陳東斌

【摘要】數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分為三個層面：數(shù)學(xué)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)、個體數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和個體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。個體數(shù)學(xué)認(rèn)知存在于學(xué)生個體的頭腦中，是個性化的主觀存在，個體之間的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和水平是有差異的。本文結(jié)合單元整體教學(xué)設(shè)計的理念，把“思維導(dǎo)圖”作為主要的學(xué)習(xí)手段進(jìn)行課堂實踐研究，從而讓教師理清數(shù)學(xué)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)，如何讓學(xué)生更好地參與到數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)中，并形成一套學(xué)習(xí)、研究、解決問題的模式。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)與代數(shù);思維導(dǎo)圖;認(rèn)知結(jié)構(gòu)

一、案例背景

在以往的課題研究課例展示和街道賽課、高效課堂評估等活動的評估過程中，筆者發(fā)現(xiàn)教師基本都能關(guān)注學(xué)生的學(xué)情，教師對學(xué)生個體數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)比較重視，但在具體的教學(xué)實踐中，往往會呈現(xiàn)出以下的幾個問題：一是教師憑借經(jīng)驗教學(xué)，未能很好地處理好局部知識與整體知識的關(guān)系。二是只有教師關(guān)注個體的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，學(xué)生的參與度不高。三是學(xué)習(xí)單或多或少存在牽著學(xué)生鼻子走的情況，啟發(fā)性和自主性不夠。四是學(xué)生雖有基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，但并沒建立起一套研究問題的方法。

思維導(dǎo)圖是發(fā)散性思維的外部表現(xiàn)。思維導(dǎo)圖總是以一個中心點(diǎn)開始，每個知識點(diǎn)自身都成為一個子中心或者聯(lián)想點(diǎn)，整個合起來以一種無窮無盡的分支鏈的形式從中心向四周發(fā)展。筆者認(rèn)為，思維導(dǎo)圖的設(shè)計為解決上述問題提供了方法和手段。

二、主要舉措

數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系。下面以四年級上冊第一單元《大數(shù)的認(rèn)識》為例，就如何解決以上問題進(jìn)行闡述。

（一）梳理節(jié)點(diǎn)知識譜，厘清知識結(jié)構(gòu)

1.關(guān)于數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)邏輯順序問題

大數(shù)的認(rèn)識，是整數(shù)認(rèn)識教學(xué)的最后一個階段，主要教學(xué)億以內(nèi)和億以上數(shù)的認(rèn)識。教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容時，根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累，采用逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則，體現(xiàn)出明顯的階段性要求。

2.關(guān)于20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識

筆者對“人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》（一-六年級）目錄”（圖1）進(jìn)行了對比研究，發(fā)現(xiàn)在一年級下冊學(xué)習(xí)“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”之前，在一年級上冊已經(jīng)在第三單元、第五單元、第六單元分別對“1-5的認(rèn)識和加減法”“6-10的認(rèn)識和加減法”“11-20各數(shù)的認(rèn)識”進(jìn)行了細(xì)化學(xué)習(xí)。

張丹教授把自然數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容分為：對于10及10以內(nèi)數(shù)的學(xué)習(xí);20及20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識;100及100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識;萬以及萬以內(nèi)的學(xué)習(xí);多位數(shù)的學(xué)習(xí);進(jìn)而勾勒出學(xué)習(xí)路線：逐一計數(shù)——群計數(shù)——初步體會位值和計數(shù)單位的十進(jìn)關(guān)系——類比進(jìn)行“數(shù)級”的擴(kuò)充，再次體會位值和計數(shù)單位的十進(jìn)關(guān)系。

基于以上的分析，筆者認(rèn)為，一年級上冊對20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識是數(shù)的認(rèn)識中不可或缺的重要部分，應(yīng)編入數(shù)的認(rèn)識知識譜中。同時，通過對比研究，建議把“數(shù)的認(rèn)識”分成兩個部分：整數(shù)認(rèn)識（黃色部分）、小數(shù)認(rèn)識（綠色部分）。

3.關(guān)于小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系

關(guān)于小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，王永春教授認(rèn)為三年級初步認(rèn)識小數(shù)，是從分母是10的分?jǐn)?shù)引入的，這樣容易造成小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)的誤解。實際上分?jǐn)?shù)等價于有理數(shù)，小數(shù)等價于實數(shù)，分?jǐn)?shù)是小數(shù)的子集。對此，作者表示贊同，因此建議把“分?jǐn)?shù)認(rèn)識”內(nèi)容歸納入“小數(shù)認(rèn)識”當(dāng)中。

4.重建“數(shù)的認(rèn)識”知識譜

結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)（2011）》學(xué)段目標(biāo)中的各學(xué)段知識技能目標(biāo)，筆者把“數(shù)的認(rèn)識”的知識譜設(shè)計如下：（圖2）。

整數(shù)認(rèn)識包括的年級是一年級上冊、一年級下冊、二年級下冊、四年級上冊、六年級下冊，特別把一年級上冊“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”和六年級下冊第一單元“負(fù)數(shù)”兩部分內(nèi)容編入了整數(shù)認(rèn)識部分。小數(shù)認(rèn)識包括的年級是三年級上、下冊、四年級下冊、五年級下冊以及六年級上冊，此次把“百分?jǐn)?shù)（一）”納入這部分認(rèn)識里。讓學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握，并構(gòu)建知識圖譜，最終歸結(jié)在七年級上冊“有理數(shù)和無理數(shù)的認(rèn)識”中。

（二）鉤連知識，建立知識圖

王永春教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)的思想方法并不是獨(dú)立存在的，而是存在于這些知識和關(guān)系當(dāng)中。他建議不要把數(shù)學(xué)思想方法獨(dú)立出來，而應(yīng)該在具體知識當(dāng)中標(biāo)注思想方法，真正理解每一個思想方法的應(yīng)用及其價值。對于王教授的這個建議，筆者非常贊同。把數(shù)學(xué)思想方法融入到數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)之中，學(xué)生個體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能更加豐富，以每堂課為基點(diǎn)，以每課時的思維導(dǎo)圖為手段，很好地把舊知與新知勾連起來，把解決問題的方法遷移過來，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在日常學(xué)習(xí)中一磚一瓦地逐步建構(gòu)起來，潛移默化，潤物無聲，到單元學(xué)習(xí)結(jié)束的時候，完整的思維導(dǎo)圖也就形成了，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也得到了更好的同化和順應(yīng)。因此，筆者認(rèn)為，應(yīng)該在單元的知識圖中結(jié)合新知識，同時呈現(xiàn)其相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，見圖3。

億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識中，關(guān)于數(shù)的讀法、寫法、大小比較等，都可以與萬以內(nèi)的數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行類比和遷移;億以上數(shù)的認(rèn)知中，數(shù)的讀法、寫法、比較數(shù)的大小，取近似數(shù)等，又可以與億以內(nèi)數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行比較，找出知識點(diǎn)之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，實現(xiàn)方法的遷移和歸納。

（三）循序漸進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生制作思維導(dǎo)圖的能力

關(guān)于思維導(dǎo)圖的教學(xué)，王永春教授的建議是：如果我們的時間允許，每堂課的最后都可以畫思維導(dǎo)圖，而不必等到單元復(fù)習(xí)時再畫。在具體實踐教學(xué)中，筆者與王教授不謀而合的是重視思維導(dǎo)圖在日常教學(xué)中的使用，每堂課都使用思維導(dǎo)圖，并把其置于較為重要的地位。不同的是，筆者不但在每堂的最后都指導(dǎo)學(xué)生完善思維導(dǎo)圖，而且努力將思維導(dǎo)圖的設(shè)計融入到學(xué)生的課前預(yù)習(xí)中。每堂課的預(yù)習(xí)就是由學(xué)生自主設(shè)計思維導(dǎo)圖，可以畫思維導(dǎo)圖或者畫思維導(dǎo)圖的一部分，課中和課最后，根據(jù)上課的實際情況，完善思維導(dǎo)圖。然后在相關(guān)的已畫思維導(dǎo)圖的基礎(chǔ)上，連接起最大的思維導(dǎo)圖，每個單元或者模塊的思維導(dǎo)圖可以學(xué)多少畫多少，每天都在前一天的基礎(chǔ)上增添內(nèi)容。經(jīng)過這樣的日積月累，到單元或者模塊學(xué)習(xí)結(jié)束時，完整的思維導(dǎo)圖就基本形成了。最終形成一種以思維導(dǎo)圖為手段的研究問題的方法，提高快速解決問題的能力，建立一種學(xué)習(xí)的模式。

思維導(dǎo)圖的教學(xué)主要經(jīng)歷了以下幾個階段：從1.0版本：復(fù)習(xí)總結(jié)模式（2019-2020學(xué)年度，三年級）：單元結(jié)束的時候進(jìn)行本單元的總結(jié)和分析;2.0版本：新課預(yù)習(xí)模式（2020-2021上學(xué)期，四年級上冊），以五種思維導(dǎo)圖（括號圖、氣泡圖、圓圈圖、魚骨圖、樹形圖）為基本圖式，以先確定新課“核心內(nèi)容”為中心;3.0版本：新課預(yù)習(xí)模式模塊化（2020-2021下學(xué)期，四年級下冊），形成新課預(yù)習(xí)的五個模塊——核心、舊知識、新知識、思想方法、學(xué)習(xí)方法。

三、取得的成效

經(jīng)過兩年的實踐研究，教師和學(xué)生對知識建構(gòu)能力都得到了很大的培養(yǎng)和提升，如下圖所示：

（一）思維導(dǎo)圖有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維，穩(wěn)步提升成績

教師越以整合、發(fā)散性的、有組織的方式學(xué)習(xí)和收集數(shù)據(jù)，學(xué)生越容易學(xué)得好。思維導(dǎo)圖的設(shè)計會自主激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因而使它們更易于為學(xué)生所接受，因為思維導(dǎo)圖只把相關(guān)材料以非常清晰和容易記憶的形式記下來，因此，學(xué)生就會在考試中獲取更好的成績。實踐證明，思維導(dǎo)圖的應(yīng)用，對學(xué)生學(xué)業(yè)成績的提高是有幫助的。如下表所示（表1）：

對同一批實驗學(xué)生的學(xué)業(yè)成績跟蹤，將兩個學(xué)期進(jìn)行縱向?qū)Ρ龋l(fā)現(xiàn)學(xué)生的優(yōu)秀率上升了6.8%，特優(yōu)率上升了8.2%，總率上升了4.4%，課堂實踐是卓有成效的。

（二）思維導(dǎo)圖有利于學(xué)生形成預(yù)習(xí)的習(xí)慣

用思維導(dǎo)圖進(jìn)行預(yù)習(xí)，注重以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為主，增強(qiáng)了啟發(fā)性和自主性。學(xué)生不但獲得了基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，而且很好地形成預(yù)習(xí)的習(xí)慣。

以四年級上冊第一單元《大數(shù)的認(rèn)識》為例：

從以上《大數(shù)的認(rèn)識》的5個課時的預(yù)習(xí)內(nèi)容來看，學(xué)生已經(jīng)能熟練地運(yùn)用括號圖、氣泡圖、總分圖等思維導(dǎo)圖的基本模式進(jìn)行新課的預(yù)習(xí)。首先是確定新課的核心內(nèi)容，而后是有版塊、有層次、有章法地進(jìn)行有效預(yù)習(xí)。如，《數(shù)的產(chǎn)生和十進(jìn)制計數(shù)法》，從方法、基本概念、注意事項、古今異同等方面進(jìn)行了詳細(xì)的預(yù)習(xí)。

（三）思維導(dǎo)圖有利于學(xué)生有序探究，聚焦問題

一般地，課始呈現(xiàn)主題，進(jìn)行新舊知識的自主關(guān)聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生類比思考：這個知識點(diǎn)與哪些學(xué)過的舊知識有關(guān)？如何把新知識轉(zhuǎn)化成舊知識？使新知識通過同化和順應(yīng)納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中，讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)的過程就是每天給自己的認(rèn)知添磚加瓦的過程。 以四年級下冊第6單元《位數(shù)相同的小數(shù)加減法》為例：

學(xué)生預(yù)習(xí)后呈現(xiàn)的思維導(dǎo)圖：

學(xué)生預(yù)習(xí)，聚焦疑問：

從聚焦的問題可以看出學(xué)生已經(jīng)掌握了本課的新知，并很好地與舊知進(jìn)行了算理和算法的勾連，對新知進(jìn)行了卓有成效的通化和順應(yīng)，進(jìn)而從加減法延伸思考至乘法，這是認(rèn)知建構(gòu)的更高層次和延伸。

（四）基本建立思維導(dǎo)圖使用模式，具有可推廣性

教師的教案不僅不會隨著年齡的增加而變得相對僵硬，反而會更有彈性，更容易更改。在這樣一個迅速變化的時代和發(fā)展之中，教師需要改變，需要能夠不斷迅速而輕松地為教案添加新的內(nèi)容。

從1.0版本到最終形成比較有效、易于實施的4.0版本，能立足學(xué)生真實的起點(diǎn)，更有效地啟發(fā)學(xué)生類比思考和學(xué)習(xí)的能力，把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，并解決新問題。每堂課的最后都可以對課前新課預(yù)習(xí)的思維導(dǎo)圖進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充（注：不同顏色的筆），而不必等到單元復(fù)習(xí)時再畫。經(jīng)過這樣的日積月累，到單元或者模塊結(jié)束時，完整的思維導(dǎo)圖就基本形成了。教師應(yīng)注意在每堂課的小結(jié)階段進(jìn)行關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生每天給自己的認(rèn)知添磚加瓦。

（五）思維導(dǎo)圖有助于教師整體結(jié)構(gòu)化教學(xué)能力提升

在認(rèn)真學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”知識圖譜的基礎(chǔ)上，結(jié)合對單元內(nèi)容的認(rèn)真研讀，筆者編寫了人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊第6單元、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊第4單元的教學(xué)設(shè)計。經(jīng)歷了“數(shù)與代數(shù)”單元整體教學(xué)的研究，積累了一定的研究經(jīng)驗和研究方法后，筆者又帶領(lǐng)小組教師進(jìn)行了三年級下冊第六單元《年、月、日》這個單元的整體單元設(shè)計?！俺Ｒ姷牧俊钡闹R譜（圖4），并建構(gòu)了如下單元知識譜（圖5），為小學(xué)階段“常見的量”的整體教學(xué)，打下了堅實的基礎(chǔ)和進(jìn)行了有益的教學(xué)設(shè)計嘗試。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分為三個層面：數(shù)學(xué)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)、個體數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和個體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)是屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的，是對數(shù)量關(guān)系和空間形式研究的成果和智慧結(jié)晶。思維導(dǎo)圖在實踐中的應(yīng)用，在教師層面就解決小學(xué)教師對小學(xué)數(shù)學(xué)整體知識結(jié)構(gòu)不夠清晰的問題提供了切實可行的路徑，通過對單元整體教學(xué)的研究和思考，既有利于與新教師、次新教師快速地對小學(xué)數(shù)學(xué)有一個整體的認(rèn)識，快速提高教學(xué)能力和水平，也有利于老教師把多年的教學(xué)經(jīng)驗與知識結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合起來，做到更有序、更高效的教學(xué)。把小學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化，把單元知識圖譜化，利用思維導(dǎo)圖的形式把之外顯，有利于教師建構(gòu)知識圖譜，有利于每單元、每堂課知識的延展性，有利于新舊知識的連接，有利于轉(zhuǎn)化思想的落實，有利于培養(yǎng)教師和學(xué)生的發(fā)散性思維。

參考文獻(xiàn)：

[1]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)論[M].華東師范大學(xué)出版社，2019.

[2]（英）博攢.思維導(dǎo)圖[M].葉剛，譯.中信出版社，2009.

[3]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4]張丹.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略[M].北京師范大學(xué)出版社，2010.

責(zé)任編輯? 劉? 勇