劉曉慧， 郭改慧

(陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 引言

自20世紀(jì)60年代末Belousov發(fā)現(xiàn)化學(xué)反應(yīng)中的周期振蕩現(xiàn)象后,化學(xué)與生物化學(xué)中的振蕩現(xiàn)象受到越來越多學(xué)者的關(guān)注.Hopf分支作為一種描述周期現(xiàn)象的經(jīng)典動(dòng)態(tài)分支,對(duì)研究物理、生物、化學(xué)等系統(tǒng)當(dāng)參數(shù)變化時(shí)平衡狀態(tài)失穩(wěn)而產(chǎn)生振蕩的現(xiàn)象具有重要作用.文獻(xiàn)[1]討論了一類任意階自催化模型在空間均勻和空間不均勻分布下的Hopf分支及其穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[2]研究了一類帶有時(shí)滯的捕食者-食餌擴(kuò)散模型,給出了正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.更多關(guān)于穩(wěn)定性分析和Hopf分支的研究有興趣的讀者可參考文獻(xiàn)[3-7]及其中的參考文獻(xiàn).

文獻(xiàn)[8]提出一類具有二重飽和度的可逆四分子生化反應(yīng)模型,研究了系統(tǒng)極限環(huán)的存在性、不存在性和惟一性.由文獻(xiàn)[9]可知,生化反應(yīng)中反應(yīng)速率會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生很大的影響,若反應(yīng)速率為米氏飽和或二重飽和時(shí),系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象.目前,對(duì)二重飽和或米氏飽和可逆生化反應(yīng)的研究,較多關(guān)注的是常微分系統(tǒng)的極限環(huán)問題,對(duì)常微分系統(tǒng)Hopf分支的研究和帶擴(kuò)散項(xiàng)的擴(kuò)散系統(tǒng)的討論較少.所以在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上,本文考慮一類具有米氏飽和度的可逆四分子生化反應(yīng)模型

(1)

式(1)中：u,v表示兩種反應(yīng)物的濃度,a,b,c,d均為正常數(shù),主要建立系統(tǒng)(1)Hopf分支的存在性、方向和穩(wěn)定性,以及對(duì)應(yīng)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、Turing不穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性等.

基于系統(tǒng)(1)的實(shí)際意義,假設(shè)u,v均具有非負(fù)初始條件.

1 常微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支

本節(jié),首先討論系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,其次分析正平衡點(diǎn)處的Hopf分支.

易知,d≤a時(shí),系統(tǒng)(1)無正平衡點(diǎn);當(dāng)d>a時(shí),系統(tǒng)(1)存在惟一的正平衡點(diǎn)(u*,v*),其中

系統(tǒng)(1)在(u*,v*)處的Jacobi矩陣為

顯然A<0,R>0.注意到

假設(shè)條件

成立.令

以下均假設(shè)條件(H1)成立.

定理1設(shè)d>a.

(i)若0

(ii)若c>c0,則系統(tǒng)(1)的惟一正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定;

(iii)若c=c0,則系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)(u*,v*)處產(chǎn)生Hopf分支,且該Hopf分支為次臨界方向,周期閉軌漸近穩(wěn)定.

證明：(i)當(dāng)00又因D>0,此時(shí)J存在具有正實(shí)部的特征值,正平衡點(diǎn)(u*,v*)不穩(wěn)定;

(ii)當(dāng)c>c0時(shí),T<0又因D>0,故J的特征值實(shí)部均小于0,此時(shí)正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定;

(iii)令λ=α(c)±iβ(c)為J的一對(duì)共軛復(fù)特征根,其中

(2)

重寫系統(tǒng)(2)為

(3)

其中

F1(u,v,c)=-a1uv+a2v2-a3uv2+a4v3+

O(|u||v|3,|v|4),

F2(u,v,c)=a1uv+a5v2+a3uv2+a6v3+

O(|u||v|3,|v|4).

這里

a3=3v*,a4=-u*+4cv*,

定義矩陣

其中

顯然,當(dāng)c=c0時(shí),P是可逆的,即

易知

當(dāng)c=c0時(shí),

其中

G1(x,y,c)=F1(x,Mx+Ny,c),

通過計(jì)算可得G1(x,y,c)和G2(x,y,c)在(0,0,c0)處的各階偏導(dǎo)數(shù)為

下面通過判斷q(c0)的符號(hào)給出周期解的方向和穩(wěn)定性[10],其中

由于d>a,將G1(x,y,c)和G2(x,y,c)在(0,0,c0)處的各階偏導(dǎo)數(shù)代入q(c0)計(jì)算可得

q(c0)=

注意到α′(c0)<0,由Poincare-Andronov-Hopf分支定理[11]知,系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)(u*,v*)處產(chǎn)生Hopf分支,且該Hopf分支為次臨界方向,周期閉軌漸近穩(wěn)定.證畢.

2 反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的Turing不穩(wěn)定性和Hopf分支

本節(jié)討論具有米氏飽和度的可逆四分子生化反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)

(4)

其中Ω為n維歐式空間的有界開集,并且具有光滑邊界?Ω,γ表示?Ω上單位外法向量,d1,d2分別代表兩種反應(yīng)物的擴(kuò)散系數(shù),均為正常數(shù),Δ為拉普拉斯算子.

定義實(shí)Sobolev空間

X={(u,v)∈(H2(Ω))2:uγ=vγ=0,x∈?Ω},

并且定義X的復(fù)延拓空間

XC=X⊕iX={x1+ix2|x1,x2∈X}.

系統(tǒng)(4)在(u*,v*)處的線性化算子為

在齊次Neumann邊界條件下,算子-Δ的特征值滿足

0=λ0<λ1<λ2<λ3<…,

且φk(x)(k∈N)為對(duì)應(yīng)λk的特征函數(shù).令

為L(zhǎng)對(duì)應(yīng)特征值μ的特征函數(shù),即

L(φ,ψ)T=μ(φ,ψ)T.

經(jīng)計(jì)算

其中

Lk=

顯然L的特征值可由Lk的特征值給出.設(shè)Lk的特征方程為

μ2-Tkμ+Dk=0,k=0,1,2,…,

其中

Tk=T-(d1+d2)λk,

當(dāng)0

下面考慮系統(tǒng)(4)當(dāng)c0

當(dāng)0

注意到二次函數(shù)

的判別式為

因此f(z)=0存在兩個(gè)實(shí)根

如果z10,k≥0.由于z1z1時(shí),(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定.

定理2設(shè)d>a.

(i)當(dāng)0

(ii)當(dāng)c0z1,則系統(tǒng)(4)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定.

當(dāng)c00.若00,此時(shí)方程

存在兩個(gè)正實(shí)根

其中

注意到

λ+(d1,d2)=

令

則

定義

Γ1={λ|λ≥0,λ-(d1,d2)<λ<λ+(d1,d2)},

Γ2={λ0,λ1,λ2,λ3,λ4,…}.

要使不等式0

固定d2且令d1→∞,則

從而對(duì)所有的d1>0,有

由上述分析得到如下結(jié)論.

定理3設(shè)d>a.當(dāng)c0

(5)

則對(duì)于固定的d2>0和所有的d1>0,系統(tǒng)(4)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定.

證明：如果(5)式成立,那么

Γ1∩Γ2=?.

此時(shí),對(duì)所有的k∈N,Dk>0且Tk<0,故系統(tǒng)(4)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定.證畢.

固定d1且令d2→0,則

定理5設(shè)d>a.令

證明：若c=c0,則T0=0且D0>0.由于λk>0(k≥1)且d1,d2>0,于是對(duì)所有的k≥1,有Tk(c0)<0.經(jīng)計(jì)算

根據(jù)Poincare-Andronov-Hopf分支定理[11]可知,當(dāng)c=c0時(shí),系統(tǒng)(4)在(u*,v*,c0)處產(chǎn)生Hopf分支.證畢.

3 數(shù)值模擬

本節(jié),給出一些具體的數(shù)值實(shí)例,對(duì)所得的理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證補(bǔ)充.取a=1,b=1,d=2,則c0=1.5.

對(duì)系統(tǒng)(1),取c=1.6>c0,此時(shí)T<0,由定理1(ii)可知正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定,如圖1所示.

(a)時(shí)間圖

取c=1.5=c0,由定理1(iii)知在(u*,v*)附近系統(tǒng)(1)存在次臨界的Hopf分支,如圖2所示.均取初值(u(0),v(0))=(2.7,1.1).

(a)時(shí)間圖

對(duì)擴(kuò)散系統(tǒng)(4),Ω取一維空間(0,π).當(dāng)c=2時(shí),z1=0.227.如果取d1=1,d2=0.3,那么d1,d2滿足條件d2/d1>z1,因此,由定理2(ii)可知系統(tǒng)(4)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定,如圖3所示.

(a)u的時(shí)空分布

若取d1=60,d2=3,則d1,d2滿足條件0

若取d1=1,d2=0.006,則d1,d2滿足條件0

如果取c=1.45,d1=1,d2=0.3,那么由定理5可知,系統(tǒng)(4)在正平衡點(diǎn)(u*,v*)處出現(xiàn)穩(wěn)定的Hopf分支周期解,如圖6所示.

若取c=1.6,d1=1.22,d2=0.1,系統(tǒng)(4)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)分支,如圖7所示.初始值均取(u0,v0)=(2.7+0.125 4cos5x,1.1+0.125 4cos5x).

(a)u的時(shí)空分布

(a)u的時(shí)空分布

(a)u的時(shí)空分布

(a)u的時(shí)空分布

4 結(jié)論

本文在齊次Neumann邊界條件下,以一類具有米氏飽和度的可逆四分子生化反應(yīng)模型為研究對(duì)象.首先分析了正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性及穩(wěn)定性; 然后討論了對(duì)應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Turing不穩(wěn)定性.特別是擴(kuò)散系統(tǒng),當(dāng)c0z1時(shí),擴(kuò)散系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)0