如圖11),問題就轉(zhuǎn)化為圓外點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問題,所以將AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PF,那么AF也可以看成AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°并擴(kuò)大倍得到. 那么點(diǎn)F的軌跡由點(diǎn)P的軌跡旋轉(zhuǎn)并擴(kuò)大倍得到,點(diǎn)F的軌跡圓心也由點(diǎn)P的軌跡圓心變換而來,AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°并擴(kuò)大倍得到AC′,點(diǎn)C′為(-2,6). 此時(shí)連結(jié)FC′,PC,因?yàn)椤螾AC= ∠FAC′,所以ΔPAC∽ΔFAC′, 可得FC′=所以點(diǎn)F的軌跡為以C′(-2,6)為圓心,為半徑的圓(如圖13),那么當(dāng)FC′⊥AC′時(shí),ΔABF的面積最大為8.

小結(jié): 此類問題通常由圓繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn),放縮產(chǎn)生新的圓,從而形成一些關(guān)于圓的常規(guī)問題,隱蔽性較強(qiáng). 解題者若對于變換后的圖形軌跡沒有清晰的認(rèn)識,那么解題會變得異常困難. 解決此類題目的關(guān)鍵在于理解點(diǎn)與軌跡的關(guān)系,從對應(yīng)點(diǎn)變換到軌跡圓變換,再到軌跡圓心變換都是相同的變換,可以利用這樣的觀點(diǎn),先找到圓心,再證明變換后的點(diǎn)軌跡是圓. 證明的過程往往是全等,相似等三角形知識的綜合運(yùn)用,再結(jié)合圓的定義得到圓軌跡.

例6如圖14,在等腰RtΔABC中,AC=BC=點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點(diǎn). 當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長.

分析: 點(diǎn)M為CP線段的中點(diǎn),線段CM可以看成線段CP縮小到原來的一半. 那么點(diǎn)M的軌跡就是點(diǎn)P的軌跡縮小原來的一半. 所以點(diǎn)M的軌跡圓心由點(diǎn)P的軌跡圓心變換而來. 取AB中點(diǎn)E,點(diǎn)E為點(diǎn)P軌跡圓圓心.取CE的中點(diǎn)F,因?yàn)镸為PC中點(diǎn),F為CE中點(diǎn),所以2MF=PE= 2 恒成立. 即點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離始終等于1,所以點(diǎn)M的軌跡為半圓(如圖15),路徑長為π.

圖14

圖15

小結(jié): 此類問題可以歸結(jié)為圓上動點(diǎn)到定點(diǎn)的連線上一個(gè)固定比例點(diǎn)的軌跡問題,也可以看成圓的位似變換,解決此類問題的關(guān)鍵就是找到變換后軌跡圓心的位置. 通常情況下,可以連結(jié)圓心與定點(diǎn),在此連線上,再結(jié)合固定比例找到圓心位置. 確定好圓心的位置后,在通過三角形知識證明變換后點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓,問題就迎刃而解了.

本文通過對動點(diǎn)問題中的軌跡為圓的這些常見題型進(jìn)行剖析,我們深刻感受到軌跡為圓的魅力. 找到隱藏的圓化無形為有形,看透點(diǎn)運(yùn)動內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).