全 然

(河南工業(yè)大學理學院，鄭州450001)

1 引 言

同濟大學數(shù)學系編的高等數(shù)學是國內(nèi)大部分理工科非數(shù)學本科專業(yè)采用的經(jīng)典教材[1]，華東師范大學數(shù)學科學學院編的數(shù)學分析是國內(nèi)大部分數(shù)學本科專業(yè)采用的經(jīng)典教材[2]，兩套教材都對函數(shù)的凸性進行了定義.文獻[1]基于區(qū)間上任意兩點的中點來定義函數(shù)的凸性，即所謂中點凸，而文獻[2]則是基于任意兩點的凸組合來定義函數(shù)的凸性.筆者在講授高等數(shù)學[1]時，一直認為兩種定義是等價的，但并沒有去深究在什么條件下等價，為什么等價.

近來，筆者想探究這兩種凸性定義是否等價的愿望愈發(fā)強烈，于是對兩種凸性的定義進行了認真研究.為了討論方便，如果沒有特別指明，下文所述區(qū)間I既可以是閉區(qū)間也可以是開區(qū)間，區(qū)間I0表示去掉區(qū)間I的端點后形成的開區(qū)間，如果I是開區(qū)間，則I0=I.研究發(fā)現(xiàn)，詹森(Jensen)最早定義了函數(shù)的凸性并對其進行了系統(tǒng)研究[3-8]，該定義具體如下.

定義1[3-8]設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對I上任意兩點x1,x2恒有

(1)

則稱f(x)在區(qū)間I上是J凸的，或者稱f(x)在區(qū)間I上是J凸函數(shù).

文獻[2]中凸性定義是國內(nèi)外大多數(shù)文獻所采用的定義[2,5-9]，具體如下.

定義2[2]設f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對I上任意兩點x1,x2和任意實數(shù)λ∈(0,1)恒有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

(2)

則稱f(x)在區(qū)間I上是凸的，或者稱f(x)在區(qū)間I上是凸函數(shù).

從表面形式上看，以上兩種定義并不一樣.而且易知凸函數(shù)一定是J凸函數(shù)，反之未必成立.通過進一步探究高等數(shù)學和數(shù)學分析教材[1]、[2]、[10-12]發(fā)現(xiàn):

(i) 文獻[1]和[10]的凸性定義類似定義1，利用式(1)進行定義，而文獻[2]、[11]和[12]的凸性定義類似定義2，利用式(2)進行定義；

(ii) 文獻[1]和[12]要求函數(shù)具有連續(xù)性，而文獻[2]、[10]和[11]則沒有連續(xù)性的要求.

所以筆者的“今惑”是：

(i) 定義1和定義2這兩種凸性定義是否等價，為什么？

(ii) 在什么條件下這兩種凸性定義等價？

本文基于筆者自己的“今惑”和相關(guān)參考文獻，研究梳理這兩種凸性定義的“前世”：

(i) 兩種凸性定義的早期發(fā)展歷史；

(ii) 兩種凸性定義的性質(zhì)以及它們等價需要的條件.

自從函數(shù)凸性在19世紀末20世紀初被提出并定義之后[3-8]，便得到了廣泛研究[13-27]，時至今日，函數(shù)凸性的定義更是達到了十幾種之多[16-18]，定義1和定義2這兩種凸性定義的等價性也是許多文獻研究的重要內(nèi)容.一方面，由于開區(qū)間上的凸函數(shù)連續(xù)，而開區(qū)間上的J凸函數(shù)不一定連續(xù)[5,28]，這意味著函數(shù)兩種凸性定義并不等價.另一方面，易知滿足定義1的函數(shù)不一定滿足定義2，但滿足定義2的函數(shù)一定滿足定義1.這意味著滿足定義1的函數(shù)即J凸函數(shù)更廣泛，所需條件更弱.所以主要是在定義1上增加條件，進而討論證明定義1和定義2這兩種凸性定義等價.這些增加的條件大致可以分為四類：第一類，函數(shù)具有連續(xù)性；第二類，函數(shù)具有可微性；第三類，函數(shù)具有半連續(xù)性，包括上半連續(xù)和下半連續(xù)；第四類，函數(shù)具有有界性.由定義2可以證明凸函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)[2]，又由于連續(xù)性是許多函數(shù)都具有的一個基本性質(zhì)，所以大多數(shù)文獻都是直接或間接利用函數(shù)的連續(xù)性[5-8]，[16-21]來討論證明兩種凸性定義的等價性.文獻[16]以及[19-21]又進一步基于函數(shù)的可微性來討論證明兩種凸性定義的等價性；文獻[22-25]是在半連續(xù)條件下討論證明兩種凸性定義的等價性；文獻[7]、[17-19]則是在有界性條件下討論證明兩種凸性定義的等價性.當然，相當多的文獻同時討論了多種凸性定義的等價性，而且往往是采用循環(huán)的方式進行證明，如文獻[16-18]和[21]分別討論了十三種、八種、十七種和四種凸性定義的等價性.

下文將通過研究梳理函數(shù)兩種凸性定義的前世，即(i)兩種凸性定義的早期發(fā)展歷史；(ii)兩種凸性定義的性質(zhì)以及它們等價需要的條件，以釋筆者的今惑，即(i)兩種凸性定義是否等價，為什么？(ii)在什么條件下這兩種凸性定義等價？

2 凸性定義的早期發(fā)展歷史

盡管H?lder、Stolz和Hadamard分別于1889年、1893年和1896年(早于詹森)已經(jīng)研究了函數(shù)的凸性[5，8]，但大部分學者認為是詹森在1905和1906年首先定義了函數(shù)的凸性，即定義1，并對函數(shù)凸性進行了系統(tǒng)的研究，詹森還證明了下面的結(jié)論1[3-8].

結(jié)論1[3-4]若f(x)為區(qū)間I上的J凸函數(shù)，則對于任意點x1,…,xn∈I以及任意滿足λ1+…+λn=1的非負有理數(shù)λ1,…,λn，有

(3)

結(jié)論1的證明可參見文獻[6]和[8].需要指出的是，人們隨后將式(3)推廣為式(2)來定義函數(shù)凸性[26-27]，即定義2，又進一步把結(jié)論1推廣為如下結(jié)論.

結(jié)論2[6](i) 函數(shù)f(x)為區(qū)間I上J凸函數(shù)的充要條件是式(3)對于任意點x1,…,xn∈I以及任意滿足λ1+…+λn=1的非負有理數(shù)λ1,…,λn均成立；

(ii)f(x)為I上凸函數(shù)的充要條件是式(3)對于任意點x1,…,xn∈I以及滿足λ1+…+λn=1的任意非負實數(shù)λ1,…,λn均成立.

結(jié)論2的證明詳見文獻[6].需要說明的是，結(jié)論2的第一部分是一個充要條件，給出了J凸函數(shù)的一個等價命題，而結(jié)論1只是J凸函數(shù)的一個必要條件，結(jié)論2更強；同時，結(jié)論2還給出了凸函數(shù)的一個等價形式，甚至有學者把這個等價形式作為凸函數(shù)的定義[6，16，18].有人將式(3)稱為詹森不等式[5-6]，也有人將式(1)-(3)均稱為詹森不等式[26-27].

3 兩種凸性定義的性質(zhì)

下面討論兩種凸性定義的相關(guān)性質(zhì).

3.1 凸函數(shù)與連續(xù)性

首先討論凸函數(shù)與連續(xù)的關(guān)系.

結(jié)論3(i) 若函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的J凸函數(shù)，則其在區(qū)間I的內(nèi)部I0內(nèi)不一定連續(xù)；

(ii) 若函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則其在I0內(nèi)連續(xù).

需要說明的是，第一，文獻[28]構(gòu)造了一類J凸函數(shù)，并證明其在I0內(nèi)不連續(xù)；第二，結(jié)論3中第二個結(jié)論的證明方法比較多，文獻[2]通過一個例題證明了凸函數(shù)在I0內(nèi)任一點處的左、右導數(shù)均存在，從而得到函數(shù)的連續(xù)性，文獻[6]中第4頁給出了一種基于利普希茨連續(xù)的證明方法來證明函數(shù)的連續(xù)性，其他證明方法這里就不再一一列舉；第三，閉區(qū)間上的凸函數(shù)不一定連續(xù)，如

雖然該函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上是凸的，但在該區(qū)間上不連續(xù).

下面結(jié)論4是由詹森首先給出并證明[3-4]，說明J凸函數(shù)在比較弱的條件下也具有連續(xù)性.

結(jié)論4若函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)為J凸函數(shù)且有上界，則f(x)在I內(nèi)連續(xù).

Bernstein和Doetsch于1915年在更弱的條件下，證明了J凸函數(shù)的連續(xù)性[29]，即下面的結(jié)論5.

結(jié)論5若f(x)在開區(qū)間I內(nèi)為J凸函數(shù)且在I內(nèi)某一點的鄰域內(nèi)有上界，則其在I內(nèi)連續(xù).

結(jié)論5的詳細證明可參見文獻[6]和[7].結(jié)論3～5給出了一定條件下(J)凸函數(shù)具有連續(xù)性，其實在連續(xù)的條件下，兩種凸性定義等價，具體見下面結(jié)論6和結(jié)論7.

結(jié)論6[20]若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則定義1與定義2等價，即兩種凸性定義等價.

結(jié)論7[19]f(x)在區(qū)間I上為凸函數(shù)的充要條件是f(x)在I上為J凸函數(shù)且在I0內(nèi)連續(xù).

結(jié)論6和結(jié)論7的證明分別詳見文獻[20]和[19]，兩個結(jié)論的實質(zhì)是J凸函數(shù)在增加連續(xù)性的條件下和凸函數(shù)等價.其實，連續(xù)并不是一個很強的條件，包括初等函數(shù)在內(nèi)的許多函數(shù)都具有連續(xù)性.結(jié)論6和結(jié)論7表明：

結(jié)論8若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則兩種凸性定義等價.

3.2 凸函數(shù)與可微性

接下來將討論凸函數(shù)與可微的關(guān)系.由結(jié)論3的第一個結(jié)論易知，J凸函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)的左導數(shù)或右導數(shù)可能不存在，這說明J凸函數(shù)的可導性可能較差，但凸函數(shù)的可導性相對較好，具體見下面的結(jié)論9和結(jié)論10.

結(jié)論9[6,20]設函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對于?x∈I0，左右導數(shù)f′-(x)，f′+(x)都存在，且f′-(x)，f′+(x)均為增函數(shù)，f′-(x)≤f′+(x),?x∈I0.

結(jié)論10[6]設f(x)為開區(qū)間I上的凸函數(shù)，集合E為f(x)的不可導點構(gòu)成的集合，則E是可數(shù)的，且f′(x)在IE上連續(xù).

結(jié)論9的證明詳見文獻[6]和[20]，結(jié)論10的證明詳見文獻[6].需要說明的是，Stolz在1893年已經(jīng)證明[8]，如果f(x)在區(qū)間I上連續(xù)且滿足式(1)，則其在I的任一內(nèi)點處的左右導數(shù)都存在.這是必然的結(jié)果.這是因為，若f(x)在區(qū)間I上連續(xù)且滿足式(1)，則說明f(x)為區(qū)間I上連續(xù)的J凸函數(shù)，從而由結(jié)論7可知f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，進一步由結(jié)論9可知f(x)在I0內(nèi)的左右導數(shù)都存在.

在函數(shù)可導的條件下，可得到如下判斷函數(shù)是否為凸函數(shù)的兩個結(jié)論.

結(jié)論11[20](i)若f(x)在區(qū)間I上可導，則f(x)為I上凸函數(shù)的充要條件是f′(x)在I上單調(diào)遞增；

(ii) 若f(x)在I上二階可導，則f(x)為I上凸函數(shù)的充要條件是f″(x)≥0.

結(jié)論12若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導，則定義1與定義2等價，即兩種凸性定義等價.

結(jié)論11的證明詳見文獻[20].也可以這樣理解結(jié)論12，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導，則f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，故由結(jié)論8可知，兩種凸性定義等價，故結(jié)論12正確.

3.3 凸函數(shù)與半連續(xù)性

前面討論了在連續(xù)或可微的條件下，兩種凸性定義等價，下面結(jié)論說明在更弱的半連續(xù)條件下兩種凸性定義也等價.

結(jié)論13[22-24]若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的上半連續(xù)函數(shù)，則兩種凸性定義等價.

結(jié)論14[22-24]若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的下半連續(xù)函數(shù)，則兩種凸性定義等價.

結(jié)論15[22-24]函數(shù)f(x)是區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是f(x)既是I上的J凸函數(shù)又是I上的上半連續(xù)函數(shù).

結(jié)論13～15的證明詳見文獻[22-24].正如文獻[24]所述，由結(jié)論14可知，如果f(x)在區(qū)間I下半連續(xù)且在I上是J凸函數(shù)，則f(x)在I上一定是凸函數(shù)，從而由結(jié)論15可知f(x)在I上為上半連續(xù)函數(shù)，所以f(x)是I上的連續(xù)函數(shù).因此結(jié)論14中的下半連續(xù)函數(shù)這一等價前提條件可以改為連續(xù)函數(shù)，二者是一回事.將結(jié)論13和14合二為一，即為

結(jié)論16若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的上半連續(xù)函數(shù)或下半連續(xù)函數(shù)，則兩種凸性定義等價.

3.4 凸函數(shù)與有界性

最后討論凸函數(shù)與有界的關(guān)系，具體見下面的三個結(jié)論.

結(jié)論17[19]若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f(x)在I的任一閉子區(qū)間上有界.

結(jié)論18[19]函數(shù)f(x)是區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是f(x)既是I上的J凸函數(shù)又在I的任一閉子區(qū)間上有上界.

結(jié)論19若函數(shù)f(x)在區(qū)間I的某一子區(qū)間上有上界，則兩種凸性定義等價.

結(jié)論17和18的證明詳見文獻[19].對于結(jié)論19，由前面結(jié)論5可知，如果J凸函數(shù)f(x)在區(qū)間I的某一子區(qū)間上有上界，則f(x)在I0內(nèi)連續(xù)，從而由結(jié)論7可知f(x)是I上的凸函數(shù)，故結(jié)論19正確.

4 結(jié) 論

本文系統(tǒng)、全面、深入總結(jié)了兩種凸性定義的早期發(fā)展歷史及已有的一些研究成果；期望幫助對兩種凸性定義等價性了解不深入的高校教師及相關(guān)人員更好的了解兩種凸性定義的早期發(fā)展歷史；把握凸函數(shù)的連續(xù)性、可微性、半連續(xù)性和有界性以及在連續(xù)、可微、半連續(xù)和有界等任一條件下兩種凸性定義等價性.

致謝作者非常感謝相關(guān)參考文獻給予本文的啟示以及審稿專家提出的寶貴意見.