單佳驪， 樓紅衛(wèi)

(1.復(fù)旦大學(xué) >附屬中學(xué)，上海200433； 2.復(fù)旦大學(xué) >數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200433)

1 引 言

在幾何不等式研究中，三角形幾何不等式的研究占有重要地位.一些三角形幾何不等式非常簡(jiǎn)潔優(yōu)美，證明思路通常利用余弦定理等三角函數(shù)性質(zhì)去證，解法簡(jiǎn)單快捷.如下是第3屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO競(jìng)賽題中一個(gè)三角形幾何不等式及其解法.

又由Cauchy不等式知b2+c2≥2bc，再結(jié)合sin(A+π/6)≤1，得到

且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c(即當(dāng)且僅當(dāng)b=c且A=π/3).證畢.

上述解法巧妙地運(yùn)用了三角形中各邊長(zhǎng)和面積與三角函數(shù)之間的關(guān)系，再結(jié)合Cauchy不等式而快速得到原命題.受命題1啟發(fā)，有兩個(gè)問題值得我們思考和研究：

(i) 能否將命題1中的三角形幾何不等式推廣為更一般的三角形幾何不等式？

(ii) 能否將命題1中的三角形幾何不等式推廣為多邊形幾何不等式？

有很多文獻(xiàn)研究了三角形幾何等式和不等式乃至多邊形幾何等式與不等式，例如文獻(xiàn) [1-2]研究了三角形幾何等式、不等式及其推廣，文獻(xiàn)[3-4]研究了圓外切和圓內(nèi)接多邊形幾何不等式.本文將利用凸函數(shù)的Jensen不等式[5]，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，獲得比命題1更具一般性的三角形幾何不等式(見第2節(jié)推廣1)和圓外切多邊形幾何不等式(見第二節(jié)推廣2).

2 主要結(jié)論及其證明

首先，將命題1的三角形幾何不等式推廣到更一般的三角形幾何不等式.

推廣1設(shè)a,b,c為某個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)，S為其面積.則對(duì)任意大于1的實(shí)數(shù)α，有

aα+bα+cα≥2α31-α/4Sα/2,

其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c.

其次，將命題1由三角形情形推廣到更一般的圓外切多邊形情形.

推廣2對(duì)于n≥3, 設(shè)a1,a2,…,an為某個(gè)圓外切多邊形的各邊長(zhǎng)，S為其面積.則對(duì)任意大于1的實(shí)數(shù)α，有

其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

接下來,結(jié)合Jensen不等式，將把推廣1和2這兩個(gè)幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，這將大大簡(jiǎn)化證明過程.先給出二個(gè)重要引理：

引理1令x1,x2,…,xn為正數(shù)，n≥1.則對(duì)任意不小于1的正數(shù)α，有

證令f(x)=xα,x∈(0,+∞),則f″(x)=α(α-1)xα-2>0,x∈(0,+∞).因此f是(0,+∞)上的凸函數(shù).由凸函數(shù)的Jensen不等式知：當(dāng)x1,x2,…,xn>0時(shí)，有

即

其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn.證畢.

引理2設(shè)n≥1，實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn∈(0,π/2).則

圖1

其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn.

證取f(x)=tanx，其中x∈(0,π/2).則f″(x)=2sinx(cosx)-3>0,x∈(0,π/2).因此f是(0,π/2)中的凸函數(shù).由凸函數(shù)的Jensen不等式知

選取定級(jí)因素因子體系和確定其權(quán)重是耕地定級(jí)關(guān)鍵的一步?？紤]到耕地的自然、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)與區(qū)位屬性，需要選取的評(píng)價(jià)因素因子較多，計(jì)算量較大，利用GIS對(duì)空間信息強(qiáng)大的采集、存儲(chǔ)、分析、管理能力是耕地定級(jí)及對(duì)成果進(jìn)行科學(xué)管理的有效途徑[12-16]。

即

其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn.證畢.

下面給出推廣1和2的證明.

推廣1 證設(shè)ΔABC的內(nèi)切圓圓心為O，半徑為r(見圖1)，則

從而有

故

a+b+c=r[(tanα1+tanα2)+(tanβ1+tanβ2)+(tanγ1+tanγ2)]，

由于α1,α2,β1,β2,γ1,γ2∈(0,π/2)，應(yīng)用引理2得

所以

(a+b+c)2=r2(tanα1+tanα2+tanβ1+tanβ2+tanγ1+tanγ2)2

=2S(tanα1+tanα2+tanβ1+tanβ2+tanγ1+tanγ2)

即

其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)α1=α2=β1=β2=γ1=γ2=π/3，即a=b=c.又由引理1知

(aα+bα+cα)/3≥3-α(a+b+c)α，

故

其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c.證畢.

推廣2 證設(shè)正整數(shù)n≥3，n邊形的頂點(diǎn)依次為A1,A2,…,An，邊長(zhǎng)依次為a1,a2,…,an，內(nèi)切圓圓心為O，半徑為r，各邊所對(duì)的兩個(gè)內(nèi)頂角分別為β2i-1,β2i(1≤i≤n).則類似推廣1的證明，有

由引理2知

所以有

即

a1+a2+…+an≥(4nStan(π/n))1/2,

且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)β1=β2=…=β2n=tan(π/n)，即a1=a2=…=an.

再由引理1知，對(duì)任意大于1的實(shí)數(shù)α，

從而我們有

其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.證畢.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文從一個(gè)三角形幾何不等式出發(fā)，利用凸函數(shù)的Jensen不等式，把幾何不等式問題轉(zhuǎn)化到代數(shù)不等式的證明，證明思路簡(jiǎn)潔快捷，并獲得了更一般的三角形幾何不等式及圓外切多邊形幾何不等式.類似問題對(duì)于提升高中階段的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和進(jìn)行初步的研究有很大幫助.

致謝感謝復(fù)旦大學(xué)“步青”高中生學(xué)術(shù)見習(xí)計(jì)劃，感謝參考文獻(xiàn)給予我們的啟發(fā).